Linear Operators and Linear Systems  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
77748
Type K
Principal investigator Nagy, Béla
Title in Hungarian Lineáris operátorok és lineáris rendszerek
Title in English Linear Operators and Linear Systems
Keywords in Hungarian lineáris operátorok multiplicitása, végtelen Jacobi mátrix, komplex Hadamard mátrix, nemnegatív operátor és mátrix, nemnegatív lineáris rendszer, realizálása
Keywords in English multiplicity of linear operators, infinite Jacobi matrix, complex Hadamard matrix, nonnegative operator and matrix, nonnegative linear system, realizations
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Functional analysis
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Mathematical Analysis (Budapest University of Technology and Economics)
Participants Matolcsi, Máté
Szöllősi, Ferenc
Starting date 2009-04-01
Closing date 2014-03-31
Funding (in million HUF) 7.333
FTE (full time equivalent) 10.09
state closed project
Summary in Hungarian
Tervezzük a következő kutatási részirányokat: 1. Nemnegatív mátrixok inverz spektrálelméletének kérdései különös tekintettel a szimmetrikus esetre. 2. Lineáris rendszerek nemnegatív realizálásának kérdései. Perturbációs problémák és minimalitási kérdések. 3. Hasonló kérdések végtelen dimenziós lineáris rendszerek esetében. 4. Nemnegatív definit és elemenkénti nemnegativitási tulajdonságú rendszerek kapcsolata. 5. Vizsgálni kívánjuk bizonyos típusú mátrixpolinomok és nemnegatív lineáris rendszerek kapcsolatát. 6. Feladatunknak tekintjük a fenti témákkal szorosan vagy kevésbé közvetlenül kapcsolódó operátorelméleti kérdések vizsgálatát Banach ill. Hilbert terekben. Konkrét kérdésként említjük egyrészt komplex Hadamard mátrixok és a Jones konstrukció által hozzájuk asszociált szub-faktorok vizsgálatát, valamint bizonyos általánosított (végtelen) Jacobi mátrixok vizsgálatát. 7. Approximáció pozitív lineáris rendszerrel. A kutatás várható konkrét és ellenőrizhető eredményei lesznek: folyóiratcikkek rangos nemzetközi folyóiratokban, esetleg jó színvonalú konferencia kiadványban ill. könyvrészletben. Új ismeretekre számíthatunk a lineáris operátorok szerkezetének vizsgálatában, nemnegatív mátrixok inverz spektrálelméletében, komplex Hadamard mátrixok klasszifikációjában, mátrixpolinomok és lineáris rendszerek realizálásának kérdéseiben. A projekt remélhetőleg pozitív hatást gyakorol a kutatói utánpótlás fejlesztésére és a hazai, külföldi kutatási együttműködési hálózat erősítésére. A projekt egyes eredményei a későbbiekben mérnöki alkalmazást is nyerhetnek (IEEE közlemények).
Summary
We plan to carry out our research in the following directions:
1. Inverse spectral theory of nonnegative matrices, in particular, the symmetric case.
2. Nonnegative realizations of linear systems. Questions of perturbation and minimality.
3. Similar questions regarding infinite dimensional linear systems.
4. The relation of systems being nonnegative definite or entry-wise nonnegative.
5. We will examine the relation of nonnegative linear systems and certain matrix polynomials.
6. We will examine related questions of operator theory in Banach spaces and Hilbert spaces. In particular we mention problems in connection with complex Hadamard matrices and their associated sub-factors by Jones’ method, and investigations of some generalized (infinite) Jacobi matrices.
7. Approximation by positive linear systems.

The expected results of this research are mathematical papers in high quality journals, conference proceedings or book chapters. We expect new results in connection with the structure of linear operators, inverse spectral theory of nonnegative matrices, classification of complex Hadamard matrices, and realizations of matrix polynomials and linear systems. We hope that the project will have a positive effect for the younger generation of researchers and that it will strengthen international scientific connections.

Certain results of the paper can also be of practical use in engineering applications (see the IEEE publications).




