Hálózati folyamatok, parciális differenciálegyenletek és alkalmazásaik  részletek

súgó  nyomtatás 
vissza »
 

Projekt adatai

  
azonosító
115926
típus K
Vezető kutató Simon Péter
magyar cím Hálózati folyamatok, parciális differenciálegyenletek és alkalmazásaik
Angol cím Network processes, partial differential equations and applications
magyar kulcsszavak differenciálegyenlet
angol kulcsszavak differential equation
megadott besorolás
Matematika (Műszaki és Természettudományok Kollégiuma)100 %
Ortelius tudományág: Differenciálegyenletek
zsűri Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék (Eötvös Loránd Tudományegyetem)
résztvevők Besenyei Ádám
Garay Barnabás
Kunszenti-Kovács Dávid
Simon László
Varga György Csaba
Zempléni András
projekt kezdete 2016-01-01
projekt vége 2021-12-31
aktuális összeg (MFt) 8.626
FTE (kutatóév egyenérték) 17.10
állapot lezárult projekt
magyar összefoglaló
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
Legfőbb célkitűzésünk a hálózati folyamatok és parciális differenciálegyenletek témáiban megkezdett kutatásaink folytatása és kiszélesítése, valamint az eredményeink továbbfejlesztése. A komplex hálózatokon zajló folyamatokkal kapcsolatban a közelmúltban az irányíthatóságnak az irodalomban viszonylag új témakörében tettünk kezdeti lépéseket, amelyeknek számos folytatási iránya rajzolódik ki a különféle mean-field típusú (átlagolt) egyenletek, illetve a valódi folyamat irányítása kapcsán. Egy másik, ugyancsak a hálózatokhoz kötődő kérdés, hogy a folyamatot modellező parciális differenciálegyenlet milyen pontos közelítését szolgáltatja az eredeti sztochasztikus folyamatnak. Ebben a témakörben is több eredményünk összetettebb modellekre való kiterjesztési lehetősége körvonalazódik. Celluláris neurális hálózatok esetében ún. metastabil oszcillációkat vizsgálunk. Ezek a mérnöki szakirodalomban gyakran vizsgált olyan megoldások, amelyek nagyon hosszú ideig periodikusak, de végül egyensúlyhoz tartanak. A monoton dinamikai rendszerek eszközeinek segítségével és spektrális módszerekkel ilyen megoldások matematikai leírásával foglalkozunk. A kutatás másik nagy területe a nemlokális függést tartalmazó parciális differenciálegyenletek és rendszerek, valamint nemsima tagokat tartalmazó sajátérték-feladatok megoldhatóságának, és ezzel összefüggésben funkcionálok kritikus pontjainak vizsgálata. Előbbit a monoton operátorok elméletének felhasználásával, utóbbit pedig a variációszámítás eszköztárának segítségével tanulmányozzuk. Mindkét kérdéskörben lehetőség nyílik a meglévő eredményeknek az alkalmazásokban előforduló feladatok minél szélesebb körére való kiterjesztésére.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
Kutatásunk két fő, egymással érintkező iránya a komplex hálózatokon zajló folyamatok, valamint különböző típusú parciális differenciálegyenletek elméleti vizsgálata. A hálózatok témakörében érdeklődésünk középpontjában az irányíthatóság problémája áll, amelynek alapkérdését a legegyszerűbben a betegségterjedés folyamatával összefüggésben fogalmazhatjuk meg: milyen kapcsolatokat szüntessünk meg és hozzunk létre, hogy a járvány terjedését megállítsuk olyan módon, hogy közben a közösség kapcsolati struktúrája ne változzon meg gyökeresen. Celluláris neurális hálózatok esetében az alapkérdés, hogy adott hálózati szerkezet esetében megjelennek-e metastabil oszcillációk, azaz olyan megoldások, amelyek nagyon hosszú ideig periodikusak, de végül egyensúlyhoz tartanak. A másik irányban a különféle alkalmazások során előforduló, nemlokális függést (többek között késleltetést, vagy az ismeretlen függvény integrálját) tartalmazó parabolikus és hiperbolikus parciális differenciálegyenletek és rendszerek, variációs egyenlőtlenségek, valamint sajátérték-feladatok megoldhatósági kérdéseit tanulmányozzuk. Célunk egyrészt a monoton típusú operátorok elméletének segítségével a megoldások létezésére vonatkozó elégséges feltételek megfogalmazása. Másrészt pedig a sajátérték-feladatok kapcsán a variációszámítás eszközeit használva különböző, nemsima tagokat tartalmazó energiafunkcionálok kritikus pontjait vizsgáljuk. Kutatásunk két iránya között teremt kapcsolatot az a kérdés, hogy egy hálózati folyamatot közelítő parciális differenciálegyenlet milyen információt ad az eredeti folyamatról.