 |
Véletlen térbeli folyamatok és kölcsönható részecskerendszerek makroszkopikus viselkedése
|
súgó 
nyomtatás 
|
Ezen az oldalon az NKFI Elektronikus Pályázatkezelő Rendszerében nyilvánosságra hozott projektjeit tekintheti meg.
vissza »
|
| |
Projekt adatai |
|
|
| azonosító |
123962 |
| típus |
FK |
| Vezető kutató |
Ráth Balázs |
| magyar cím |
Véletlen térbeli folyamatok és kölcsönható részecskerendszerek makroszkopikus viselkedése |
| Angol cím |
Large-scale behavior of random spatial processes and interacting particle systems |
| magyar kulcsszavak |
önszerveződő kritikus viselkedés, korrelált perkolációs modellek, véletlen gráfok, kölcsönható részecskrendszerek, egymást nem metsző trajektóriák, véletlen felületnövekedés |
| angol kulcsszavak |
self-organized criticality, correlated percolation models, random graphs, interacting particle systems, non-intersecting trajectories, random surface growth |
| megadott besorolás |
| Matematika (Műszaki és Természettudományok Kollégiuma) | 100 % | | Ortelius tudományág: Valószínűségelmélet |
|
| zsűri |
Matematika–Számítástudomány |
| Kutatóhely |
Sztochasztika Tanszék (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem) |
| résztvevők |
Keliger Dániel
Molontay Roland
Rokob Sándor
Szőke Márton Péter
Varga Kitti Katalin
Vető Bálint
|
| projekt kezdete |
2017-09-01 |
| projekt vége |
2022-08-31 |
| aktuális összeg (MFt) |
11.498 |
| FTE (kutatóév egyenérték) |
11.80 |
| állapot |
lezárult projekt |
magyar összefoglaló A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.
1 Korrelált perkolációs modellek:
1.1: Precízen jellemezni a Sznitman-féle "véletlen gubanc" modell gráfjának makroszkopikus geometriáját, amint a sűrűség nullához tart, d>=5 esetén.
1.2: A "voter model" perkoláció esetére dekorrelációs egyenlőtlenségek kifejlesztése, és a nem-triviális fázisátmenet bizonyítása.
2 Dinamikus véletlen gráf-modellek:
2.1: Az inhomogén véletlen gráfok elméletét a [Ráth, Tóth, 2009, EJP] erdőtűz-modelljére alkalmazva megtalálni a nagy összefüggő komponensek összeolvadási dinamikájának skálalimeszét.
2.2: Megérteni a szuperkritikus SIR járvány modellt az egydimenziós "falus" gráf-modellen és a kvantum véletlen gráfon azáltal, hogy meghatározzuk azokat az eseteket, amikor a járvány minden falvat elér, a falvak és falu-lakók számának függvényeként.
3: Sztochasztikus modellek vizsgálatával próbáljuk megérteni a felületnövekedés jelenségét a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályba tartozó egzaktul megoldható modellekkel segítségével.
Kölcsönható részecskerendszerek, irányított polimerek, egymást nem metszõ trajektóriák fluktuációinak határértékével és véletlenmátrix-modellek valószínûségi reprezentációját tervezzük vizsgálni nemzetközi együttmûködésben.
Ezek a modellek a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) egyenlethez kapcsolódnak, amely természetes felületnövekedési folyamatok széles körét írja le. A modellek ugyanazokat a skálázási és aszimptotikus tulajdonságokat mutatják, és amelyek a véletlen mátrixok elméletébõl is ismertek.
4: A [Tóth, 1993, Lett. Math. Phys.] cikk sejtését szeretnénk bizonyítani a Z^d rácson d>=3 esetén a random stirring modell nemtriviális fázisátmenetérõl.
Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.
