Transformations on spaces of operators and functions  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
81166
Type K
Principal investigator Molnár, Lajos
Title in Hungarian Operátorok és függvények tereinek transzformációi
Title in English Transformations on spaces of operators and functions
Keywords in Hungarian Megőrzési transzformációk, lineáris operátorok terei, függvényterek, műveletek és relációk operátorok terein, operátorközepek, metrikák operátorok és függvények terein, izometriák
Keywords in English Preservers, spaces of linear operators, function spaces, operations and relations on spaces of operators, operator means, metrics on spaces of operators and functions, isometries
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Functional analysis
Panel Natural Sciences Committee Chairs
Department or equivalent Department of Analysis (University of Debrecen)
Participants Nagy, Gergő
Starting date 2010-06-01
Closing date 2014-05-31
Funding (in million HUF) 5.210
FTE (full time equivalent) 3.58
state closed project
Summary in Hungarian
A megőrzési problémák egy adott X matematikai objektum azon transzformációinak leírásával foglalkoznak, amelyek megőriznek az X struktúrához kötődő "valamilyen adott dolgot". Ilyen kérdések a matematika legtöbb területén fellépnek. A megőrzési problémák vizsgálata egységes keretet nyújt a különféle automorfizmusok és szimmetriák vizsgálatához.

A projekt célja a nem-lineáris megőrzési problémák modern területéhez való hozzájárulás operátorok és függvények különböző struktúráival kapcsolatos vizsgálatokkal, mely struktúrák fellépnek mérnöki, kvantum fizikai és statisztikai alkalmazásokban.

Számos, a pozitív operátorok terein definiált távolság-fogalommal valamint operátorközepekkel kapcsolatos megőrzési problémát tekintünk. Operátorközepek és metrikák közötti új kapcsolatokat vizsgálunk. Különböző kommutatív és asszociatív műveleteket illetve kapcsolódó megőrzési transzformációkat tekintünk a pozitív operátorokon és foglalkozunk ezen műveletek karakterizációival. Meghatározzuk az eloszlásfüggvények terének illetve kapcsolódó egyéb tereknek különböző statisztikai izometriáit. Ezen fő irányok mellet további megőrzési transzformációkat (elsősorban izometriákat illetve algebrai morfizmusokat) vizsgálunk Grassmann tereken, unitér csoportokon és operátor-pályákon. Foglalkozunk a kapcsolódó transzformáció-csoportok reflexivitási kérdéseivel és kísérletet teszünk bizonyos, a kvantum információ elméletében fontos transzformáció különböző karakterizálására.
Summary
Preserver problems concern the question of describing the structure of all transformations of a given mathematical object X which preserve "something given" that is relevant for X. Such questions arise in most parts of mathematics. In fact, preserver problems provide a common framework for the study of any kinds of automorphisms or symmetries.

The aim of the project is to contribute to the modern field of non-linear preservers by studying preserver problems on different structures of operators and functions that appear in applications in engineering, quantum physics and statistics.

We consider a number of preserver-type problems relating to operator means and different distances on spaces of positive operators. We try to explore new correspondences between metrics and operator means. We study certain commutative and associative operations on positive operators, the corresponding preservers and deal with some characterization problems of those operations. We determine the structures of different statistical isometries on the space of distribution functions and related spaces. Beside these main directions of research, we further consider preservers (especially isometries and algebraic morphisms) on Grassmann spaces, unitary groups and orbits of operators. We investigate reflexivity problems relating to those transformation groups and make attempts to obtain characterizations of some important transformations appearing in quantum information science.




 

Final report

  
Results in Hungarian
A projekt során elsősorban operátorstruktúrák transzformációival, azok szerkezetének kérdéseivel foglalkoztunk. A vizsgálatok egyik fő közös jellemzője az volt, hogy a klasszikus lineáris-algebrai esettől eltérően az általunk tekintett struktúrák és transzformációik nemlineárisak voltak. Ezt a sok esetben nagyfokú nehézséget új módszerek kidolgozásával sikeresen tudtuk áthidalni. Számos eredményt nyertünk operátoralgebrák pozitív kúpjai és unitér csoportjai izometriáinak (távolságtartó leképezéseinek) és bizonyos izomorfizmusainak (algebrai műveletet megőrző leképezéseinek) szerkezetére vonatkozóan. Meghatároztuk operátorközepekkel kapcsolatos invariancia-transzformációk általános alakját. Leírtunk számos kvantummechanikai szimmetria-transzformációt, ezek között különböző relatív entrópia jellegű mennyiségeket megőrző leképezést. Pozitív eredményeket kaptunk operátorstruktúrák automorfizmus- és izometria-csoportjainak reflexivitására vonatkozóan, amik azt mutatják, hogy ezen csoportok teljesen meghatározottak elemeik lokális hatásai által. Leírtuk valószínűségi eloszlásfüggvények tereinek különböző izometriáit. A két résztvevő (a kutatás vezetője és doktorandusza) a nyert eredményeket 29 dolgozatban publikálta.
Results in English
The basic aim of this research was to study transformations on structures of operators and a number of structural problems related to them. One of the main common features of our investigations was that unlike in the classical linear-algebraic case, the considered structures and their transformations were nonlinear. This usually serious difficulty was successfully overcome by the use of new methods that we worked out. Several results have been obtained concerning the structures of isometries (distance preserving maps) and certain isomorphisms (maps that preserve algebraic operations) of positive cones and unitary groups of operator algebras. We have determined the general forms of invariance transformations corresponding to operator means. We have described several quantum mechanical symmetry transformations, among them the maps which preserve different quantities related to notions of relative entropy. We have obtained positive results concerning the reflexivity of the automorphism- and isometry groups of operator structures which show that those groups are completely determined by the local actions of their elements. We have described different sorts of isometries of spaces of probability distribution functions. The two members of the group (the head and his PhD student) have published the results in 29 research papers.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=81166
Decision
Yes