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Kutatásunk különböző irányaiban mind elméleti, mind az alkalmazások szempontjából meghatározó problémák állnak. Komplex hálózatok irányíthatósági kérdéseit eddig többnyire csak a hálózatot leíró gráf irányítási problémájaként tanulmányozták az irodalomban. Kutatásunkban nemcsak a hálózat szerkezetét, hanem egy azon időben zajló folyamatot is tekintünk, melynek egy cél állapotba való vezérelhetőségét vizsgáljuk, ami elméleti szempontból kihívásokat jelentő, az alkalmazások (például betegségterjedés) szempontjából pedig kiemelkedően fontos terület. Celluláris neurális hálózatokban kísérletileg, illetve szimulációkban sokan vizsgálnak metastabil oszcillációkat. Ezek matematikai eszközökkel történő kifinomult vizsgálata nagy jelentőségű az alkalmazások szempontjából. A kvantummechanikában alapvető szerepet töltenek be a különböző sajátérték-feladatok, amelyeknek a folytonos esetben a variációszámítás keretein belül jól kidolgozott elmélete van. Kutatásunkban ezen eredményeknek bizonyos nem sima esetekre való kiterjesztése a célunk, ezzel bővítve az alkalmazhatóság körét. Nemlokális függést tartalmazó differenciálegyenletek és rendszerek különféle biológiai, kémiai, mérnöki alkalmazásban fordulnak elő. A monoton típusú operátorok elmélete számos ilyen típusú egyenlet és rendszer megoldhatósági kérdéseiben alkalmazható, kutatásunkban ezeket az eredményeket terjesztjük ki hiperbolikus funkcionál-differenciál egyenletekre.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
A tudomány számos területén, többek között a fizikában, műszaki tudományokban, kémiában, biológiában gyakran találkozhatunk bonyolult struktúrájú komplex rendszerekkel. Ilyen például egy sejt metabolikus hálózata, az internet vagy a különböző közösségi hálózatok. Celluláris neurális hálózatok ún. metastabil viselkedése az agyi folyamatok leírásában játszik fontos szerepet. Érdeklődésünk középpontjában a hálózatokon időben és térben zajló folyamatok állnak, mint amilyen egy járvány vagy információ terjedése egy adott közösségen belül. Az ehhez hasonló folyamatok általában közönséges vagy parciális differenciálegyenletekkel írhatók le, amelyek elméleti vizsgálata többnyire nehéz feladat és számos matematikai eszközt igényel. Kutatásunk egyik iránya ezért az egyenletek megoldhatóságával és a megoldások különböző tulajdonságaival kapcsolatos elméleti jellegű kérdések vizsgálata, továbbá annak tanulmányozása, hogy az egyenletek valójában milyen pontos közelítését adják az eredeti komplex rendszernek. A másik irány a hálózaton zajló folyamat szabályozásának kérdése: a hálózat kapcsolatainak milyen típusú megváltoztatásával érhető el, hogy egy adott járvány terjedése megálljon? Az ehhez hasonló kérdések vizsgálatának szerves részét képezik a számítógépes szimulációk, amelyekre ezért kutatásunkban is nagy hangsúlyt fektetünk.
angol összefoglaló
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
The aim of our research is to continue and widen our previous studies in the field of network processes and partial differential equations and to extend the results that we have achieved so far. We have made the first steps recently in the new field of studying the controllability of network processes. This can be extended to the control of different types of mean-field equations and enables us to relate the control of the mean-field equation to that of the real stochastic process. Network processes are described by Markov chains with extremely large state space, hence approximating partial differential equations play an important role in their study. The key theoretical question is to estimate the accuracy of the approximation. We plan to extend our existing results in this field to more sophisticated network models. For cellular neural networks we study metastable oscillations that have been widely studied in neuroscience. They are solutions that show periodic-like behavior for long time, but finally tend to steady state. We apply the theory of monotone dynamical systems and spectral methods to their mathematical investigation. Another field of our research is functional partial differential equations containing non-local terms and elliptic eigenvalue problems with non-smooth terms. The first one will be studied by applying the theory of monotone operators, while for the second we will use variational methods, with emphasis on the mountain pass theorem, to describe critical points of functionals. In both directions we have opportunity to extend our previous theoretical results to cases that are applicable in more realistic situations.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
