Matematika (Műszaki és Természettudományok Kollégiuma)
100 %
Ortelius tudományág: Csoportelmélet
zsűri
Európai Kutatási Tanács (ERC)
Kutatóhely
HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
résztvevők
Csikós Balázs Cziszter Kálmán Sándor Kun Gábor Maróti Attila Pete Gábor Podoski Károly Szabó Endre
projekt kezdete
2016-02-01
projekt vége
2017-07-31
aktuális összeg (MFt)
45.000
FTE (kutatóév egyenérték)
2.45
állapot
lezárult projekt
magyar összefoglaló
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. Terence Tao kezdeményezte az approximatív csoportok elméletét, ami az additív számelmélet nem-kommutatív verziójának tekinthető. Ben Green a 2014-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson tartott erről a témáról plenáris előadást. Ennek az új területnek alapvető eredménye a Szabó és a témavezető (illetve tőlük függetlenül Breuillard-Green-Tao) által bizonyított Szorzat Tétel, miszerint korlátos rangú véges egyszerű csoportok generáló halmazainak hatványai gyorsan növekednek. Ennek a tételnek számos fontos következménye van az expander gráfokra, a számelméletben, a véletlen bolyongásokra és más kérdésekre. Ez az egyik alapja Bourgain-Gamburd-Sarnak affin szitájának, továbbá az aritmetikai csoportok sovány részcsoportjai Sarnak által elindított elméletének. Jelen pályázat fő célja a Szorzat Tétel pro-p csoportokra, illetve nem korlátos rangú csoportokra érvényes változatainak kidolgozása.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. Kutatásunk fő célja annak tanulmányozása, hogy a gyors növekedés jelensége mennyire általános. A Szorzat Tétel segítségével számos mély sejtést sikerült bebizonyítani a korlátos rangú egyszerű csoportokon történő véletlen bolyongásokról.
Célunk a Szorzat Tétel pro-p csoportokra, illetve nem korlátos rangú csoportokra érvényes változatainak kidolgozása.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! Az expander-gráfok nagyon erősen összefüggő, ritka, véges gráfok, amelyek alapvető szerepet játszanak a számítógép-tudományban, a csoportelméletben és a matematika más ágaiban. Nemrégiben újabb váratlan alkalmazásokra találtak, például a számelméletben. Új utat nyitó munkájában Margulis 1973-ban megmutatta, hogy a féligegyszerű Lie-csoportok reprezentációelméletében szerepet játszó Kazhdan (T)-tulajdonságot lehet használni expander-gráfok explicit konstruálására. A közelmúltban elért áttörést jelentő eredmények messzemenően általánosították ezt Pyber és Szabó (illetve Breuillard-Green-Tao) Szorzat Tételére alapozva, valamint további figyelemreméltó alkalmazásokhoz is elvezettek. Például Bourgain és Varjú igazolták, hogy ha G egy S véges részhalmaz által generált Zariski-sűrű részcsoport SL(d,Z)-ben, akkor G-nek SL(d,Z) kongruencia faktorcsoportjaiban vett képei expander-gráf családot alkotnak. A kapcsolódó eredmények az affin szita Bourgain-Gamburd-Sarnak-féle elméletének megalapozásában játszanak kitüntetett szerepet. A Bourgain-Varjú-tétel különösen érdekes abban az esetben, amikor G indexe SL(d,Z)-ben végtelen. Az ilyen részcsoportokat Sarnak sovány részcsoportnak nevezte el. A sovány részcsoportok elméletének széleskörű alkalmazhatóságát (a számelméletben: pl. az affin szita; az alacsony dimenziós topológiában; az aritmetikai geometriában stb.) mutatja be a "Thin groups and superstrong approximation" című kötet, amiből kiemelhető Sarnak nagyívű áttekintő cikke. Vizsgálataink legfőbb célja a Szorzat Tétel pro-p csoportokra, illetve nem korlátos rangú csoportokra érvényes változatainak kidolgozása.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. Ez a kutatás az elméleti matematika egy gyorsan fejlődő területéhez tartozik. A csoportelmélet az absztrakt algebrának az az alapvető ága, amely a szimmetriák különböző formáival foglalkozik. Ez a matematika és az elméleti fizika számos ágát áthatja. Pyber és Szabó új Szorzat Tétele számos alkalmazásra talált nem csak a csoportelméletben, hanem a számelméletben, a számítógép-tudományban, nevezetesen a nagy hálózatok elméletében. Mikor mondhatjuk ismeretségek egy hálózatát ˇrosszˇ-nak? Például akkor, ha egy 2 millió emberből álló hálózat két egymilliós csoportba osztható olymódon, hogy mondjuk csak 1000 ember van az egyik csoportban, aki ismer valakit a másik csoportból. Ezzel szemben egy hálózat ˇjóˇ, ha az emberek bármely csoportja relatíve sok ismerőssel bír a csoporton kívülről. A jó hálózat eme intuitív fogalmát írja le a matematikában az "expander-gráf". Expander-gráfok először Kolmogorov és Barzdin munkájában jelentek meg, akik az emberi agy matematikai modelljét tanulmányozták. Kiderült, hogy az expander-gráfok jól használhatók a véletlenség számítógépes modellezésére is, ami lényeges alkotóeleme számos gyors számítógépes programnak. Korábbi áttörő jelentőségű eredmények után 2005-ben Helfgott új, általánosabb módszereket kezdeményezett expander-gráfok konstruálására, szimmetria-struktúrák (csoportok) felhasználásával. A Helfgott által egy speciális esetben felfedezett jelenség jóval általánosabbnak bizonyult, amit Pyber és Szabó, valamint tőlük függetlenül a Fields-érmes Terence Tao és munkatársai, Breuillard és Green, igazoltak.