 

List of publications

  
G. Dolinar and L. Molnár: Automorphisms for the logarithmic product of positive semidefinite operators, Linear Multilinear Algebra 61 (2013), 161-169., 2013
L. Molnár, G. Nagy and P. Szokol: Maps on density operators preserving quantum f-divergences, Quantum Inf. Process. 12 (2013), 2309-2323., 2013
G. Nagy: Isometries on positive operators of unit norm, Publ. Math. Debrecen 82 (2013), 83-192., 2013
F. Botelho, J. Jamison and L. Molnár: Algebraic reflexivity of isometry groups and automorphism groups of some operator structures, J. Math. Anal. Appl. 408 (2013), 177-195., 2013
F. Botelho, J. Jamison and L. Molnár: Surjective isometries on Grassmann spaces, J. Funct. Anal. 265 (2013), 2226-2238., 2013
L. Molnár: Jordan triple endomorphisms and isometries of unitary groups, Linear Algebra Appl. 439 (2013), 3518-3531, 2013
O. Hatori and L. Molnár: Isometries of the unitary groups and Thompson isometries of the spaces of invertible positive elements in C*-algebras, J. Math. Anal. Appl. 409 (2014), 158-167., 2014
L. Molnár: Bilocal *-automorphisms of B(H), Arch. Math. 102 (2014), 83-89., 2014
L. Molnár and P. Szokol: Kolmogorov-Smirnov isometries of the space of generalized distribution functions, Math. Slovaca 64 (2014), 433--444., 2014
R. Beneduci and L. Molnár: On the standard K-loop structure of positive invertible elements in a C*-algebra, J. Math. Anal. Appl., to appear., 2014
L. Molnár: A few conditions for a C*-algebra to be commutative, Abstr. Appl. Anal. Volume 2014 (2014), Article ID 705836, 4 pages., 2014
G. Nagy: Preservers for the p-norm of linear combinations of positive operators, Abstr. Appl. Anal. 2014 (2014), Article ID 434121, 9 pages., 2014
L. Molnár and G. Nagy: Transformations on density operators that leave the Holevo bound invariant, Int. J. Theor. Phys., to appear., 2014
L. Molnár: Order automorphisms on positive definite operators and a few applications, Linear Algebra Appl. 434 (2011), 2158-2169., 2011
L. Molnár: Lévy isometries of the space of probability distribution functions, J. Math. Anal. Appl. 380 (2011), 847-852., 2011
L. Molnár: Kolmogorov-Smirnov isometries and affine automorphisms of spaces of distribution functions, Cent. Eur. J. Math. 9 (2011), 789-796., 2011
L. Molnár and W. Timmermann: Transformations on bounded observables preserving measure of compatibility, Int. J. Theor. Phys. 50 (2011), 3857–3863., 2011
L. Molnár: Continuous maps on matrices transforming geometric mean to arithmetic mean, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. (special issue dedicated to Prof. Antal Járai on the occasion of his 60th birthday) 35 (2011), 217-222., 2011
L. Molnár: Maps preserving general means of positive operators, Electron. J. Linear Algebra 22 (2011), 864-874., 2011
L. Molnár and G. Nagy: Isometries and relative entropy preserving maps on density operators, Linear Multilinear Algebra 60 (2012), 93-108., 2012
L. Molnár and P. Semrl: Transformations of the unitary group on a Hilbert space, J. Math. Anal. Appl. 388 (2012), 1205-1217., 2012
G. Dolinar and L. Molnár: Sequential endomorphisms of finite dimensional Hilbert space effect algebras, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012) 065207., 2012
O. Hatori and L. Molnár: Isometries of the unitary group, Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), 2141-2154., 2012
O. Hatori, G. Hirasawa, T. Miura and L. Molnár: Isometries and maps compatible with inverted Jordan triple products on groups, Tokyo J. Math. 35 (2012), 385-410., 2012
G. Dolinar and L. Molnár: Automorphisms for the logarithmic product of positive semidefinite operators, Linear Multilinear Algebra 61 (2013), 161-169., 2013
L. Molnár, G. Nagy and P. Szokol: Maps on density operators preserving quantum f-divergences, Quantum Inf. Process. 12 (2013), 2309-2323., 2013
G. Nagy: Isometries on positive operators of unit norm, Publ. Math. Debrecen 82 (2013), 83-192., 2013
L. Molnár: Jordan triple endomorphisms and isometries of spaces of positive definite matrices, Linear Multilinear Alg., to appear., 2014
L. Molnár, P. Semrl and A.R. Sourour: Bilocal automorphisms, Oper. Matrices, to appear., 2014
L. Molnár: General Mazur-Ulam type theorems and some applications, to appear in a volume of the series "Operator Theory: Advances and Applications"., 2015



Back »