New methods of constructive approximation by multivariate and weighted polynomials  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
77812
Type K
Principal investigator Kroó, András
Title in Hungarian Többváltozós és súlyozott polinomokkal való konstruktiv approximáció uj módszerei
Title in English New methods of constructive approximation by multivariate and weighted polynomials
Keywords in Hungarian többváltozós és súlyozott polinomok, egyenletes közelités, konvex testek
Keywords in English multivariate polynomials,weighted polynomials,uniform approximation, convex domains
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Functions
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants Szabados, József
Starting date 2009-04-01
Closing date 2013-03-31
Funding (in million HUF) 6.000
FTE (full time equivalent) 5.38
state closed project
Summary in Hungarian
Jól ismert hogy a többváltozós polinomok sűrűek a d-dimenziós kompakt halmazokon folytonos függvények terében. A többváltozós polinomok egy fontos részhalmaza a homogén polinomok osztálya, ezeket gyakran alkalmazzák az analízis különböző területein. Igy természetesen felmerül az a kérdés, hogy igaz-e a sűrüség a homogén polinomokra? Egy ismert sejtés szerint a konvex felületeken folytonos függvények megközelíthetőek két homogén polinom összegével. Ez a sejtés már igazolt három esetben: 2 dimenzió esetén, konvex politopokon, illetve megfelelő símasággal rendelkező konvex testeken. Az adott pályázat keretében tovább vizsgáljuk a fenti problémát kiszélesítve a megengedett tartományok osztályát. Ezenkívül megvizsgáljuk a homogén approximáció közelítési rendjét is, hiszen ezáltal eredményeket nyerünk a konvex felületek homogén algebrai szintfelületekkel való közelítési rendjére is. A legjobb megközelítés rendje szorosan kapcsolódik a Markov tipusú egyenlőtlenségekhez, amelyek becslést adnak a polinomok deriváltjaira. Az utóbbi években ezeket a vizsgálatokat kiterjesztették a többváltozós esetre is, de kizárólag az egyenletes normára vonatkozóan. A pályázat keretében tanulmányozni fogjuk a Markov tipusú egyenlőtlenségeket Lp normában is mind a homogén, mind a nem homogén esetben.

A súlyozott approximáció klasszikus témája az approximációelméletnek. Bevezetésének kétféle motivációja is lehet: végtelen intervallumon a polinomok (mint a leggyakrabban használt közelítő eszközök) korlátlanok, s ezért szükség van arra, hogy növekedésüket ellensúlyozzuk egy olyan súllyal, amelynek reciproka minden polinomnál gyorsabban tart végtelenhez. Másrészt véges intervallumon az egyes pontokban eltűnő súlyok alkalmazásával mód nyílik lokálisan folytonos függvények approximációjára. A felmerülő problémák széles spektrumúak: polinomokra vonatkozó egyenlőtlenségek, Jackson típusú approximációs tételek vethetők fel, továbbá klasszikus lineáris operátorok általánosíthatók a súlyozott esetre. Az alkalmazott súlyok általában Jacobi vagy Freud típusúak, de tekinthető a nem szimmetrikus súlyok problémája is. Célunk az ezeken a területeken elért részeredmények általánosítása, különös tekintettel a véges intervallum belső pontjaban a két oldalrol különbző sebességgel nullához tartó súlyokra.
Summary
It is well known that multivariate polynomials are dense in the space of continuous functions on compact subsets of the d-dimensional space. An important family of multivariate polynomials is the space of all homogeneous polynomials. These polynomials appear in problems related to approximation by neural networks, ridge functions, approximation of curves and surfaces by algebraic surfaces, etc. Thus it is natural to ask if the density holds for homogeneous polynomials. It has been conjectured that any function continuous on a convex surface can be approximated by sums of two homogeneous polynomials. This conjecture has been answered positively in the following cases: when d = 2; for any convex polytope; for any convex body with a sufficiently smooth boundary. In the present project we shall extend the study of density of homogeneous polynomials to wider families of convex bodies. We shall study the rate of approximation of continuous functions on convex surfaces; this will lead to estimates for approximation of convex surfaces by homogeneous algebraic level surfaces. The rate of approximation is related to Markov-type bounds for the derivatives of polynomials, and estimating the norm of gradients of polynomials. Recently, these inequalities were extended to the multivariate case, but mostly for uniform norm. In the framework of this project we plan to extend the study of multivariate Markov-type inequalities to the case of Lp-norms.
Introduction of weights into approximation problems allows consideration of infinite domains and locally continuous functions on finite domains. In most cases Jacobi and Freud-type weights are considered here.
We intend to extend the previous results for asymmetric weights and weights tending to zero at a given point
of the domain with different rate from different directions.




 

