Kölcsönható részecskerendszerek skálázott limeszei: fluktuációk, határeloszlások, hidrodinamikai limeszek  részletek

súgó  nyomtatás 
vissza »
 

Projekt adatai

  
azonosító
100473
típus K
Vezető kutató Tóth Bálint
magyar cím Kölcsönható részecskerendszerek skálázott limeszei: fluktuációk, határeloszlások, hidrodinamikai limeszek
Angol cím Scaling limits of interacting particle systems: fluctuations, limit distributions, hydrodynamic limits
magyar kulcsszavak kölcsönható részecskerendszerek, fluktuációk, határeloszlás-tételek, hidrodinamikai határátmenet, entrópia, bolyongások, nem-reverzibilis rendszerek
angol kulcsszavak interacting particle systems, fluctuations, limit theorems, hydrodynamic limit, entropy, random walks, non-reversible systems
megadott besorolás
Matematika (Műszaki és Természettudományok Kollégiuma)100 %
Ortelius tudományág: Valószínűségelmélet
zsűri Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely Sztochasztika Tanszék (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem)
résztvevők Balázs Márton
Fritz József
Horváth Illés Antal
Nagy Katalin
Ráth Balázs
Vető Bálint
projekt kezdete 2012-01-01
projekt vége 2016-12-31
aktuális összeg (MFt) 20.704
FTE (kutatóév egyenérték) 12.89
állapot lezárult projekt
magyar összefoglaló
(1) Aszimmetrikus kölcsönható részecskerendszerek stacionárius fluktuációi: Tovább tanulmányozzuk, újabb modellekre alkalmazzuk a korábbi munkánkban bevezetett mikroszkopikus konvexitás fogalmát. Attraktív rendszerek tanulmányozására kifejlesztett csatolási módszereket tervezünk kiterjeszteni bizonyos egy-komponensű, de nem attraktív rendszerekre. Egy dimenziós részecskerendszerek bonyolult szerkezetű stacionárius eloszlásait vizsgáljuk.
(2) Aszimmetrikus részecskerendszerek hiperbolikus hidrodinamikai limesze: A kompenzált kompaktság és relaxációs sémák mikroszkopikus elméletét kiterjesztve, Euler-féle skálázás mellett hiperbolikus hidrodinamikai limeszt bizonyítunk. Tanulmányozzuk az egyértelműség kérdését, ami a korábbiakban többnyire nyitva maradt. Több megmaradó mennyiséggel rendelkező rendszereket vizsgálunk, úm. kölcsönható kizárásos modell, Ginzburg-Landau modellek, anharmonikus oszcillátor-láncok. A PDE elmélet és a valószínűségszámítás technikai eszközeit ötvözzük.
(3) Hosszú memóriájú ön-taszító bolyongások és diffúziók: Kiterjesztjük korábbi 1d anomális határeloszlás-tételeinket: Robusztus „univerzális” bizonyítást adunk korábbi, t^{2/3}-skálázású eredményeinkre, mely érvényes lesz modelleknek tágabb osztályára. Vizsgáljuk a 2d, marginálisan szuperdiffuziv esetet, melyben logaritmikus korrekció várható a diffuziv skálázáshoz képest. Az 1d modell kapcsán felmerülő operátor-félcsoport és infinitezimális generátora analitikus tulajdonságait vizsgáljuk. A Kipnis-Varadhan tételkört kiterjesztjük és alkalmazzuk.
(4) Egyéb, a fenti három témakörhöz érintőlegesen csatlakozó kutatások: Kvantum spin-rendszerek makroszkópikus statisztikus fizikai tulajdonságait vizsgáljuk sztochasztikus módszerekkel. Nagy véletlen gráf modellek aszimptotikus tulajdonságait vizsgáljuk, határeloszlás-tételek szempontjából.
angol összefoglaló
(1) Steady state fluctuations of asymmetric systems of interacting particles: We further investigate the concept of micro-convexity developed in our earlier work, and extend its domain of applicability. We plan to extend the coupling techniques developed for attractive particle systems to some one-component but non-attractive systems. We investigate steady-state distributions of 1d asymmetric interacting particle systems with intricate structure.
(2) Hyperbolic hydrodynamic limits of asymmetric particle sytems: We extend the microscopic theory of compensated compactness and relaxation schemes to obtain hyperbolic hydrodynamic limits under Eulerian scaling. Uniqueness is a central issue left open so far in many interesting cases. We investigate models with several conservation laws such as interacting exclusions, Ginsburg-Landau models, and chains of anharmonic oscillators. We use intricate mixtures of PDE and probabilistic techniques.
(3) Self-repelling random walks/diffusions with long memory: We plan to extend the earlier 1d results (anomalous scaling limits): Provide robust "universal" proofs of our earlier t^{2/3}-scaling results, valid for wider classes of models. We investigate the 2d marginally super-diffusive scaling limit of these models, leading to log-corrections of the usual diffusive scaling. We investigate the operator semigroups and their infinitesimal generators, arising in these very specific infinite dimensional Markov processes. We extend and apply the Kipnis-Varadhan theory for proving central limit behaviour for random walks with long memory.
(4) Other research topics related tangentially with the above mentioned three main directions: Using stochastic representations we investigate statistical mechanical properties of quantum spin systems. We investigate asymptotic properties of large random graph models, with special view on limiting distributions.




