Lineáris struktúrák és Segre típusú módszerek véges geometriákban
Angol cím
Linear Structures and Segre type methods in finite geometry
magyar kulcsszavak
véges geometriák, polinomok, véges testek
angol kulcsszavak
finite geometries, polynomials, finite fields
megadott besorolás
Matematika (Műszaki és Természettudományok Kollégiuma)
100 %
Ortelius tudományág: Diszkrét matematika
zsűri
Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely
Geometriai és Algebrai Kombinatorika Kutatócsoport (HUN-REN Támogatott Kutatócsoportok Irodája)
projekt kezdete
2019-12-01
projekt vége
2021-06-30
aktuális összeg (MFt)
14.260
FTE (kutatóév egyenérték)
1.27
állapot
lezárult projekt
magyar összefoglaló
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára. Olyan véges geometriai problémákat vizsgálnék, melyeket algebrai módszerekkel lehet támadni. A vizsgálni kívánt problémák két nagy csoportja: amikor a háttérben valamilyen lineáris struktúra, speciális tulajdonságokkal bíró altér húzódik meg, illetve amikor algebrai görbéket tudunk kombinatorikusan definiált ponthalmazokhoz rendelni, hogy azokat karakterizálni vagy klasszifikálni tudjuk. Előbbi esetbe a lineáris halmazok, illetve lineáris maximum rank distance (MRD) kódok, utóbbiba a Segre-féle érintők lemmájával támadható problémák tartoznak.
A projektben néhány erre a célra kifejlesztett, de önmagában algebrai szempontból vizsgálva is érdekes, véges test feletti vektorterek lineáris leképezéseire vonatkozó eredményt alkalmazva konstruálnánk szép geometriai ill. kombinatorikus tulajdonságokkal bíró, illetve az alkalmazások szempontjából (gráfelmélet, kódelmélet) fontos lineáris halmazokat illetve MRD-kódokat.
Beniamino Segre 1955-ben publikálta a véges geometria egyik legklasszikusabb módszerét mellyel kombinatorikusan szép ponthalmazokat speciálisan metsző egyenesekhez lehet a duális síkban algebrai görbéket rendelni. A 2010-es években Simeon Ball a módszernek egy effektívebb változatával igazolta az MDS-sejtés fontos részeseteit. A projekt célja ennek a módszernek a határait feltérképezni, korábbi eredményeket megjavítni. Kombinatorikusan szép tulajdonságokkal bíró ponthalmazok vizsgálatát egyéb polinomos módszerekkel is támogatnánk, úgy mint a klasszikus Rédei polinom és variánsai, valamint a Szőnyi és Weiner féle szubrezultánsokon alapuló módszer.
Mi a kutatás alapkérdése? Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek. A lineáris halmazokkal és MRD-kódokkal kapcsolatos eredmények oda-vissza hatnak egymásra. Szeretném az egyik terület által a másik területen felszínre hozott problémákat megválaszolni, illetve azt vizsgálni, hogy ha egy lineáris halmaz valamilyen kombinatorikus értelemben extremálisan speciális, akkor mit mondhatunk el az általa definiált rank distance kódról, illetve a kódból származtatható alterek családjáról.
Ezen kívül lineáris halmazok alapvető kérdéseit is vizsgálnám, úgy mint az ekvivalencia problémája vagy a definiáló altér maximális linearitásának a meghatározása.
A Segre-féle módszer továbbfejlesztésének egyik erőssége, hogy nem kell a duális síkra áttérnünk, hanem egyből a kombinatorikusan szép ponthalmazhoz tudunk görbét rendelni mely valamilyen értelemben lekódolja a speciális egyeneseket is (pl. ezek lesznek a görbe érintői). Érintő nélküli, kevés páratlan szelővel rendelkező vagy épp az egyenesekkel kizárólag 0,m vagy t közös ponttal rendelkező ponthalmazokat vizsgálnék ezzel a módszerrel és egyéb polinomos technikákkal.
Mi a kutatás jelentősége? Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának! q-elemű véges test feletti vektor tér lineáris leképezéseit q-polinomokkal adhatjuk meg, ezek olyan polinomok, melyekben a nem nulla együtthatóval szereplő tagok kitevője q-hatvány. Bármely módszer mely segít egy ilyen polinom együtthatóiból eldönteni a neki megfelelő lineáris leképezés magterének a dimenzióját, vagyis meghatározni a polinom gyökeinek a számát, az algebrai szempontból is érdekes, kódelméleti szempontból pedig alkalmazható lehet.