1 Korrelált perkolációs modellek:
1.1: Aszimptotikusan forgásinvariánssá válik-e a "véletlen gubanc" gráf makroszkopikus geometriája, amint a sűrűség nullához tart? (lásd [Cerny, Popov, 2012], Remark 1.2. )
1.2: Perkolációs fázisátmeneten megy-e át a "voter model" stacionárius eloszlása a d=3 and d=4 esetekben ? (lásd [Ráth, Valesin, AoP, 2016+], Remark 7.3)
2 Dinamikus véletlen gráf-modellek:
2.1: Azonos-e az önszerveződő kritikus erdőtűz-modell és az Erdős-Rényi gráfmodell nagy komponenseinek skálalimeszének univerzalitási osztálya?
2.2: Mi a legkevésbé költséges stratégia, ami a metastabilis SIR járványt megállítja az egydimenziós "falus" modellben?
3: Sztochasztikus modellek vizsgálatával próbáljuk megérteni a felületnövekedés jelenségét a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályba tartozó egzaktul megoldható modellekkel segítségével.
Ezek a modellek a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) egyenlethez kapcsolódnak, amely természetes felületnövekedési folyamatok széles körét írja le,
mint például a kristályok lapjainak növekedése, a szilárdulási frontok, egy papírlap nedvességgel átjárt vagy égett részének fejlődése.
A KPZ univerzalitási sejtés szerint a KPZ-egyenlet által elõírt viselkedését közelítõ modellek széles családja ugyanazokat a skálázási és aszimptotikus tulajdonságokat mutatja.
Az univerzalitási sejtés általános formában teljesen nyitott, az általános megközelítés egyelőre reménytelennek tűnik.
Konkrét modellek aszimptotikus vizsgálatával bővítjük a KPZ univerzalitási osztályra vonatkozó ismereteinket.
4: A Z^d rácson d>=3 esetén tartalmaz-e a random stirring modell végtelen ciklusokat, ha az idõparaméter elég nagy?
Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!
Kutatásunk kérdéseit a természet valódi jelenségei inspirálják, a megoldási módszerek pedig a statisztikus fizikából származnak.
Célunk olyan modellek vizsgálata, amelyek elég egyszerûek ahhoz, hogy a fenti jelenségeket matematikai precizitással vizsgálhassuk.
Kutatási témáink és a modellezett jelenségek:
1.1: perkoláció: egyenetlen áteresztő képességű anyagon átszivárgó folyadék által átjárt tartomány alakja
1.2: voter model: egymással versengő fajok által elfoglalt tartományok térbeli mintázatát modellezi
2.1: erdőtűz-modell: önszerveződő kritikus viselkedés
2.2: szuperkritikus SIR járvány: metastabilitás
3.1: irányított polimermodellek: véletlen trajektóriák véletlen közegben; a KPZ egyenlet megoldásának valószínûségi reprezentációját adják
3.2: egydimenziós kölcsönható részecskerendszerek: forgalommodellek; a diszkrét felületnövekedés másik reprezentációját adják
3.3: egymást nem metszõ trajektóriák: dinamikus véletlen mátrixok sajátértékeinek fejlõdése
3.4: véletlenmátrix-modellek: nehéz atomok atommagjai; nagy minták statisztikai vizsgálatának eszközei
4: kvantum spinrendszerek valószínûségi reprezentációjának fázisátmenete
A tervezett eredmények elméleti jelentõsége röviden:
1.1: az átnedvesített tartomány forgásinvarianciáját bizonyítaná, ez híres nyitott kérdés más perkolációs modellekben
1.2: hasznos elméleti eredmény, amely az univerzalitás jele is lenne egyúttal
2.1: a modell-specifikus részletek mögött rejlő univerzális viselkedés leírását adná
2.2: egy járvány megállításának legkevésbé költséges stratégiáját adná
3.1: ismert skálalimeszek perturbációinak vizsgálata
3.2: a KPZ univerzalitási osztály bõvítése
3.3: determinánsfolyamatok limeszként való leírása új modellekben
3.4: véletlenmátrix-modellek skálalimeszének valószínûségi reprezentációja
4: egy régóta nyitott kérdést oldana meg
Kutatásunkat nemzetközi társszerzõinkkel és jövőbeli PhD-hallgatóinkkal tervezzük elvégezni.