 

Zárójelentés

  
kutatási eredmények (magyarul)
RÉSZECSKE RENDSZEREK: Nagy részecskerendszerek stacionárius áramfluktuációit és nem-egyensúlyi hidrodinamikai határátmeneteit vizsgáltuk, nem-reverzibilis dinamikák esetében. Bebizonyítottuk, hogy viszonylag egyszeru modellek is nagyon gazdag fázis-diagrammot mutatnak, a Riemann-probléma megoldásában. Másodosztályú részecskék trajektóriájára bizonyítottunk határeloszlás-tételeket, abban az esetben, amikor a Riemann-probléma megoldása ritkulási hullám. Ezzel PA Ferrari és C Kipnis egy régi eredményét terjesztettük ki. BOLYONGÁSOK ÉS DIFFÚZIÓK: Centrális határeloszlás-tételt bizonyítottunk véletlen közegu bolyongásra a bi-sztochasztikus esetben, a lokális drift-mezo kovarianciájára kikötött $H_1$-feltétel mellett. A periodikus Lorentz-gáz részecskéjének trajektóriájára bizonyítottunk szuperdiffuzív határeloszlás-tételt a Boltzmann-Grad határátmenetben, tetszoleges dimenzióban. PERKOLÁCIÓ:Benjamini-Shramm határátmenetet bizonyítottunk egy mean-field erdotuz modellre, amely önszervezodo kritikus viselkedést mutat. Éles korlátokat bizonyítottunk az összefonódó perkoláció modelljében 3 és magasabb dimenzióban. Szétcsatolási egyenlotlenségeket bizonyítottunk a szabad Gauss mezore. Bebizonyítottuk, hogy a voter-modellben, 5 és magasabb dimenzióban végtelen perkoláló fürt alakul ki. VÉLETLEN MÁTRIXOK ÉS KARDAR-PARISI-ZHANG UNIVERZALITÁS: KPZ skálázást és Tracy-Widom határeloszlást bizonyítottunk a $q$-d eformált TASEP és más egzotikus modellekben.
kutatási eredmények (angolul)
PARTICLE SYSTEMS: We investigated large scale steady state fluctuations and non-equilibrium hydrodynamic behaviour of interacting particle systems with non-reversible dynamics. We showed that even a reasonably simple model can exhibit rich phase diagram for the solution of the Euler-problem. We investigated large scale limit of the trajectory of second class particle in the rarefaction fan in general 1- d attractive particle systems generalising results of Ferrari and Kipnis. RANDOM WALKS AND DIFFUSIONS: We proved diffusive central limit t heorem for the displacement of a random walk in stationary doubly stochastic random environment, under the H_1 condition imposed on the drift field. We proved super-diffusive CLT and invariance principle for the displacement of a test particle in the periodic Lorentz gas in the Boltzmann-Grad limit, in any dimension. PERCOLATION: We established Benjamini-Schramm limit for a mean-field forest fire model exhibiting self-organised criticality. We proved sharp bounds for the critical parameter of the random interlacement percolation process in dimensions 3 and more. We proved decoupling inequalities for the Gaussian free field. We proved the existence of infinite percolation in the voter model in 5 dimensions. RANDOM MATRIX THEORY AND KARDAR-PARISI-ZHANG UNIVERSALITY: We proved KPZ scaling and Tracy-Widom limit dis tribution for the current fluctuations of the q-deformation of TASEP and other exotic models.
a zárójelentés teljes szövege https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=100473
döntés eredménye
igen