Az általunk talált speciális lineáris halmazokhoz rendelt kódok például szolgálhatnak valamilyen extremitással bíró kódnak. Ezek pedig gyakran optimálisak az alkalmazások terén. Hasonlóan a kódokból gyártott alterek például szólgálhatnak extremális kombinatorikai állítások q-analógjaiban az extrémumot elérő altér halmazra, ahogy ez az MRD-kódokból származtatott "lifted" altér kódoknál is történik.
Altér kódokat és MRD-kódokat hálózati kódolásban és kriptográfiában is alkalmaznak.
A Segre-féle módszerekkel pedig alsó becsléseket adhatunk a q-rendű véges Desarguesi sík incidencia mátrixának sorai által generált kód duális kódjában a kódszavak súlyának minimumára.
Olaszországban, Svájcban, Belgiumban, Írországban, Németországban, Kínában, Törökországban foglalkoznak rank distance kódokkal. Én olasz kutatókkal működnék együtt (római, nápolyi, casertai, padovai egyetemekről), akikkel az az előnyünk van a többiekhez képest, hogy mi már a kódelméleti alkalmazások megjelése előtt foglalkoztunk hasonló kérdésekkel a lineáris halmazok kapcsán. Pályázatom megvalósításában az olaszok geometriai szemléletét ötvözném a magyarok algebrai, polinomokra építő módszereivel.
A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára. A projekt célja véges geometriák speciális struktúráinak jobb megértése, a vizsgálatukhoz szükséges algebrai háttér fejlesztése és ezen módszerek határainak a feltérképezése. Az algebrai eredmények véges testekre vonatkoznak, melyekre a kódelmélet épül. Az általunk keresett geometriai struktúrákat szintén a kódelmélet (hálózati kódolás) tudja alkalmazni. A kutatni kívánt problémákkal sok országban foglalkoznak, az elért ereményeket nemzetközi szintű érdeklődés övezné.
angol összefoglaló
Summary of the research and its aims for experts Describe the major aims of the research for experts. We plan to investigate problems in finite geometry which can be attacked by polynomial methods. We can divide them into two main groups: when there is some kind of linear structure, a subspace with special properties, in the background, and when we can associate algebraic curves to combinatorially defined point sets in order to characterize or classify these point sets. Problems about linear sets and linear maximum rank distance codes belong to the former case, problems which can be attacked by Segre's lemma of tangent belong to the latter case.
In the project we would use algebraic techniques developed for such problems, but interesting also in their own right, regarding linear maps of vector spaces over finite fields, in order to construct geometrically and combinatorically nice linear sets and MRD-codes. These object can be interested also because of their applications in coding theory and graph theory.
In 1955 Beniamino Segre published one the classical results of finite geometry and with this method one can associate curves of the dual plane to lines meeting a combinatorially nice point sets in some irregular way. In the 2010's Simeon Ball introduced a more efficient way of the method and proved important subcases of the MDS-conjecture. One aim of the project is to investigate the limits of this method and improve previous results.
We would investigate combinatorially nice point sets with other polynomial techniques as well, such as the classical Rédei polynomials and its variants or the resultant method of Szőnyi and Weiner.
What is the major research question? Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments. Results about linear sets and MRD-codes interact among each other. Problems from one area brings up new ones in the other area and I would like to answer these problems. Also, I would like to determine properties of rank distance codes (and of families of subspaces arising from rank distance codes) defined by linear sets which are extremal is some combinatorial sense.
Apart from this, I would investigate fundamental questions regarding linear sets, such as their equivalence problem and the problem of how to find their maximum field of linearity.
Another strength of the developed version of Segre's method is that we don't have to switch to the dual plane, we can associate a n algebraiccurve directly to our combinatorically nice object, which in some sense encodes also the special lines of the plane (for example these lines will be the tangents of this curve). I would like to investigate point sets without tangents, point sets with few odd-secants, and point sets meeting each line in 0,m or in t points with this method and with other polynomial techniques.
