Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem)
résztvevők
Lángi Zsolt Novák-Szabó Tímea Sipos András Árpád Török Ákos Várkonyi Péter László
projekt kezdete
2012-10-01
projekt vége
2017-09-30
aktuális összeg (MFt)
42.936
FTE (kutatóév egyenérték)
10.00
állapot
lezárult projekt
magyar összefoglaló
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. A kutatás keretében az OTKA 72146 szerves folytatásaként merev testek egyensúlyi osztályai, geometriai formái, az egyensúlyok toploógiája és a formák időbeli változása között keresünk összefüggéseket. Az egyensúlyi osztályokat korábban definiáltuk és bebizonyítottuk, hogy síkban egy üres osztály van térben pedig nincsen üres osztály. Az utóbbi eredmény alapja az {1,1} osztályba tartozó mono-monostatikus Gömböc létének bizonyítása volt. Az OTKA 72146 keretében megmutattuk hogy ez az osztályozás hasznos lehet teknős páncélok és kavicsok geometriájának megértésében.
Jelen kutatás egyik kiemelt célja ezen osztályozás finomítása az egyensúlyok topológiáját is hordozó, úgynevezett másodlagos osztályok bevezetésével.
Az OTKA 72146 keretében (korábbi munkákra is támaszkodva) felállítottunk egy parciális differenciál-egyenletet illetve az arra alapuló diszkrét, sztochasztikus modellt az ütközéses kopási folyamatok leírására. A diszkrét modell segítségével sikerült folyómedrek kopási folyamatait leírnunk.
Jelen kutatás keretében célunk a folyómeder-kopással kapcsolatos korábbi numerikus eredmények analitikus leírása. További cél a kavics-kopásra vonatkozó globális viselkedés vizsgálata az egyenlet alapján. Szintén jelen kutatás célja annak vizsgálata, hogy az ütközéses modell bővíthető-e illetve bővítendő-e további tagokkal annak érdekében, hogy a kísérletek kellően jól magyarázhatóak legyenek. Jelen kutatás tárgya a korábban felállított modell és más felület-evolúciós modellek (pl. Karder-Parisi-Zhang) kapcsolatának vizsgálata
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Jelen kutatás keretében a következő problémákra keressük a választ:
(a) Teljes-e a konvex testek másodlagos (az egyensúlyi helyzetek topológiáját leíró Morse-Smale gráfonb alapuló) osztályozása abban az értelemben, hogy nincsen üres osztály? (Korábban kimutattuk hogy a sokkal durvább elsődleges osztályozás teljes.)
(b) Milyen eloszlást mutatnak a természetben előforduló kavicsformák a másodlagos osztályozásban. Kapcsolódik-e ez az eloszlás egyéb geometriai tulajdonságokhoz illetve magyarázható-e a kopási folyamatokkal?
(c) Megjósolható-e analitikusan stacionárius profilok keletkezése folyómedrek kopási folyamatában a korábban felállított ütközéses egyenletekből? Ha igen, milyen profilok keletkezhetnek és ezek alak-paraméterei hogyan függenek a kopási folyamat bemenő paramétereitől? Erre a kérdésre vonatkozó numerikus vizsgálatokat már végeztünk korábban.
(d) Megjósolható-e domináns arányok megjelenése nagy kavicspopulációkban? Ezt a jelenséget számos geológiai cikk leírja, a Nature-ben közelmúltban megjelent cikk-sorozat is foglalkozik a kérdéssel, de az egyenletek alapján eddig nem sikerült megjósolni.
(e) Van-e összefüggés a kavicsokon megfigyelhető erős szegregáció (méret, alak) és a (d) pontban említett domináns arányok megjelenése között? A szegregációt szintén sokk szakcikk tárgyalja de a két megfigyelést eddig nem próbálták meg összekapcsolni.