The two main directions of our research are processes on complex networks and partial differential equations. Concerning network processes we focus on their controllability that can be simply illustrated by epidemic propagation as follows. How can the epidemic be eradicated via cutting edges of the network and keeping the graph well-connected at the same time. In the course of studying cellular neural networks our main goal is to understand how metastable oscillations occur in the system. These are solutions that seem to be periodic for a long time, but they tend to a steady state finally. Concerning partial differential equations we deal with parabolic and hyperbolic equations occurring in different applications and containing non-local terms, such as time-dependent delay or the integral of the unknown function. We are aiming at finding sufficient conditions for the existence of a solution. On the other hand we investigate the solvability of variational inequalities and elliptic eigenvalue problems. This will be carried out by studying the critical points of energy functionals with non-smooth terms. As a link between the two main directions of our research we deal with partial differential equations that arise as approximations of network processes. The goal is to estimate the accuracy of the approximation and to understand how the properties of the network process are inherited by the approximating partial differential equations.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
We are dealing with notable mathematical problems in both directions of our research that are significant from the theoretical and practical point of view. The controllability of complex networks has been studied mostly as controllability of graphs. In our research a process is also evolving on the network and the aim is to control the system to a target state, which is not only a great challenge from the theoretical point of view, but it is also an extraordinarily important question for the applications (e.g. to stop the spread of an epidemic). In cellular neural networks metastable oscillations have been observed numerically and experimentally, however they have been hardly studied theoretically. The application of sophisticated mathematical tools to their investigation may have great importance from the neuroscience point of view. Eigenvalue problems play an important role in quantum mechanics and they have a well-developed theory for the continuous counterpart in the framework of the calculus of variations. We are aiming at extending the known results to the non-smooth case that enables us to increase their applicability. Partial differential equations containing non-local terms occur in several applications in biology, chemistry and engineering science. The theory of monotone operators has been successfully applied to prove existence results for parabolic equations. Our goal is to extend our existing results to hyperbolic functional differential equations.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
Complex systems, consisting of many components connected in a possibly complicated structure arise in many areas of science, e.g. in physics, engineering, chemistry or biology. As illustrative examples we can mention the metabolic network of a cell, the internet or different social networks. Metastable behavior in cellular neural networks plays important role in describing processes of the brain. In the focus of our research there are processes on networks such as the spread of an epidemic on a social network or the propagation of information on the internet. These processes can be described by differential equations, the theoretical investigation of which uses several sophisticated tools of mathematics. Hence our research aims at proving the existence of solutions of these equations and characterizing their qualitative properties. Moreover, we deal with the accuracy of different approximating equations compared to the real process. A significant question concerning network processes is their controllability, e.g. how the structure of a network has to be changed in order to eradicate an epidemic, while keeping the network well-connected. These investigations are strongly based on computer simulations, on which great emphasis will be put in our research.