Kutatásaink egyik fő célja eme új jelenség korlátlan dimenziós változatának megértése.
angol összefoglaló
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. The theory of approximate groups was initiated by Terence Tao, as a noncommutative version of additive number theory (and highlighted in the ICM2014 plenary talk of Ben Green). By a crucial theorem in this new area, proved by Szabó and the PI (and independently by Breuillard-Green-Tao), the powers of generating subsets of finite simple groups of bounded rank grow fast. This Product Theorem has deep consequences on expanders, number theory, random walks and more. It is a building block of the Bourgain-Gamburd-Sarnak theory of the affine sieve and the theory of thin subgroups of arithmetic groups, initiated by Sarnak. The main goal of the current proposal is to work out new versions of the Product Theorem for pro-p groups and for groups of unbounded rank.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. The main purpose of our research is to study how general the fast growth phenomenon is. Here is the first goal of the current proposal. The Product Theorem was used to prove several deep conjectures related to random walks for "bounded rank" finite simple groups. We plan to prove new versions of the Product Theorem for pro-p groups and for groups of unbounded rank.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. Expander graphs are highly connected, sparse, finite graphs which play a basic role in computer science, group theory and in various other branches of mathematics. Recently they found unexpected new applications, e.g., in number theory. In a seminal work Margulis showed in 1973 how Kazhdan's property (T) from the representation theory of semisimple Lie groups can be used to give explicit constructions. Some of the recent breakthroughs based on the Product Theorem of Pyber-Szabó (and of Breuillard-Green-Tao) are far reaching generalisations of this result, providing some remarkable applications. For example Bourgain and Varjú proved that if G is a Zariski dense subgroup of SL(d,Z) generated by a finite set S then the images of G in the congruence quotients of SL(d,Z) form a family of expanders with respect to the images of S. Related results play a foundational role in the Bourgain-Gamburd-Sarnak theory of the affine sieve. The Bourgain-Varjú theorem is of particular interest when G has infinite index in SL(d,Z). Such a subgroup is called a thin subgroup in the recent terminology of Sarnak. For a panoramic view of possible applications of the theory of thin subgroups to number theory (e.g., the affine sieve), low dimensional topology , arithmetic geometry and more, see the book "Thin groups and superstrong approximation" and especially the visionary survey of Sarnak there. The main aim of our proposal is to prove new versions of the Product Theorem for pro-p groups and for groups of unbounded rank.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. This research belongs to a rapidly developing part of theoretical mathematics. Group theory is a fundamental part of abstract algebra, investigating various forms of symmetry. It permeates many branches of mathematics and theoretical physics. The recent Product Theorem of Pyber and Szabó have many applications not just within group theory but also in number theory, computer science, in particular, for large networks. When do we call a network of acquaintances "bad"? For example if we can group a network of 2 million people into two groups of 1 million each , such that there are only, say, a 1000 people who know someone from the other group. Conversely, a network may be called "good" if each group of people has relatively many acquaintances outside of the group , compared to the size of the group. In mathematics the notion of an "expander graph" corresponds to the above intuitive notion of a good network. Expanders first arose in the work of Kolmogorov and Barzdin , who were investigating a mathematical model of the human brain. It turned out that expanders can be used for modelling randomness on computers , which is an essential ingredient in many fast computer programs. Following earlier breakthroughs in 2005 Helfgott initiated new, more general ways for constructing expanders from symmetry structures (groups). The phenomenon Helfgott discovered in a special case was proved to be valid in great generality by Pyber and Szabó and independently by the Fields Medalist Terence Tao and his co-workers Breuillard and Green. One of the main aims of our research is to better understand unbounded dimensional versions of this new phenomenon.