 

Közleményjegyzék

  
Balazs Rath, Daniel Valesin: : Percolation on the stationary distributions of the voter model, Annals of Probability (under revision), 2016
Jens Marklof, Balint Toth: Superdiffusion in the periodic Lorentz gas, Communications in Mathematical Physics, vol 347 (2016) 933-981, 2016
Gady Kozma, Balint Toth: CLT for random walks in doubly stochastic random environment: $H_{-1}$ suffices, Annals of Probability (accepted forpublication), 2017
Alexei Borodin, Iwan Corwin, Patrik L. Ferrari, Balint Vető: Height fluctuations for the stationary KPZ equation, Mathematical Physics, Analysis and Geometry, vol 18, no 1, pp 1-95, 2015
Márton Balázs, Áron Folly: Electric network for non-reversible Markov chains, The American Mathematical Monthly, Vol. 123, No. 7 (August-September 2016), pp. 657-682, 2016
Reka Szabo, Balint Veto: Ages of records in random walks, Journal of Statistical Physics, vol 165, no 6, pp 1086-1101, 2016
Márton Balázs, Attila L. Nagy, Bálint Tóth, István Tóth: Coexistence of shocks and rarefaction fans: complex phase diagram of a simple hyperbolic particle system, Journal of Statistical Physics, vol 165 (2016) pp. 115-125, 2016
Márton Balázs, Attila László Nagy: How to initialize a second class particle?, The Annals of Probability, accepted for publication, 2017
Balazs Rath, Daniel Valesin: : Percolation on the stationary distributions of the voter model, Annals of Probability (accepted for publication), 2017
Patrik L. Ferrari, Bálint Vető: The hard-edge tacnode process for Brownian motion, arXiv: 1608.00394, submitted for publication, 2016
Attila Egri, Illés Horváth, Ferenc Kovács, Roland Molontay: Fingerprinting and reconstruction of functionals of discrete time Markov chains, Lecture Notes in Computer Science, vol. 9845, 2016
Illés Horváth, Miklós Telek: Mean field for performance models with deterministic delays and interrupts, Performance Evaluation, vol 105 (2016), pp 1-21, 2016
Illés Horváth, Orsolya Sáfár, Miklós Telek, Bence Zámbó: Concentrated matrix exponential distributions, Proceedings of EPEW 2016 - European Workshop on Performance Engineering (2016), pp 18-31, 2016
Balázs Ráth: Feller property of the multiplicative coalescent with linear deletion, arXiv:1610.00021, submitted for publication, 2016
Balázs Ráth, James B. Martin: Rigid representations of the multiplicative coalescent with linear deletion, arXiv:1610.00891, submitted for publication, 2016
Márton Balázs, Ross Bowen: Product blocking measures and a particle system proof of the Jacobi triple product, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. (accepted for publication), 2017
Márton Balázs, Júlia Komjáthy, Timo Seppäläinen: Fluctuation bounds in the exponential bricklayers process, Journal of Statistical Physics, Volume 147 (2012) pp 35-62, 2012
Márton Balázs, Júlia Komjáthy, Timo Seppäläinen: Microscopic concavity and fluctuation bounds in a class of deposition processes, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. Volume 48(2012) pp 151-187., 2012
Márton Balázs, Miklós Z. Rácz, Bálint Tóth: Modeling flocks and prices: jumping particles with an attractive interaction, Annales de l’Institut Henri Poincaré (accepted for publication, 2012), 2014
Márton Balázs, Dávid Zoltán Szabó: Comparing dealing methods with repeating cards, (preprint) http://arxiv.org/abs/1208.0695, 2013
József Fritz: Compensted compactness and relaxation at the microscopic level, Annales Mathematicae et Informaticae, Vol. 39 (2012) pp 83--108 ., 2012
József Fritz: Remarks on hyperbolic scaling limits, (preprint), 2013
Patrik Ferrari, Balint Veto: Non-colliding Brownian bridges and the asymmetric tacnode process, Electronic Journal of Probability, Vol. 17 (2012), paper no. 44, pp 1-17., 2012
