Matematika (Műszaki és Természettudományok Kollégiuma)
100 %
Ortelius tudományág: Számelmélet
zsűri
Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely
HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
projekt kezdete
2012-01-01
projekt vége
2015-12-31
aktuális összeg (MFt)
3.484
FTE (kutatóév egyenérték)
3.20
állapot
lezárult projekt
magyar összefoglaló
Az automorf formák gazdag szimmetriával rendelkező harmonikus hullámok, a különféle harmóniákat L-függvények kódolják el. Ezek az objektumok segítenek az egész számok (más jellegű) mély szimmetriának megértésében. Fontos és természetes probléma az automorf formák és L-függvényeik értékeloszlásának tanulmányozása, pl. mekkorák és milyen gyakoriak a hullámhegyek, vagy átlagosan mekkora az L-függvény. A vezető kutató a korábbi módszereinek a kiterjesztésével, illetve új eszközök bevonásával tervez új eredményeket bizonyítani ezen a területen.
angol összefoglaló
Automorphic forms are harmonic waves with a rich symmetry, the various harmonies being encoded in L-functions. These objects help us to understand the deep symmetries (of a different kind) of whole numbers. An important and natural problem is to study the value distribution of automorphic forms and their L-functions, e.g. how large and how frequent are the wave peaks, or how large is the L-function on average. The principal investigator plans to prove new results in this area by extending his earlier methods and by utilizing new tools.
Zárójelentés
kutatási eredmények (magyarul)
Rudnick-Sarnak (1994) kvantum-egyértelmű ergodicitási (QUE) sejtése szerint egy negatív görbületű M kompakt sokaságon az L^2-normalizált f Laplace-sajátfüggvények egyenletesen oszlanak el: az |f(m)|^2.dvol(m) mértékek a dvol(M) mértékhez tartanak, amint az L Laplace-sajátérték a végtelenhez tart. A sejtést a fizika motiválja: az M-en egy szabadon mozgó pontszerű részecske Anosov-Sinai (1967) tétele szerint tipikusan egyenletesen oszlik el, miközben a kvantum-leírásban a részecske az f(m).exp(-iLt) stacionáris hullámok lineáris kombinációja.
A QUE-sejtéstől ösztönözve vizsgáltuk (Blomerrel és Milićević-csel közösen) az aritmetikus hiperbolikus 3-sokaságok Hecke-Maass csúcsformáinak szup-normáját. Általános becslést igazoltunk, ami két különböző aspektusban megegyezik az aritmetikus hiperbolikus felületeken ismert legjobb eredményekkel: Iwaniec-Sarnak (1995) és Harcos-Templier (2013) becsléseivel. Ennek az eredménynek a szint aspektusbeli részét általános számtestek feletti csúcsformákra is kiterjesztettük (Magával közösen).
Aktívan részt vettünk a Tao által vezetett Polymath8 kutatócsoportban. A csoport azzal a céllal jött létre, hogy Zhang (2014), majd később Maynard (2015) korlátos prímhézagokra vonatkozó szenzációs eredményeit optimalizálja és továbbfejlessze. A Polymath8 által elért számos eredmény közül csak kettőt említünk: végtelen sokszor két szomszédos prímszám között a hézag legfeljebb 246, illetve egy általános Elliott-Halberstam-sejtés mellett legfeljebb 6.
kutatási eredmények (angolul)
The Quantum Unique Ergodicity (QUE) conjecture of Rudnick-Sarnak (1994) states that the L^2-normalized Laplacian eigenfunctions f:M->C on a compact manifold M of negative curvature get equidistributed: the measures |f(m)|^2.dvol(m) tend to dvol(M) on M as the Laplacian eigenvalue L tends to infinity. The conjecture is motivated by physics: a freely moving point particle on M typically gets equidistributed by a theorem of Anosov-Sinai (1967), while the quantum description of such a particle is a linear combination of the stationary waves f(m).exp(-iLt).
Motivated by the QUE conjecture, we investigated (jointly with Blomer and Milićević) the sup-norm of Hecke-Maass cusp forms on arithmetic hyperbolic 3-manifolds. We proved a general estimate that matched in two different aspects the best known results on arithmetic hyperbolic surfaces due to Iwaniec-Sarnak (1995) and Harcos-Templier (2013). We also extended (jointly with Maga) the level aspect part of this result to cusp forms over general number fields.
We participated actively in the Polymath8 research group led by Tao. The group was formed in order to optimize and develop further the sensational results on bounded prime gaps of Zhang (2014), and later those of Maynard (2015). Among the many results obtained by Polymath8, we mention only two: infinitely often the gap between two neighboring primes is at most 246, and under a generalized Elliott-Halberstam conjecture it is at most 6.
Wang L, Liu Y-H, Iazzi M, Troyer M, Harcos G: Split orthogonal group: A guiding principle for sign-problem-free fermionic simulations, PHYS REV LETT 115: (25) , 2015
Blomer V, Harcos G, Milićević D: Bounds for eigenforms on arithmetic hyperbolic 3-manifolds, DUKE MATH J &: &, 2016
Wouter Castryck, Étienne Fouvry, Gergely Harcos, Emmanuel Kowalski, Philippe Michel, Paul Nelson, Eytan Paldi, János Pintz, Andrew V Sutherland, Terence Tao, Xiao-Feng Xie: New equidistribution estimates of Zhang type, ALGEBR NUMBER THEORY 8: (9) 2067-2199, 2014
Blomer V, Harcos G: Addendum: Hybrid bounds for twisted L-functions, J REINE ANGEW MATH 694: 241-244, 2014
Harcos G: Twisted Hilbert modular L-functions and spectral theory, In: Liu J (szerk.) (szerk.) Automorphic forms and L-functions. Somerville: International Press, 2014. pp. 49-67. (Advanced Lectures in Mathematics; 30.), 2014
Harcos G, Polymath DHJ: New equidistribution estimates of Zhang type, ALGEBR NUMBER THEORY 8: 2067-2199, 2014
Harcos G, Polymath DHJ: Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, RES MATH SCI 1: (12) 1-83, 2014