 

Zárójelentés

  
kutatási eredmények (magyarul)
Kutatásainkat a kutatási terv szerint az alábbi területeken végeztük. Hálózati folyamatokat leíró differenciálegyenletekkel kapcsolatos munkánk fő célja olyan közelítő egyenletek levezetése és vizsgálata, melyek segítségével a hálózaton zajló folyamat vizsgálható. Kutatásaink során foglalkoztunk a közelítések pontosságának becslésével, a statikus gráfon ismert eredmények kiterjesztésével adaptív hálózatok esetére (ekkor a gráf is változik a folyamat során), valamint a hálózati folyamat vezérlésével. Celluláris neurális hálózatokban metastabil oszcillációk létrejöttét tanulmányoztuk a monoton dinamikai rendszerek eszközeinek segítségével. Ezek a mérnöki szakirodalomban gyakran vizsgált olyan megoldások, amelyek nagyon hosszú ideig periodikusak, de végül egyensúlyhoz tartanak. Parciális funkcionál differenciálegyenletek témakörében nem lokális tagokat, pl. az ismeretlen függvény integrálját tartalmazó időfüggő nemlineáris funkcionál differenciálegyenleteket és rendszereket vizsgáltunk, parabolikus és hiperbolikus esetben. Az egyes esetekben bebizonyítottuk globális megoldás létezését véges és végtelen időintervallumon, továbbá kiegészítő feltételek mellett igazoltuk a megoldások korlátosságát, illetve stabilizációját, ha az idő végtelenhez tart. Nemfolytonos tagokat tartalmazó sajátérték-feladatok megoldhatóságát tanulmányoztuk funkcionálok kritikus pontjaival összefüggésben a variációszámítás eszköztárának segítségével.
kutatási eredmények (angolul)
The research was carried out according to the research plan in the following directions. The aim of our research concerning differential equations describing network processes was to derive and study approximating models, in order to investigate the properties of the process. We derived estimates for the accuracy of the approximations, extended the known results for static graphs to adaptive networks (when the network is also changing during the process) and studied the controllability of epidemic propagation on networks. For cellular neural networks we studied metastable oscillations that have been widely studied in neuroscience. They are solutions that show periodic-like behavior for long time, but finally tend to steady state. We applied the theory of monotone dynamical systems and spectral methods to their mathematical investigation. The main topic of our research, related to partial functional differential equations, were non-linear time dependent functional differential equations and systems containing non-local terms, e.g. the integral of the unknown function, both in the parabolic and hyperbolic case. We proved the existence of the global solution in finite and infinite time intervals in several cases and verified the boundedness of the solutions and their stability. Elliptic eigenvalue problems with non-smooth terms were studied by applying variational methods, with emphasis on the mountain pass theorem, to describe critical points of functionals.
a zárójelentés teljes szövege https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=115926
döntés eredménye
igen





 