Illes Horvath, Balint Toth, Balint Veto: Relaxed sector condition, Bull. Inst. Math. Acad. Sin. (N.S.) 7 (2012), no. 4, pp. 463-476, 2012
Anna Erschler, Bálint Tóth, Wendelin Werner: Some locally self-interacting walks on the integers, Probability in Complex Physical Systems (Festschrift for Erwin Bolthausen and Jürgen Gärtner), pp. 313-338, Springer, 2012., 2012
Anna Erschler, Bálint Tóth, Wendelin Werner: Stuck walks, Probability Theory and Related Fields, vol. 154 (2012) pp. 149-163, 2012
Bálint Tóth, Benedek Valkó: Superdiffusive bounds on self-repellent Brownian polymers and diffusion in the curl of the Gaussian free field in d=2, Journal of Statistical Physics, vol. 147 (2012) pp. 113-131, 2012
Laure Dumaz, Bálint Tóth: Marginal densities of the "true" self-repelling motion, Stochastic Processes and their Applications, vol. 123 (2013) 1454–1471, 2013
Bálint Tóth: Comment on a theorem of M. Maxwell and M. Woodroofe, Electronic Communications in Probability, vol. 18 (2013) no. 13, 2013
Szabolcs Vajna, Bálint Tóth, János Kertész: Modelling power-law distributed interevent times, New Journal of Physics, vol. 15:10 (2013), paper no: 103023, 2013
Pierre Tarres, Bálint Tóth, Benedek Valkó: Diffusivity bounds for 1d Brownian polymers, The Annals of Probability, 40: 695-713 (2012), 2012
Illés Horváth, Bálint Tóth, Bálint Vetõ: Diffusive limits for "true" (or myopic) self-avoiding random walks and self-repellent Brownian polymers in three and more dimensions, Probability Theory and Related Fields, vol. 153 (2012) pp. 691-726, 2012
Jens Marklof, Balint Toth: Superdiffusive CLT for periodic Lorentz gas in the Boltzmann-Grad limit, preprint, 2014
Gady Kozma, Balint Toth: CLT for random walks in divergence-free random drift field: $H_{-1}$ suffices, preprint, 2014
Edward Crane, Nicholas Freeman, Balint Toth: Local limit for the mean-field forest fire model, preprint, 2014
Patrik L. Ferrari, Balint Vető: Tracy-Widom asymptotics for q-TASEP, preprint, arxiv:1310.2515, 2013
Alexei Borodin, Iwan Corwin, Patrik L. Ferrari, Balint Vető: Height fluctuations for the stationary KPZ equation, preprint, 2014
S. Delvaux, Balint Vető: The hard edge tacnode process and the hard edge Pearcey process with non-intersecting squared Bessel paths, preprint, 2014
Jozsef Fritz: On Uniqueness of the Riemann problem., preprint, 2014
Márton Balázs , Attila László Nagy: Dependent double branching annihilating random walks, preprint, 2014
Márton Balázs, Áron Folly: Irreversible Markov chains and electric networks, preprint, 2014
Márton Balázs, Miklós Z. Rácz, Bálint Tóth: Modeling flocks and prices: jumping particles with an attractive interaction, ANNALES DE L'INSTITUT HENRI POINCARÉ-PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Vol. 50, No. 2, 425–454. (2014), 2014
Márton Balázs, Dávid Zoltán Szabó: Comparing dealing methods with repeating cards, ALEA-LATIN AMERICAN JOURNAL OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS 11 (2), 615–630 (2014), 2014
Jens Marklof, Balint Toth: Superdiffusion in the periodic Lorentz gas, arXiv:1403.6024, submitted for publication, 2014
Gady Kozma, Balint Toth: CLT for random walks in divergence-free random drift field: $H_{-1}$ suffices, arXiv:1411.4171, submitted for publication, 2014
Edward Crane, Nicholas Freeman, Balint Toth: Cluster growth in the dynamical Erdős-Rényi process with forest fires, arXiv:1405.5044, submitted for publication, 2014
Patrik L. Ferrari, Balint Vető: Tracy-Widom asymptotics for q-TASEP, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. (to appear), 2015