 

Final report

  
Results in Hungarian
Nagy B H. Minc három kérdését válaszolta meg nemnegativ ill. sztochasztikus mátrixok előirt elemi osztókkal történő realizálásáról. K-H. Försterrel közös dolgozatában mátrixpolinomok ekvivalenciáját vizsgálta. Megkapta az elemi szimmetrikus operátorok legegyszerűbb mátrix reprezentációját, amely kérdés megoldatlan maradt Neumann János egyik klasszikus dolgozatában. Jellemezte ciklikus (szub)normális operátor reduktivitását. Elegendő feltételeket adott arra, hogy Hilbert térbeli Riesz operátorhoz létezzék Jordan-Schur bázis ekvivalens skalárszorzatra vonatkozólag. A komplex Hadamard mátrixok egyik fontos alkalmazása a kölcsönösen torzítatlan bázisok (MUB-ok) problémája. Itt a 6 dimenziós esetben egy diszkretizációs eljárással megmutattuk, hogy egy speciális F(a,b) mátrixcsaládból nem állítható elő teljes MUB-rendszer. Másrészt észrevettük, hogy az úgynevezett Delsarte-féle Fourier analitikus módszer alkalmazható a MUB problémára. Ez új megközelítés, amelyből számos eredmény elegánsan következik. Szöllősi F és szerzőtársai komplex Hadamard mátrixokat és a hozzájuk kapcsolódó különböző struktúrákat vizsgáltak algebrai, kombinatorikus, valamint számítógépes módszerek segítségével. Tárgyalták a MUB-6 problémához kötődő 6x6-os Hadamard mátrixok tulajdonságait. Klasszifikálták a legfeljebb 14x14-es méretű negyedik gyökökből álló komplex Hadamard mátrixokat, valamint megmutatták, hogy 14 dimenzióban nem létezik 30 páronként azonos szöget bezáró valós egységvektor.
Results in English
B Nagy answered three questions of H Minc on the realization of nonnegative and of stochastic matrices with prescribed elementary divisors. In a joint paper with K-H Förster they studied the equivalence of matrix polynomials. He obtained the simplest matrix representation of elementary symmetric operators, a question remained unsolved in a classical paper by von Neumann. He characterised the reductivity of cyclic (sub)normal operators. He gave sufficient conditions for a Riesz operator in Hilbert space to have a Jordan-Schur basis in an equivalent scalar product. An important application of complex Hadamard matrices is the problem of mutually unbiased bases (MUBs). In the 6-dimensional case we used a discretization scheme to show that the matrices in the family F(a,b) cannot be part of a complete system of MUBs. We also noticed that the Fourier analytic version of Delsarte's method can be applied to the problem of MUBs. With the help of this method we have given new proofs for structural results on MUBs. F Szöllősi and his coauthors studied complex Hadamard matrices and the different connected structures with the help of algebraic, combinathorical and computing methods. They dealt with the properties of 6x6 Hadamard matrices connected with the MUB-6 problem. They classified the Hadamard matrices of order at most 14 with entries of 4th roots of unity, and showed that in dimensions 14 there do not exist 30 real unit vectors forming pairwise identical angles.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=77748
Decision
Yes





 