Közleményjegyzék

  
Armbruster, Benjamin, Besenyei Ádám, Simon L Péter: Bounds for the expected value of one-step processes, COMMUN MATH SCI 14: (7) 1911-1923, 2016
Bidari S, Chen X, Peters D, Pittman D, Simon PL: Solvability of implicit final size equations for SIR epidemic models, MATH BIOSCI 282: 181-190, 2016
Bodó Ágnes, Katona Gyula Y, Simon Péter L: SIS Epidemic Propagation on Hypergraphs, B MATH BIOL 78: (4) 713-735, 2016
Kunszenti-Kovács Dávid, Simon Péter L: Mean-field approximation of counting processes from a differential equation perspective, ELECTRON J QUAL THEOR DIFFER EQUAT 75: 1-17, 2016
Simon PL, Kiss IZ: Super compact pairwise model for SIS epidemic on heterogeneous networks, J COMPL NETW 4: (2) 187-200, 2016
Szabó-Solticzky A, Berthouze L, Kiss IZ, Simon PL: Oscillating epidemics in a dynamic network model: stochastic and mean-field analysis, J MATH BIOL 72: (5) 1153-1176, 2016
M. DiMarco, M. Forti, B.M. Garay, M. Koller, L. Pancioni: Floquet multipliers of a metastable rotating wave in a Chua--Yang ring network, J. Math. Anal. Appl. 434, 798--836, 2016
Simon, L.: On a system of nonlinear partial functional differential equations of different types, Stud. Univ. Babes-Bolyai Math. 61, No. 2., 177-194, 2016
Simon, L.: On some properties of a system of nonlinear partial functional differential equations, EJQTDE 2016, No. 22, 1-12, 2016
Hannelore Lisei, Radu Precup and Csaba Varga: A Schechter type critical point result in annular conical domains of a banach space and applications, Disc. Cont. Dyn. Sys., 36(7), 3775 – 3789, 2016
Nicusor Costea, Mihaly Csirik, Csaba Varga: Linking-type results in nonsmooth critical point theory and applications, Set-Valued and Variational Analysis,. doi:10.1007/s11228-016-0383-6, 2016
Bodó Ágnes, Simon L Péter: Analytic Study of Bifurcations of the Pairwise Model for SIS Epidemic Propagation on an Adaptive Network, DIFFER EQUAT DYNAM SYST 25: 1-20, 2017
Kiss István Z, Berthouze Luc, Miller Joel C, Simon Péter L: Mapping Out Emerging Network Structures in Dynamic Network Models Coupled with Epidemics, In: Masuda Naoki, Holme Petter (szerk.) (szerk.) Temporal Network Epidemiology. Singapore: Springer-Verlag Singapore, 2017. pp. 267-289., 2017
Kiss István Z, Miller Joel C, Simon Péter L: Mathematics of Epidemics on Networks, Singapore: Springer, (Interdisciplinary Applied Mathematics; 46.), 2017
B.M Garay, S.Siegmund, S.Trostorff, M. Waurick: Some remarks on local activity and local passivity, Int. J. Bifurc. Chaos, 27, 1750057, 2017
M. Koller, M.Simkó, B.M.Garay: Comparison between piecewise linear and smooth dynamics: A case study of decomposing a degenerate bifurcation, Proceedings of 9th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC2017), edited by Gábor Stépán, Gábor Csernák., 2017
Precup, Radu; Pucci, Patrizia; Varga, Csaba: A three critical points result in a bounded domain of a Banach space and applications, Differential and Integral Equations, Volume: 30, Pages: 555-568., 2017
Costea, Nicusor; Csirik, Mihaly; Varga, Csaba: Linking-Type Results in Nonsmooth Critical Point Theory and Applications, Set-Valued and Variational Analysis, 25, 333-356, 2017
Renata Bunoiu, Radu Precup, Csaba Varga: Multiple positive standing solutions for Schrodinger equations with oscillating state-dependent potentials, Communications on Pure and Applied Analysis, 16, 953-972, 2017
Simon, P.L., Kiss, I.Z.: On bounding exact models of epidemic spread on networks, Disc. Cont. Dyn. Sys., 23(5), 2005–2020, 2018
Bodó, Á., Simon, P.L.: Stochastic simulation control of epidemic propagation on networks, Electronic J. Qualitative Theory Diff. Equ, 41, 1-13, 2018