Alexei Borodin, Iwan Corwin, Patrik L. Ferrari, Balint Vető: Height fluctuations for the stationary KPZ equation, arXiv:1407.6977, submitted for publication, 2014
Steven Delvaux, Balint Vető: The hard edge tacnode process and the hard edge Pearcey process with non-intersecting squared Bessel paths, arXiv:1412.0831, submitted for publication, 2014
Márton Balázs , Attila László Nagy: Dependent double branching annihilating random walks, arxiv:1501.00739, submitted for publication, 2014
Márton Balázs, Áron Folly: Electric network for non-reversible Markov chains, arxiv:1405.7660, submitted for publication, 2014
Alexander Drewitz, Balazs Rath, Artem Sapozhnikov: An Introduction to Random Interlacements, SpringerBriefs in Mathematics, 2014
Alexander Drewitz, Balazs Rath, Artem Sapozhnikov: Local percolative properties of the vacant set of random interlacements with small intensity, Annales de l'Institut Henri Poincare, Vol. 50, No. 4, 1165–1197 (2014), 2014
Alexander Drewitz, Balazs Rath, Artem Sapozhnikov: On chemical distances and shape theorems in percolation models with long-range correlations, Journal of Mathematical Physics 55, 083307 (2014), 2014
Bálint Vető: Tracy-Widom limit of q-Hahn TASEP, in preparation, arXiv:1407.2787, submitted for piublication, 2014
Balazs Rath: A short proof of the phase transition for the vacant set of random interlacements, Electron. Comm. Probab. 20 (3), 1-11, (2015), 2015
Serguei Popov, Balazs Rath: On decoupling inequalities and percolation of excursion sets of the Gaussian free field, Journal of Statistical Physics (to appear) DOI :10.1007/s10955-015-1187-z, 2015
Richard A. Hayden, Illés Horváth, Miklós Telek: Mean Field for Performance Models with Generally-Distributed Timed Transitions, Proceedings of 11th International Conference on Quantitative Evaluation of SysTems, 2014, pp 90-106, Springer LNCS Vol. 8657, 2014
Illés Horváth, Miklós Telek: A heuristic procedure for compact Markov representation of PH distributions, ValueTools 2014, conference proceedings, 2014
Illés Horváth, Miklós Telek: A constructive proof of the phase-type characterization theorem, Stochastic Models, vol. 31(2) (to appear), 2015
Illés Horváth, János Papp, Miklós Telek: On the canonical representation of order 3 discrete phase type distributions, Electronic Notes in Theoretical Computer Science (submitted), 2015
Márton Balázs, Júlia Komjáthy, Timo Seppäläinen: Fluctuation bounds in the exponential bricklayers process, Journal of Statistical Physics, Volume 147 (2012) pp 35-62, 2012
Márton Balázs, Júlia Komjáthy, Timo Seppäläinen: Microscopic concavity and fluctuation bounds in a class of deposition processes, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. Volume 48 (2012) pp 151-187., 2012
Márton Balázs, Miklós Z. Rácz, Bálint Tóth: Modeling flocks and prices: jumping particles with an attractive interaction, ANNALES DE L'INSTITUT HENRI POINCARÉ-PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Vol. 50, No. 2, 425–454. (2014), 2014
József Fritz: Compensted compactness and relaxation at the microscopic level, Annales Mathematicae et Informaticae, Vol. 39 (2012) pp 83--108 ., 2012
Patrik Ferrari, Balint Veto: Non-colliding Brownian bridges and the asymmetric tacnode process, Electronic Journal of Probability, Vol. 17 (2012), paper no. 44, pp 1-17., 2012
Illes Horvath, Balint Toth, Balint Veto: Relaxed sector condition, Bull. Inst. Math. Acad. Sin. (N.S.) 7 (2012), no. 4, pp. 463-476, 2012
Anna Erschler, Bálint Tóth, Wendelin Werner: Stuck walks, Probability Theory and Related Fields, vol. 154 (2012) pp. 149-163, 2012
