Lie csoportok erősen tranzitív szelései, loopok és szorzáscsoportjuk, topologikus és differenciálható szorzások sokaságokon, kompakt Lie csoportok, reduktív és szimmetrikus terek
Keywords in English
sharply transitive sections of Lie groups, loops and their multiplication group, topological and differentiable multiplications on manifolds, compact Lie groups, reductive and symmetric spaces
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Mathematics
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Geometry (University of Debrecen)
Starting date
2009-07-01
Closing date
2012-06-30
Funding (in million HUF)
2.110
FTE (full time equivalent)
2.10
state
closed project
Summary in Hungarian
Kutatásaim célja a geometriai struktúrával rendelkező tereken definiált nem asszociatív szorzások elméletét beágyazni a Lie csoportok elméletébe. A tervezett kutatásban egyrészt teljes leírást szeretnék adni a 3-dimenziós nem asszociatív topologikus műveletek összes bal- és jobb transzlációi által generált csoportjára. A projektem egy másik aspektusa az olyan tereken definiált nem asszociatív szorzások alapos vizsgálata, melynek geometriai tulajdonságai (például a tér kompaktsága) loopok konstrukcióját megnehezíti. Ezen témakörön belül konstruálni fogunk 3-dimenziós gömbfelületen realizálható olyan loopot, melynek az SO(4,R) csoport a bal transzlációi által generált csoportja. Ez a konstrukció egy hosszú idő óta nyitott problémára ad igenlő választ. Továbbá vizsgálni fogom, hogy milyen struktúrájú kompakt G Lie csoportokra és H részcsoportjaira léteznek erősen tranzitív folytonos szelések. Az affin szimmetrikus és reduktív terek a differenciálgeometria fontos objektumai. Ezen tereken realizálható nem asszociatív műveletek vizsgálata a tervezett kutatás egyik fő feladata. A kutatás egyes témái, mint például topologikus loopok kétoldali szorzáscsoportjának vizsgálatai Lie transzformáció csoport eredményei segítségével, illetve excepcionális egyszerű Lie csoportok erősen tranzitív szeléseinek vizsgálata új kutatási területet képviselnek. A tervezett tudományos munka több európai kutatóműhely (Németország, Olaszország, Csehország) kutatásaihoz igen szorosan kapcsolódik. Ezen kutatócsoportok támogatásával Debrecenben tervezek a kutatásainkkal rokon algebrai és geometriai témákban nemzetközi konferenciát szervezni. Továbbá hazai és meghívott külföldi kutatók bevonásával algebrai-geometriai témájú szeminárium sorozatot szeretnék indítani, ahol hallgatók és doktoranduszok is megismerkedhetnek ezen kutatási területekkel.
Summary
The goal of my investigations is the embedding of the theory of the nonassociative multiplications defined on spaces having a geometric structure into the theory of Lie groups. In particular I would like to give explicite description for the group generated by all left and right translations of 3-dimensional topological nonassociative multiplications. An other aspect of my project is the thorough study of nonassociative multiplications, which are defined on spaces, where special geometric properties (e.g. compactness) result in obstructions for the construction of loops. I plan to give the first construction for topological loops, which are realized on the 3-sphere and which have the orthogonal group SO(4,R) as the group generated by the left translations. Moreover, I plan to investigate sharply transitive continuous sections in compact Lie groups and to obtain new, profound knowledge about the connections between the algebraic properties of these sections and the structures of the Lie groups, in which these sections are realized. The affine symmetric and reductive spaces are essential objects in differential geometry. A futher goal of my project is the investigation of nonassociative multiplications, which are realized on these spaces and correspond to exceptional Lie groups. Several research teams (in Germany, in Italy, in Czech Republic) are working actually in fields related to the proposed problems. I plan to organize an international conference and regular seminar lectures in the related research areas.
Final report
Results in Hungarian
A kutatásban azoknak a Lie csoportoknak a meghatározásában és szerkezetének vizsgálatában értünk el eredményeket, melyek előállnak topologikus tereken definiált nem asszociativ algebrai struktúrák, hurkok, egyoldali, illetve kétoldali szorzáscsoportjaként. Egyszerű G Lie csoportok speciális részcsoportokra való felbontásainak segítségével meghatároztuk azokat az egyszerű differenciálható Bol hurkokat, melyeknek bal szorzáscsoportja a G×G direkt szorzat. Osztályoztuk azokat az alacsony dimenziós topologikus hurkokat, melyeknek 3-dimenziós feloldható, illetve 4-dimenziós nilpotens Lie csoport a bal szorzáscsoportja. Megadtuk azoknak a feloldható, illetve nilpotens Lie csoportoknak a szerkezetét, melyek reprezentálhatók 3-dimenziós topologikus hurkok kétoldali szorzáscsoportjaként. A kétoldali szorzáscsoport ismeretében leírtuk a hurkok szerkezetét és meghatároztuk egységelemének stabilizátorát. Alkalmazásként osztályoztuk azokat a legfeljebb 5-dimenziós feloldható Lie csoportokat, melyek kétoldali szorzáscsoportjai 3-dimenziós topologikus hurkoknak. Megmutattuk, hogy a legfeljebb 8-dimenziós egyszerű Lie csoportok nem lehetnek topologikus hurkok kétoldali szorzáscsoportjai. Mélyrehatóan tanulmányoztuk csoportoknak súlyozott Steiner hurkokkal való Schreier bővítéseit és lokálisan kompakt topologikus kvázitestek multiplikatív struktúrájának szerkezetét. Megtaláltuk azt a formulát, mellyel valamennyi 2-dimenziós differenciálható kvázitest szorzásművelete megadható.
Results in English
The present research includes results on the determination and the investigation of the structure of Lie groups, which are generated by the left translations as well as by all left and right translations of topological loops. Using special factorization of simple Lie groups G we determined the simple differentiable Bol loops having the direct product G×G as the group of their left translations. I classified all small dimensional topological loops having either a 3-dimensional solvable Lie group or a 4-dimensional nilpotent Lie group as the group of their left translations. I clarified the structure of nilpotent, respectively solvable Lie groups which are multiplication groups of 3-dimensional topological loops. Knowing the multiplication group I described the structure of the loop and determined the stabilizer of its identity element. As an application I classified the solvable Lie groups of dimension ≤ 5 which are multiplication groups for 3-dimensional topological loops. I proved that none of the at most 8-dimensional quasi-simple Lie groups occurs as multiplication groups of topological loops. We studied thoroughly Schreier extensions of groups by weighted Steiner loops and analyzed the structure of the multiplicative loops of locally compact topological quasifields. We have found a general formula which produces the multiplication for all 2-dimensional differentiable quasifields. I represented the results in 16 conferences.
Ágota Figula: The multiplication groups of topological loops, Proc. of the International Conference Modern Algebra and its Applications, Batumi, Georgia, 19-25 Sept 2011. Georgian Technical University, 90-96. submitted J.Math.Sci., 2011