List of publications

  
Nagy B: On contractions in Hilbert space, Acta Sci Math, 79: 235-251, 2013
Lee M H, . Szöllősi F: A note on inverse-orthogonal Toeplitz matrices, The Electronic J. Linear Algebra, 26: 898—904, 2013
Greaves G, Munemasa A, Koolen J H, Szöllősi F: Equiangular lines in Euclidean spaces, kézirat közlésre benyújtva, 2014
Szöllősi F: All complex equiangular tight frames in dimension 3, kézirat közlésre benyújtva, 2014
Nagy B.: On contractions in Hilbert space, Acta Sci Math., közlés alatt, 2013
Förster K-H; Nagy B: On operator polynomials with nonnegative coefficients in a Banach lattice, közlésre benyujtva, 2014
Lee MH; Szöllősi F: Hadamard matrices modulo 5, kézirat közlésre benyújtva, 2013
Nagy B.: Multiplicity of unbounded normal operators and polynomial approximation in C, Journal of Functional Analysis, 257: 1655-1665, 2009
Nagy B: Multiplicities, generalized Jacobi matrices and symmetric operators, Journal of Operator Theory, 65: 211-232, 2011
Nagy B: Inverse elementary divisor problems for nonnegative matrices, Operators and Matrices, 5: 289-301, 2011
Jaming P; Matolcsi M; Móra P; Szöllősi F; Weiner M: A generalized Pauli problem and an infinite family of MUB-triplets in dimension 6, J. Physics A: Mathematical and Theoretical, 42: No 24, 245305, 2009
Szöllősi F: A two-parameter family of complex Hadamard matrices of order 6 induced by hypocycloids, Proc. Amer. Math. Soc. 138: No. 3, 921-928, 2010
Nagy B: Subnormal operators, cyclic vectors and reductivity, Studia Mathematica, 216 (2): 97-109, 2013
Szöllősi F: Complex Hadamard matrices and equiangular tight frames, Linear Algebra and its Applications, 438: 1962–1967, 2013
Nagy B.: Orthonormal bases in finite dimensional Hilbert spaces, Operators and Matrices, közlésre benyújtva, 2014
Lee MH; Szöllősi F: Hadamard matrices modulo 5, J. Combin. Desings, 22/4: 171–178, 2014
Szöllősi F: On quaternary complex Hadamard matrices of small orders, Advances in Mathematics of Communications, 5: No 2, 309—315, 2011
Szöllősi F: Complex Hadamard matrices and equiangular tight frames, Linear Algebra and its Applications, 438: 1962–1967, 2013
Szöllősi F: Complex Hadamard matrices of order 6: a four parameter family, J. London Math. Soc. (2), 85: 616–632., 2012
Szöllősi F: Understanding complex Hadamard matrices and mutually unbiased bases of order 6, 14th workshop on quantum information processing, 10-14 January 2011, Singapore, 2011
Nagy B: Riesz operators and Schur's lemma, Acta Sci. Math., közlés alatt, 2013
Matolcsi M: A Fourier analytic approach to the problem of mutually unbiased bases, Stud. Sci. Math.Hung., 49: No. 4, 482-491, 2012
Matolcsi M; Ruzsa IZ; Weiner M: Systems of mutually unbiased Hadamard matrices containing real and complex matrices, Australasian Journal of Combinatorics, Volume 55: 35–47, 2013
Szöllősi F: A note on the existence of BH(19,6) matrices, Australasian J. Combin., 55: 31–34., 2013
Lampio P; Szöllősi F; Östergård P: The quaternary complex Hadamard matrices of orders 10, 12 and 14, Discrete Mathematics 313: 189–206, 2013
Szöllősi F: Constructions, classifications and parametrization of complex Hadamard matrices, Central European University, Budapest, 2012
Nagy B.: Multiplicity of unbounded normal operators and polynomial approximation in C, Journal of Functional Analysis, 257: 1655-1665, 2009
Förster K-H; Nagy B; Szilvási M: Local inverse spectrum theorems for real and nonnegative matrices, Acta Sci Math (Szeged), 76: 55-70, 2010
Nagy B: Multiplicities, generalized Jacobi matrices and symmetric operators, Journal of Operator Theory, 65: 211-232, 2011
Nagy B: Inverse elementary divisor problems for nonnegative matrices, Operators and Matrices, 5: 289-301, 2011
Jaming P; Matolcsi M; Móra P; Szöllősi F; Weiner M: A generalized Pauli problem and an infinite family of MUB-triplets in dimension 6, J. Physics A: Mathematical and Theoretical, 42: No 24, 245305, 2009
Szöllősi F: Exotic complex Hadamard matrices and their equivalence, Cryptography and Communications 2: 2, 187-198, 2010
Djokovic DZ; Severini S; Szöllősi F: Rational Orthogonal versus Real Orthogonal, The electronic Journal of Linear Algebra, 18: 649—673, 2009
Szöllősi F: A two-parameter family of complex Hadamard matrices of order 6 induced by hypocycloids, Proc. Amer. Math. Soc. 138: No. 3, 921-928, 2010
Nagy B: Subnormal operators, cyclic vectors and reductivity, közlésre benyújtva, 2012
Förster K-H; Nagy B: Equivalences of matrix polynomials, Acta Sci. Math. közlésre elfogadva, 2012
Jaming P; Matolcsi M; Móra P: The problem of mutually unbiased bases in dimension 6, Cryptography and Communications, 2: Number 2, 211-220, 2010
Matolcsi M: A Fourier analytic approach to the problem of mutually unbiased bases, http://arxiv.org/abs/1009.2407, preprint submitted for publication, 2011



Back »