Bálint Tóth, Benedek Valkó: Superdiffusive bounds on self-repellent Brownian polymers and diffusion in the curl of the Gaussian free field in d=2, Journal of Statistical Physics, vol. 147 (2012) pp. 113-131, 2012
Laure Dumaz, Bálint Tóth: Marginal densities of the "true" self-repelling motion, Stochastic Processes and their Applications, vol. 123 (2013) 1454–1471, 2013
Bálint Tóth: Comment on a theorem of M. Maxwell and M. Woodroofe, Electronic Communications in Probability, vol. 18 (2013) no. 13, 2013
Szabolcs Vajna, Bálint Tóth, János Kertész: Modelling power-law distributed interevent times, New Journal of Physics, vol. 15:10 (2013), paper no: 103023, 2013
Pierre Tarres, Bálint Tóth, Benedek Valkó: Diffusivity bounds for 1d Brownian polymers, The Annals of Probability, 40: 695-713 (2012), 2012
Illés Horváth, Bálint Tóth, Bálint Vetõ: Diffusive limits for "true" (or myopic) self-avoiding random walks and self-repellent Brownian polymers in three and more dimensions, Probability Theory and Related Fields, vol. 153 (2012) pp. 691-726, 2012
Jens Marklof, Balint Toth: Superdiffusion in the periodic Lorentz gas, Communivcations in Mathematical Physics (to appear, accepted 2015), 2016
Gady Kozma, Balint Toth: CLT for random walks in doubly stochastic random environment: $H_{-1}$ suffices, Annals of Probability (under revision), 2016
Edward Crane, Nicholas Freeman, Balint Toth: Cluster growth in the dynamical Erdős-Rényi process with forest fires, Electronic Journal of Probability, vol 20, paper no. 101, pp 1-35, 2015
Patrik L. Ferrari, Balint Vető: Tracy-Widom asymptotics for q-TASEP, Annales de l'Institut Henri Poincaré - Probab. Stat., vol 51, no. 4, pp 1465-1485 (2015), 2015
Alexei Borodin, Iwan Corwin, Patrik L. Ferrari, Balint Vető: Height fluctuations for the stationary KPZ equation, Mathematical Physics, Analysis and Geometry (accepted for publication 2015), 2016
Steven Delvaux, Balint Vető: The hard edge tacnode process and the hard edge Pearcey process with non-intersecting squared Bessel paths, Random Matrices: Theory and Applications, vol 4, no.2 1550008 (2015), 2015
Márton Balázs , Attila László Nagy: Dependent double branching annihilating random walks, Electronic Journal of Probability, vol 20, paper no. 84, pp 1-32, 2015
Márton Balázs, Áron Folly: Electric network for non-reversible Markov chains, The American Mathematical Monthly (to appear, accepted 2015), 2016
Bálint Vető: Tracy-Widom limit of q-Hahn TASEP, in preparation, Electronic Journal of Probability, vol 20, paper no. 102, pp. 1-22, 2015
Serguei Popov, Balazs Rath: On decoupling inequalities and percolation of excursion sets of the Gaussian free field, Journal of Statistical Physics, vol 159, issue 2, pp 312-320 (2015), 2015
Illés Horváth, Miklós Telek: A constructive proof of the phase-type characterization theorem, Stochastic Models, vol. 31(2) pp 316–350 (2015), 2015
Illés Horváth, János Papp, Miklós Telek: On the canonical representation of order 3 discrete phase type distributions, Electronic Notes in Theoretical Computer Science, Volume 318, 25 November 2015, Pages 143-158 (2015), 2015
Reka Szabo, Balint Veto: Ages of records in random walks, arXiv:1510.01152, submitted for publication, 2016
Márton Balázs, Attila L. Nagy, Bálint Tóth, István Tóth: Non-equilibrium hydrodynamic behavior of an asymmetric particle system, arXiv:1601.02161, submitted for publication, 2016
Márton Balázs, Attila László Nagy: How to initialize a second class particle?, arXiv:1510.04870, submitted for publication, 2016
Balazs Rath: A short proof of the phase transition for the vacant set of random interlacements, Electron. Comm. Probab. vol 20, paper no. 3, pp 1-11, (2015), 2015




 

Projekt eseményei

  
2014-11-25 09:42:43
Résztvevők változása



vissza »