Eredményeinket színvonalas folyóiratokban publikáljuk és neves konferenciákon mutatjuk be, ez hozzájárul a kutatásunk nemzetközi elismertségének fenntartásához.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.
Kutatásunk elméleti jellegű, de a feltett kérdéseket a természet valódi jelenségei inspirálják.
Célunk olyan modellek vizsgálata, amelyek elég egyszerűek ahhoz, hogy a fenti jelenségeket matematikai precizitással vizsgálhassuk.
Az egyes kutatási kérdések mögötti intuitív kép a következő:
1.1: Víz szivárog egy porózus anyagon keresztül. Az átnedvesített térrész alakját vizsgáljuk.
1.2: Politikai pártok versengenek egy négyzetrács csúcsain ülő szavazókért. Mit tudunk mondani az azonos pártra szavazók makroszkopikus térbeli elrendeződéséről?
2.1: Egy állandóan növekvő erdőbe időnként villámok csapnak. Mi a villámcsapási ráta és a leégett erdő-foltok nagysága közti összefüggés?
2.2: Egy járványt vizsgálunk, ami egy út mentén sorakozó falvakon söpör végig. Mi a legkevésbé költséges stratégia arra, hogy a járványt megállítsuk?
3.1: Egy bizonyos véletlen közegbeli véletlen utat vizsgálunk. A skálalimeszének statisztikái segítenek a véletlen felületnövekedés megértésében.
3.2: Egy autópályán érvényes forgalommodellt tekintünk. Mi az első autók pozícióinak statisztikája, amelyek kijutottak egy forgalmi dugóból?
3.3: Nagy tartományok dominókkal való csempézését vizsgáljuk. A tartományok mely részei tartalmaznak speciális determinisztikus elrendezésű dominókat?
3.4: Valószínűségi reprezentációt próbálunk adni egy olyan egyenlet megoldására, amely egy valószínűségi model limeszeként áll elő.
4: Részecskék ülnek egy nagy négyzetrácson. Időnként véletlenszerűen kicseréljük némelyik szomszédos részecske-párt. Alkottunk-e ezzel egy makroszkopikus körbezáruló láncot, amiben minden részecskét a rákövetkezőre cseréltük?
| angol összefoglaló Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.
1 Correlated percolation models:
1.1: To precisely describe the long-range distances in the graph metric of Sznitman's "random interlacement" graph as the density goes to zero when d>=5.
1.2: To develop decoupling inequalities and to prove non-triviality of phase transition for voter model percolation.
2 Dynamic random graph models:
2.1: To apply the theory of inhomogeneous random graphs to the forest fire model [Ráth, Tóth, 2009, EJP] and the frozen percolation model [Ráth, 2009, JSP] and to find the scaling limit of the dynamics of big connected components.
2.2: To understand supercritical SIR epidemics on the one dimensional "village" graph model and the quantum random graph by identifying the cases where infection reaches all villages as a function of the number of villages and villagers.
3: To understand mathematically the phenomenon of random surface growth by studying exactly solvable models in the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) universality class.
We propose to investigate the limiting fluctuations of interacting particle systems, directed polymers, non-intersecting trajectories and the probabilistic representation of scaling limits of random matrix models in collaboration with international collegues.
These models are directly related to the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation which is believed and partially proved to describe a wide class of surface growth phenomena. They are expected to show the same universal scaling and asymptotic properties which are also known from random matrix theory.
4: To prove the conjecture of [Tóth, 1993, Lett. Math. Phys.] about the non-triviality of phase transition of the random stirring model on Z^d, d>=3.
What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.
1 Correlated percolation models:
1.1: Does the long-range graph mertic of Sznitman's "random interlacement" graph become asymptotically isotropic as the density goes to zero? (see [Cerny, Popov, 2012], Remark 1.2. )
1.2: Does the stationary distribution of the voter model undergo percolation phase transition when d=3 and d=4 ? (see [Ráth, Valesin, AoP, 2016+], Remark 7.3)
2 Dynamic random graph models:
2.1: Does the joint law of big components of the self-organized critical forest fire model fall into the same universality class as that of the critical Erdős-Rényi graph?