Zárójelentés
kutatási eredmények (magyarul)
A Vezeto Kutato (Pyber Laszlo) 2016 szeptemberben benyujtott "Novekedes csoportokban es Graf Izomorfizmus most" cimu palyazataval elnyerte az ERC tamogatasat a kovetkezo 5 evre. Egy kulcseredmeny Pyber ért el. Babai algoritmusat a szamitogeptudomanyi kozosseg mint az elmult 10 ev legnagyobb attoreset unnepelte. Az algoritmus futasi idejenek vizsgalata eredetileg felhasznalta a veges egyszeru csoportok 10000 oldalas klasszifikaciojanak egy kovetkezmenyet. A fenti cikkben Pybernek sikerult egy olyan valtozatot megadni amely nem hasznalja a monumentalis klasszifikacios tetelt.
Sok mas fontos eredmenyt ert el Pyber es kutatocsoportja. Guralnick,Maroti es Pyber a linearis csoportok szerkezetenek sokkal jobb leirasat adjak meg. Ennek az eredmenynek sok kovetkezmenye van a permutaciocsoportok elmeleteben. Tovabbi permutaciocsoportos eredmenyeket, tobbek kozt Rhodes egy sejtesenek bizonyitasat, ertek el Horvath,Nehaniv es Podoski. Hegedus, Maroti es Pyber belattak hogy ha egy G csoport Noether szama nagy, akkor G majdnem ciklikus. Tovabbi Noether szamokkal kapcsolatos eredmenyeket ert el ket cikkeben Cziszter. Egy fontos cikkben Kun belatta Bowen sejteset amely a T tulajdonsagu csoportok es az expander grafok kozott letesituj kapcsolatot. Geometriai eredmenyek talalhatok Szabo illetve Csikos cikkeiben. Levy es Maroti csoportok faktorizacioival kapcsolatban ertek el uj eredmenyeket. Ez a temakor a csoportok novekedesevel kapcsolatos vizsgalatok egy fontos alkalmazasi terulete.
kutatási eredmények (angolul)
The Principal Investigator (Lászlo Pyber) has submitted an ERC ADG proposal in 2016 September entitled "Growth in Groups and Graph Isomorphism now. This proposal was evaluated positively and the Principal Investigator will receive actual funding from the ERC.
A key result was obtained by Pyber. Babai's GI algorithm was hailed by the theoretical computer science community as the greatest breaktrough of the last 10 years. The analysis of Babai's algorithm relies on the 10000 page Classification of the Finite Simple Groups (CFSG). We obtain a version which avoids reference to the this monumental theorem.
Several other important results were obtained by the PI and his research group. In particular Guralnick,Maróti and Pyber have obtained a much better understanding of the structure of finite linear groups. This has led to new results in permutation group theory. Other results in this area, including the proof of a conjecture of Rhodes were obtained by Horváth, Nehaniv and Podoski. Hegedűs,Maróti and Pyber proved that finite groups with large Noether number are almost cyclic. Other results in this area were obtained in two papers of Cziszter. In an important paper Kun proved a conjecture of Bowen relating groups with property(T) and expander graphs in a new way. More geometric results were obtained by Szabó and by Csikós. Results on group factorization (a key application area of growth in groups) were proved by Levy and Maróti.