A kutatás kiinduló hipotézise hogy a korábban levezetett, ütközéses parciális differenciálegyenlet legalább részlegesen leírja a kopási folyamat geometriáját, elfogadjuk továbbá a több százezer kavics mérésen alapuló geológiai megfigyeléseket a kavics arányokról és a szegregációról.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! A kutatás jelentősége, hogy matematikai eszközökkel magyarázatot próbál adni évszázados geológiai megfigyelésekre. Ennek céljából a térbeli formák leírásának, osztályozásának egy új útját, az egyensúlyi helyzeteken alapuló osztályozást finomítja tovább a másodlagos, topológiai osztályok bevezetésével. Ezek előnye, hogy a természetben talált formákat mérési hibát, hozzáadott bizonytalanság nem hordozó, természetes számokon alapuló adatokkal jellemezzük. Bár a kutatók többé-kevésbé egyetértenek abban, hogy a kopást leíró parciális differenciálegyenletek fizikailag helyesek, az egyenletek megoldásainak globális szerkezetéről nagyon keveset tudunk, nem ismert, hogy vannak-e pl. önhasonló megoldások melyek a természetben megfigyelhető domináns arányokat produkálnák. Ha sikerülne ilyeneket kimutatni az egyenletekben az fényt derítene a formák kialakulásának okaira. Ezáltal a megfigyelt formákból következtetni lehetne történetükre. Az önhasonló megoldások speciális eseteként kezelhetőek a stacionárius megoldások, melyeket folyómedrekben figyeltek meg. Ha sikerülne ilyen megoldásokat kimutatni az egyenletekben akkor ezzel a meder-kopás geometriájából tudnánk a kopás történetére következtetni.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A kavicsok változatos formái Arisztotelész óta érdeklik a tudósokat. Kérdés, hogy a megfigyelt formákból tudunk-e következtetni kialakulásuk folyamatára? Munkánk első részében a formák egy új, matematikai osztályozására teszünk javaslatot, melynek előnye, hogy nem tartalmaz mérési bizonytalanságokat, a formákat a természet által létrehozott természetes számokkal jellemezzük, osztályozzuk. Ezután azt vizsgáljuk, hogy a természetben mely osztályba tartozó kavicsok fordulnak elő. Hasonlóan a bolygómozgásokhoz, a kavicsok kopását leíró egyenletek rendelkezésre állnak, de megoldásukat nem ismerjük. Célunk, hogy olyan részleges információkhoz jussunk ezen általános egyenletekből, melyek segítségével a természetben (tengerparton, folyómedrekben) megfigyelt kavicsok alakjából múltjukra, az őket formáló geológiai folyamatokra tudunk következtetni. Hasonló módon, a mederfenéken kialakuló mintázatokból a folyó által szállított, a mintázatot koptatással létrehozó hordalék összetételére szeretnénk matematikai következtetéseket levonni. Munkánk során elméleti módszerekkel vizsgáljuk a rendelkezésre álló egyenleteket, számítógéppel modellezzük a megoldásokat és ezen eredményeket összevetjük a természetben végzett megfigyelésekkel és laborkísérletekkel.
angol összefoglaló
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. This project is the continuation of OTKA 72146 and we investigate the geometry of rigid bodies based on the number and type of their static equilibrium points as well as the evolution of their shape under abrasion and the connection between these two aspects. Primary equilib rium classes have been earlier defined and we showed in OTKA 72146 that this classification is complete, i.e. in 3 doiensions all classes are non-empty. We aslo showed that the classification is useful ingeological (=pebble shapes) and biological (turtles shells) applications.
The current projects aims to make a further step by defining the secondary classification based on the topology of the Morse-Smale garphs associated with the rigid body. In OTKA 72146 we set aup a partial differential equation to model collision-based abrasion processes and a discrete, stochastic numerical scheme based on this equation. By using the latter we succeeded in describing bedrock abrasion, also matching experimental results. Int he current project we aim to explain our previous numerical findings analytically, i.e. we seek stationary profiles as translationally invariant solutions of the governing PDE. It also our goal to investigate the global solution structure of the PDE for compact, closed surfaces modelling pebble shapes. We would like to determine whether the collision-based model is an adequate tool to describe the natural process and the experimenmtal results or further, non-collisional terms might be needed. We seek connection with other models for surface evolution , e.g the Kardard-Parisi-Zhang equation.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. Inn the current research we seek answers to the following questions:
(a) Is the secondary classification of convex bodies (based ont he topology of the Morse-Smale graph) complete int he sense that there are no empty calsses? (Earlier we showed that the much coarser primary classification is complete). (b) How are natural pebble shapes distributed among secondary classes? Is this distribution connected with apparent geometrical features and can it be explained by the abrasion process? (Earlier we showed that the distribution in the primary classes is correlated with the Zingg classification used by geologists). (c) Is it possible to predict stationary profiles analytically from the governing PDE of collisional abrasion? If yes, what profiles have this property and how do their shape parameters depend ont he physical parameters of the abrasion process. (In our earlier work we established these answers numerically). (d) Is it possible to predict dominant pebble ratios based on the governing PDE? This phenomenon was reported earlier, among others in Nature, but no connection with the governing equations has been establisehd so far. (e) Is there connection between dominant pebble ratios and the strong segrgetaion of pebbles by size and shape? Latter ha sbeen reported many times in geological articles but the two phenomena have not been connected so far.