What is the significance of the research? Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field. We can describe linear maps of vector spaces over a finite field of q elements with q-polynomials, that is, polynomials where each term with a non-zero coefficient has degree a power of q. Any method that helps to decide the rank of such a polynomial from its coefficients is interesting also from an algebraic point of view, and can have potential applications in coding theory.
The special linear sets we find can correspond to codes with some kind of extremity. Such codes are often optimal in the applications. Like it happens for subspace codes constructed as a "lifted" MRD-code.
Subspace codes and MRD-codes are used in network coding and have applications also in cryptography.
With Segre's method we can give bounds on the minimum weight of code words in the dual of the code defined by the characteristic vectors of lines of a finite Desarguesian plane.
Rank distance codes are studied in Italy, Switzerland , Belgium, Ireland, Germany, China. I plan to work with Italian researchers (from universities of Rome, Naples, Caserta, Padova), and we have the advantage that we started to study similar problems before the applications in coding theory have appeared because of linear sets. During this project I plan to use both the geometric point of view of Italians and the algebraic, polynomial techniques of Hungarians.
Summary and aims of the research for the public Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others. The aim of the project is to understand better special structures of finite geometry, to develop and to understand better the limits of the necessary algebraic techniques. The algebraic results can be used in the theory of finite fields, which is the base of coding theory. The geometric structures we are searching for can be applied in coding theory as well (in network coding). These problems are investigated in many countries, thus our results could attract international attention.
Zárójelentés
kutatási eredmények (magyarul)
A projektben véges geometriai problémákat vizsgáltunk algebrai módszerekkel. Igazoltunk egy maximum scattered alterek (és a nekik megfelelő MRD-kódok) számára vonatkozó sejtést. A scattered fogalom általánosításaként definiáltuk a h-scattered altereket. Bevezettünk rajtuk egy dualitás relációt, felsőkorlátot adtunk a dimenziójukra és bizonyos esetekben megmutattuk, hogy ez a korlát éles. Az extremális példák különleges kombinatorikus tulajdonságait igazoltuk. További általánosításként, definiáltuk az evazív altereket. Néhány nyitott eseteben meghatároztuk scattered alterek maximális dimenzióját. Az első példákat adtuk olyan MRD-kódokra, melyeknek mindkét oldali idealizátora maximális méretű. Ilyen kódokra vonatkozó nem-létezési eredményeket is igazoltunk, illetve megmutattuk, hogyan kapcsolódnak Moore típusú mátrixokhoz. Általánosított Korchmáros-Mazzocca ívekre vonatkozó konstrukciókat és karakterizációs tételeket adtunk. Megmutattuk, hogy bizonyos feltételek mellett van nukleuszuk. AG(2,q) olyan ponthalmazait vizsgáltuk, melyeket az egy párhuzamossági osztályba eső egyenesek nagy része hasonlóan metsz. Megmutattuk, hogy az ettől eltérően viselkedő egyenesek a duális síkon egy alacsony fokú görbére esnek. PG(4n+1,q)-ban, q>2, nagyságrendileg igazoltuk, hogy Segre 1959-ből származó, a legkisebb teljes süveg méretére vonatkozó alsó korlátja éles.
kutatási eredmények (angolul)
In this project we studied finite geometric problems with algebraic techniques. We proved a conjecture on the number of inequivalent maximum scattered subspaces (and corresponding MRD-codes) contained in the earliest sporadic family of such objects. We generalised the notion of scatteredness and studied h-scattered subspaces. We introduced a duality relation among them, proved an upper bound on their dimension, gave constructions obtaining this upper bound and proved particular combinatorial properties of these extremal objects. We generalised further this notion and introduced evasive subspaces. In some of the open cases we determined the maximum possible dimension of scattered subspaces. We found the first examples of MRD-codes which are not of Gabidulin type but the sizes of both of their idealisers attain the maximum. We also proved non-existence results for such objects and linked them to Moore type matrices. We proved characterisation type results and presented various constructions for generalised Korchmáros-Mazzocca arcs. Under certain conditions, we could prove that they have a nucleus. We investigated point sets of AG(2,q) with regular intersection patterns with respect to parallel lines. We proved that the lines with exceptional intersection numbers are contained in a small degree curve of the dual plane. In PG(4n+1,q), q>2, we proved that the lower bound of Segre from 1959 for the size of the smallest complete cap is essentially sharp.