M. Simkó, M. Koller, B.M. Garay: Dynamics of a Chua-Yang ring network in 8D, In Cellular Nanoscale Networks and their Applications, pp 1-4, 2018
B.M. Garay, J.Várdai: Moving average network examples for asymptotically stable periodic orbits of monotone maps, Electronic J. Qualitative Theory Diff. Equ. 52, 1-18, 2018
L. Simon: Multiple solutions of nonlinear elliptic functional differential equations, Electronic J. Qualitative Theory Diff. Equ., No. 21, 1-8, 2018
H. Lisei, Cs. Varga, O. Vas: Localization method for the solutions of nonhomogeneous operator equations, Applied Mathematics and Computation 329, 64–83, 2018
M. Mihailescu, D. S. Dumitru, Cs. Varga: The convergence of nonnegative solutions for the family of problems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 24, 569-578, 2018
Kiss., I.Z, Miller, J.C., Simon, P.L.: Fast variables determine the epidemic threshold in the pairwise model with an improved closure, Complex Networks and Their Applications VII. Volume 1, Springer, pp. 365-375, 2019
Barnard, R.C., Berthouze, L., Simon, P.L., Kiss., I.Z.: Epidemic threshold in pairwise models for clustered networks: closures and fast correlations, J. Math. Biol. 79(3),. 823-860, 2019
Faragó, I., Izsák, F., Simon, P.L. (eds.): Progress in Industrial Mathematics at ECMI 2018, Springer, 2019
R.Cressman, M.Koller, B.M.Garay, J.Garay: Evolutionary Substitution and Replacement in N-Species Lotka–Volterra Systems, Dynamic Games and Applications, pp. 1-24, ISSN 2153-0785, Springer, 2019
J.Garay, B.M.Garay, Z.Varga,V.Csiszár, T.F.Móri: To save or not to save your family member’s life? Evolutionary stability of self-sacrificing life history strategy in monogamous sexual populations, BMC Evolutionary Biology 19, 147, 2019
L. Simon: Multiple solutions of nonlinear partial functional differential equations and systems, Electronic. J. Qualitative Theory Diff. Equ. No. 21, 1-16, 2019
L. Simon: On qualitative behavior of multiple solutions of quasilinear parabolic functional equations, Electronic. J. Qualitative Theory Diff. Equ, 2020
R.Cressman, M.Koller, B.M.Garay, J.Garay: Evolutionary Substitution and Replacement in N-Species Lotka–Volterra Systems, Dynamic Games and Applications, 10., 695–718, 2020
L. Simon: On qualitative behavior of multiple solutions of quasilinear parabolic functional equations, Electronic. J. Qualitative Theory Diff. Equ. No.1, 1-9., 2020
Nagy, N., Simon, P. L.: Detailed analytic study of the compact pairwise model for SIS epidemic propagation on networks, Disc. Cont. Dyn. Sys.,Series B, 25(1), 99-115, 2020
Bodó, Á., Simon, P.L.: Transcritical bifurcation yielding global stability for network processes, Nonlinear Analysis, 196, 111808, 2020
Georgiou, N., Kiss, I.Z, Simon, P.L.: Theoretical and numerical considerations of the assumptions behind triple closures in epidemic models on networks, in Trends in Biomathematics: Modeling Cells, Flows, Epidemics, and the Environment, 209-234, 2020
Neogrády-Kiss, M. Simon, P.L.: The effect of inhibitory neurons on a class of neural networks, in Trends in Biomathematics: Modeling Cells, Flows, Epidemics, and the Environment, 97-110, 2020
Neogrády-Kiss, M. Simon, P.L.: Liapunov functions for neural network models, Differ. Equ. Appl., 13, 345-354, 2021
M. Koller, M. Simkó, B.M. Garay: Heteroclinic cycles in Chua-Yang ring networks, CNNA, Catania, September 2021, pp. 1-4., 2021
Nagy Noemi, Simon Peter L.: DETAILED ANALYTIC STUDY OF THE COMPACT PAIRWISE MODEL FOR SIS EPIDEMIC PROPAGATION ON NETWORKS, DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B 25: (1) pp. 99-115., 2020




 

Projekt eseményei

  
2018-01-12 12:45:39
Résztvevők változása



vissza »