Final report

  
Results in Hungarian
1. Markov-Bernstein tipusú egyenlőtlenségek. A Markov-Bernstein tipusú egyenlőtlenségek a polinomok deriváltjainak becsléséről szólnak. Ezeket a becsléseket többváltozós polinimok esetén kiterjesztettük az egyenletes normáról Lp normára és új eredményeket értünk el konvex és csillagszerü tartományokon. 2. Vizsgáltuk a legjobb megközelités operátorának stabilitását az alterek kis perturbációja esetén. Optimális rendü stabilitást igazoltunk a folytonos függvények terében és Lp-ben ha p nagyobb mint 2. 3. Folytattuk a Weierstrass tipusu tételek vizsgálatát homogén polinomok esetén. Fontos új eredményt értünk el ezen a téren: bebizonyitottuk hogy a reguláris konvex testek határán folytonos függvények közelithetőek 2 homogén polinom összegével. Ezen kivül új univerzális becslést kaptunk a konvex testek konvex algebrai szintfelületekkel való közelités nagyságrendjére. 4. Vizsgáltuk az optimális ponthálók számosságát többvátozós polinomok esetén és beláttuk az optimális ponthálók létezését polinom gráf tartományok, konvex politopok és C2 csillagszerü tartományok esetén. 5. Találtunk olyan új lineáris operátorokat, melyek a Freud sulyok segitségével közelitenek az egész számegyenes az eqvidisztans pontokon interpoláló egész függvényekkel. A Bernstein operátorokat kiterjesztettük bizonyos lokálisan folytonos függvények osztályára.
Results in English
1. Markov-Bernstein type inequalities. Markov-Bernstein type inequalities are related to estimating the norm of the derivative of the polynomials. We extended the study of multivariate Markov-Bernstein type inequalities from the uniform to the Lp norm and obtained new results for convex and star like domains. 2. Stability of the metric projection operator relative to the small perturbations of the subspaces was studied. Optimal order 1 stability was established in case of the uniform norm and Lp norm when p is greater than 2. 3. We continued the study of Weiertsrass type theorems for approximation by homogeneous polynomials. A substantial new development was achieved by showing that sums of pairs of homogeneous polynomials are dense in the space of continuous functions on boundaries of regular central symmetric convex bodies. In addition we obtained new universal upper bounds for the rate of approximation of convex bodies by convex algebraic level surfaces. 4. We studied the cardinality of optimal meshes (or norming sets) for multivariate polynomials and verified existence of optimal meshes for polynomial graph domains, convex polytopes and star like domains with C2 boundary. 5. We constructed new linear operators which approximate functions on the whole real line by entire functions interpolating at equidistant nodes using Freud type weights. Bernstein operators were extended for a certain class of locally continuous functions.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=77812
Decision
Yes





 

List of publications

  
Szabados József, I.Notarangelo, G.Mastroianni: Polynomial inequalities with an exponential weight on $(0,\infty), Mediterranean J.~Math., 2013
Kroó András, D.S. Lubinsky: Christoffel functions and universality in the bulk for multivariate orthogonal polynomials, Canadian J. Math, 2013
Kroó András, D.S. Lubinsky: Christoffel functions and universality on the boundary of the ball, Acta Math. Hungar., 2013
Kroó András, A. Pinkus: On stability of the metric projections, SIAM J. Math. Anal., 2013
Szabados Jozsef, B. Della Vecchia, G. Mastroianni: A weighted generalization of the classical Kantorovich operator, II Saturation, Mediterranean J. Math., 2012
Kroó András, Yoav Benyamini, Allan Pinkus: L1 approximation and finding solutions with small support, Constructive Approximation, 2012
Kroo Andras: Rate of Approximation of Regular Convex Bodies by Convex Algebraic Level Surfaces, Constructive Approximation, Volume 35, 181-200, 2012
Kroo Andras, Szabados Jozsef: On the exact L2 Markov inequality on some unbounded domains in Rd, Journal of Approximation Theory, Volume 164, 391-405, 2012
Kroo Andras: On optimal polynomial meshes, Journal of Approximation Theory, Volume 163, 1107-1124, 2011
Szabados József: Notes on a classic theorem of Erdős and Grünwald, Journal of Approximation Theory, 163, 591-594., 2011
Szabados Jozsef, G. Mastroianni: Hermite-Fejer interpolation with Jacobi weights, Studia Sci. Math. Hungar., 48, 408-420., 2011
Kroó András, A. Pinkus, Y. Xu: In Memoriam Borislav D. Bojanov: 18 November 1944–8 April 2009, Journal of Approximation Theory, 2011
Kroo Andras, Paul Nevai, Vilmos Totik: In memoriam: Franz Peherstorfer, Journal of Approximation Theory, Volume 163, 2011
Kroo Andras, Szabados Jozsef: On Bernstein and Chebyshev type inequalities for k-monotone polynomials, Jaen Journal on Approximation, Volume 2, 241-255, 2010
Szabados Jozsef, B.Della Vecchia, G. Mastroianni: A weighted generalization of the classical Kantorovich operator, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Ser.II,Suppl.82, 1-27, 2010
Kroo Andras, Allan Pinkus: Strong Uniqueness, Surveys in Approximation Theory, Volume 5, pp. 1-91, 2010
Kroo Andras: On the approximation of convex bodies by convex algebraic level surfaces, Journal of Approximation Theory, Volume 162, pp. 628-637, 2010
Kroo Andras: New results and open problems in approximation of convex and star like surfaces by algebraic level surfaces, Jaen Journal on Approximation, Volume 1, pp. 97-109, 2009
Kroo Andras, Szabados Jozsef: On the density of homogeneous polynomials on regular convex surfaces, Acta Sci. Math. Szeged, Volume 75, pp. 143-159, 2009
Kroo Andras, Szabados Jozsef: On the exact Markov inequality for $k$-monotone polynomials, Acta Math. Hungar, Volume 125, pp. 99-112, 2009
Szabados Jozsef, B.Della Vecchia and G.Mastroianni: Weighted approximation by entire functions interpolating at finite and infinitely many points on the real line, Journal of Complexity, Volume 25, pp.303-310, 2009
Szabados Jozsef, B. Della Vecchia and G.Mastroianni: Generalized Bernstein polynomials with Pollaczek weigh, Journal of Approximation Theory, Volume 159, pp. 180-196, 2009
Kroo Andras: On Bernstein-Markov-type inequalities for multivariate polynomials in Lq-norm, Journal of Approximation Theory, Volume 159, pp. 85-96, 2009



Back »