One hypothesis of our research is the governing PDE for collisiononal abrasion which we derived earlier. We also accept the results of geological observations on dominnat pebble ratios and segregation, based ont he measurement on several hunder thousand pebbles.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. The significance of the research is that it seeks mathematical explanation for century-old geological observations. To achieve this goal we propose to refine the novel, equilibrium-based classification scheme for three-dimenional shapes by introducing secondary, topological classes. The advantage of this scheme is that it describes natural shapes by natural numbers, without adding measurement errors. Although many tend to agree that the PDEs desxcribing collisional abrasion offer an adequate description of the natural process, very little is known about the solutions. In particular it is not know whether homothetic (self-similart) solutions exist which would reporduce the dominant pebble ratios observed in Nature. By idebtifying such solutions int he equations we could learn about the origin of these forms, i.e. from the observed shapes we could deduce some relavant aspects of their evolutionary history. Stationary profiles (as travelling solutions of the PDE) could be regarded as special homothetic solutions, these have been observed in riverbeds. If we could identify such solutions int he governing PDE, we would learn about the fundamental mechanisms of bedrock abrasion.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. Pebble shapes ahve fascinated scientists ever since Aristotle described his observations. The fundamental question is whether by observing pebble shapes we can learn about the geological history of their evolution? Int he first part of our work we construct a new classification scheme for shapes. This scheme, rather than relying on length measuerements, assigns naturally availiable integer codes to natural forms and thus eliminates arbitraryness and measuerement errors. We will investigate how natural pebble shapes are distributed in this new coding scheme and whether this distribution already tells something about theor history. Similar to planetary motion, the governing equations describing the abrasion of pebbles are well known but little is know about their general solution. It is our goal to obtain some partial insight into the solution structure of these equations based on which we can deduce the geological history of pebbles found on sea coasts and riverbeds. Similarly, the patterns and formation in riverbeds carry information on the sediment carried by the river, it is our goal to establish these connection, again based ont eh fundamental physical equations. Int he course of our research we use theoretical tools to analyse the equations and we seek to match these findings with laboratory experiments and field data.
Zárójelentés
kutatási eredmények (magyarul)
A projekt fő eredménye, hogy a görbület-vezérelt parciális differenciálegyenletek egy osztályáról, megmutattuk, hogy ezek az üledékes részecskék kopásának megbízható modelljei. Az ezen folyamat kezdeti feltételét adó természetes fragmensek, poliéderes geometriájára vonatkozó univerzális tulajdonságokat vezettünk le. Poliéderekből induló görbület-vezérelt kopás esetén sikerült két markánsan elkülönülő fázis leírnunk. Ezen eredmények alapján két helyszínen tudtunk geológiailag is érdekes állításokat megfogalmazni a folyami kavicsok kopásáról. A NASA Curiosity robotja által küldött fényképeken látható kavicsokról következtetni tudtunk a Mars felszínén több milliárd évvel ezelőtt működött folyók hosszára. Magyarázatot adtunk a homok által koptatott sivatagi kövek poliéderes formájára valamint a folyami medrekben megfigyelhető körív alakú profilokra.
A statikai egyensúlyok és a térbeli formák közötti kapcsolatról megmutattuk, hogy amennyiben az egyensúlyok számát valószínűségi változóval modellezzük, akkor görbület-vezérelt modellekben ezen változó várható értéke csökken. Az egyensúlyi helyzetek számán alapuló elsődleges osztályozás teljességét a Kolumbusz algoritmussal bizonyítottuk. Jelen projekt keretében megmutattuk, miért tűnik lehetetlennek egy inverz algoritmus megalkotása, ugyanakkor az algoritmus általánosításával bizonyítottuk az egyensúlyi helyzetek topológiáján alapuló, finomabb, geofizikai szempontból is ígéretes másodlagos osztályozás teljességét.
kutatási eredmények (angolul)
The main result of this project is that we established curvature-driven partial differential equations as reliable models for the shape evolution of sedimentary particles. We showed that natural fragments, serving as initial conditions of this process display universal geometric features and we also showed that curvature-driven abrasion has two phases. Based on these findings we were not only able to determine crucial characteristics of fluvial abrasion in two geological environments but we also deduced the provenance of pebbles on the pictures of NASA’s Curiosity rover, thus providing new evidence for past fluvial activity on Mars. Our models also provided explanation for the polyhedral shape of sand-abraded rocks and for the circular shape of upward-facing riverbed profiles.
We also focused on the links between shape and mechanical equilibria. We proved that curvature-driven models tend to reduce the number N of equilibria. Apparently, this is a delicate property based on which the model’s physical relevance can be tested. Classification schemes are the basis to understand the evolution of equilibria. Earlier we established the primary scheme, based on the number and type of equilibria and proved the Columbus algorithm which increases N by small truncations. Now we showed why an inverse algorithm might not exist and we also proved the completeness of a more refined, secondary scheme which appears to play a key role in the description of natural abrasion processes.
Szabó T., Fityus S., Domokos G.: Abrasion model of downstream changes in grain shape and size along the Williams River, Australia, Journal of Geophysical Research: Earth Surface Volume 118, Issue 4, pages 2059–2071, December 2013, 2013
Domokos G., Lángi Z.: The robustness of convex solids, Mathematika Vol 60 pp 237-256, 2014