2.2: What is the ``cheapest'' strategy that makes the metastable SIR epidemic on the one dimensional ``village'' model stop?
3: We try to understand mathematically the phenomenon of random surface growth by studying exactly solvable models in the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) universality class.
All these models are directly related to the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation which is believed and partially proved to describe a wide class of surface growth phenomena appearing naturally e.g. crystal and facet growth, boundaries, solidification fronts, paper wetting or burning fronts.
According to the KPZ universality conjecture, a wide class of models that mimic the behaviour prescribed by the KPZ equation show the same universal scaling and asymptotic properties.
The conjecture is widely open and a general proof of the conjecture seems inaccessible at the moment.
We enlarge our knowledge on the KPZ universality class by proving limit theorems for concrete models.
4: Does the random stirring model on Z^d, d>=3 contain infinite cycles if the time parameter is big enough?
What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.
The questions of our research are inspired by real-world phenomena and the methods of solutions come from statistical physics. Our goal is to analyze simple enough models of these phenomena with mathematical rigor.
Our research topics and the phenomena that they model:
1.1: percolation: the geometry of the wet region created by water filtrating through an inhomogeneous material
1.2: voter model: models the macroscopic spatial patterns created by the competition of biological species
2.1: forest fire model: self-organized criticality
2.2: supercritical SIR epidemics: metastability
3.1: directed polymer models: random paths in a random environment; probabilistic representation for the solution of the KPZ equation
3.2: interacting particle systems in 1D: traffic models; another representation of discrete surface growth
3.3: non-intersecting paths: evolution of eigenvalues of dynamic random matrices
3.4: random matrix ensembles: nuclei of heavy atoms; statistical analysis of large samples
4: phase transition in the stochastic representation of quantum spin systems
Theoretical relevance of the planned results, in a nutshell:
1.1: it would show the rotational invariance of the wet region, a famous open question in other percolation models
1.2: it would be useful theoretical result that also indicates universal behavior
2.1: it would give a description of the universal behavior underlying the model-specific details
2.2: it would give a description of the least costly strategy for an epidemic to stop
3.1: study the perturbations of known scaling limits
3.2: enlarge the KPZ universality class
3.3: description of limiting determinantal processes in a new context
3.4: probabilistic representation of scaling limits of matrix ensembles
4: it would solve a long-standing open question
We plan to carry out our research projects with our international collaborators and future PhD students. This, as well as the publication of our results in quality journals and the presentation of our results in notable conferences will contribute to the maintenance of the international recognition of our research environment.
Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.
Our research is theoretical, but the questions are inspired by real-world phenomena. Our goal is to analyze simple enough models of these phenomena with mathematical rigor. These are the intuitive pictures behind the questions that we study:
1.1: Water percolates through a porous material. We study the shape of the wet region.
1.2: Political parties compete for voters that sit on a large chessboard. What can we say about the macroscopic patterns of voters that prefer the same party?
2.1: A permanently growing forest is occasionally hit by lightnings. What is the relation between the rate of lightnings and the size of the burnt forest patches?
2.2: We consider an epidemic that sweeps through villages along a road. What is the least costly strategy for the epidemic to stop?
3.1: We investigate a special random path in a random environment. Its limiting statistics turn out to be helpful in the understanding of random surface growth.
3.2: We consider traffic models on a highway. What are the statistics of the positions of the first cars which are out of a traffic jam?
3.3: We study the tiling of large regions by dominoes. Which parts of the regions contain dominoes that have a special deterministic alignment?
3.4: We try to give a probabilistic representation to the solution of a certain equation which arises as a limit of a probabilistic model.
4: Particles sit on a large chessboard. We swap some of the neighbouring particles randomly. Did we create a macroscopic cycle along which particles are consecutively swapped?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
