Halmazértékű korlátozásokat tartalmazó szélsőérték, illetve optimális irányítási feladatokban az ún. másodrendű megengedett variációk pontos meghatározásával olyan másodrendű szükséges feltételeket adtunk meg,
amelyek a szokásos tagokon kívül egy olyan tagot is tartalmaznak, amely egy úgynevezett burkoló effektusnak köszönhetően az állapottérrel kapcsolatos korlátozások kapcsán lép fel. Alkalmazásként, az állapottérre vonatkozó egyenlőtlenségi, az irányítási függvényre pedig egyenlőségi és egyenlőtlenségi korlátozásokat tartalmazó optimális irányítási feladatokra sikerült a Pontrjagin-féle maximum-elvet kiterjeszteni és ezt másodrendű szükséges feltételekkel is kiegészíteni. Az nemsima egyenlőségi és egyenlőtlenségi korlátozásokat tartalmazó absztrakt irányítási feladatokra a Lagrange-féle és a Pontrjagin-féle elvek egy közös általánosítását is kidolgoztuk.
A konvexitás különböző általánosításait, a konvex és monoton függvények perturbációs tulajdonságait, stabilitását is vizsgáltuk. Sikerült a konvex, a Jensen-konvex és a t-konvex függvények korlátos és Lipschitz-függvények összegével való perturbációit leírni. A Jensen-, Wright- és t-konvexitás megfelelően értelmezett másodrendű deriváltakkal történő karakterizációit is megtaláltuk. Bevezettük a Q-szubdifferenciál fogalmát, és segítségével a Jensen-konvexitást a Q-szubdifferenciál monotonitásával jellemeztük.
kutatási eredmények (angolul)
Optimal control problems with set-valued constraints were considered. The so-called second-order admissible variations were explicitely described and, as a consequence, second-order necessary conditions of optimality containing a new term (responsible for the envelope effect on state constraints) were obtained. As an application, the Pontryagin maximum principle with additional second-order necessary conditions for optimal control problems with state inequality and control equality and inequality constraints was extended.
Concerning abstract control problems with nonsmooth equality constraints, a common generalization of the Lagrange and Pontryagin principles was elaborated.
Various generalizations of convexity, perturbation and stability properties of convex and monotone functions were also investigated. The perturbations of convex, Jensen-convex, and t-convex functions in terms of sums of bounded and Lipschitz functions were described. New second order derivatives were
introduced to characterize Jensen-, Wright-, and t-convex functions. The theory of Q-subdifferential was developed and Jensen-convexity was characterized as a monotonicity property of this subdifferential.
M. Bessenyei and Zs. Páles: On generalized higher-order convexity and Hermite--Hadamardtype inequalities, Acta Sci. Math. (Szeged) 70:13-24, 2004
A. Gilányi, K. Nikodem, and Zs. Páles: Bernstein-Doetsch type results for quasiconvex functions, Math. Inequal. Appl. 7:169-175, 2004
P. Czinder and Zs. Páles: An extension of the Hermite-Hadamard inequality and an application for Gini and Stolarsky means, J. Inequal. Pure Appl. Math. 5: Article 42., 2004
A. Házy and Zs. Páles: On approximately midconvex functions, Bull. London Math. Soc. 36:339-350, 2004
K. Nikodem and Zs. Páles: On t-convex functions, Real Anal. Exchange 29:219-228, 2004
Zs. Páles and L.-E. Persson: Hardy type inequalities for means, Bull. Austr. Math. Soc. 70:521-528, 2004
Zs. Páles and V. Zeidan: Critical and critical tangent cones in optimization problems, Set-Valued Anal. 12:241--258, 2004
Zs. Páles and V. Zeidan: Strong local optimality conditions for state constrained control problems, J. Global Optim. 28:363--377, 2004
Zs. Páles: On approximately convex functions, Proc. Amer. Math. Soc., 131:243-252, 2003
A. Járai, Gy. Maksa, and Zs. Páles: On Cauchy-differences that are also quasisums, Publ. Math. Debrecen 65:381-398, 2004
M. Adamek, K. Nikodem, and Zs. Páles: On (K,lambda)-convex set-valued maps, Radovi Mat. 11:183--191, 2003
Zs. Páles and V. Zeidan: Strong local optimality conditions for control problems with mixed state-control constraints, Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control pp. 4738--4743, 2002
M. Bessenyei and Zs. Páles: Hadamard-type inequalities for generalized convex functions, Math. Inequal. Appl. 6:379-392, 2003
A. Gilányi and Zs. Páles: On Dinghas-type derivatives and convex functions of higher order, Real Anal. Exchange, 27:485-493, 2002
G. Kassay, J. Kolumbán, and Zs. Páles: Factorization of Minty and Stampacchia variational inequality systems, European J. Oper. Res. 143:377-389, 2002
Zs. Páles and V. Zeidan: Optimal control problems with set-valued control and state constraints, SIAM J. Optim. 14:334-358, 2003
P. Czinder and Zs. Páles: Local monotonicity properties of two variable
Gini means and the comparison theorem revisited, J. Math. Anal. Appl. 301:427-438, 2005
Zs. Páles and V. Zeidan: Calculus rules for the infinite dimensional Clarke generalized Jacobian, London Math. Soc., közlésre benyújtva, 2006
M. Bessenyei and Zs. Páles: Hermite--Hadamard inequalities for generalized convex functions, Aequationes Math., 69:32-40, 2005
A. Házy and Zs. Páles: On approximately $t$-convex functions, Publ. Math. Debrecen, 66:489-501, 2005
L. Larsson, Zs. Páles, and L.-E. Persson: Carlson type inequalities for finite sums and integrals
on bounded intervals, Bull. Austr. Math. Soc., 71:275-284, 2005
Zs. Páles and L. Székelyhidi: On approximate sandwich and decomposition theorems, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput. 23:59--70, 2004
Zs. Páles: Optimum problems with nonsmooth equality constraints, Nonlinear Anal., (Proceedings of the World Congress of Nonlinear
Analysts, Orlando (2004)), 63:e2575-e2581, 2005
Zs. Páles: On abstract control problems with nonsmooth data, Recent Advances in Optimization. Proc. of the French-German-Spanish Conf. on Optim., Avignon (2004) (Ed. A. Seeger), Springer, Berlin, pp. 205-216, 2006
Z. Makó and Zs. Páles: On Lipschitz perturbation of monotonic functions, Acta Math. Hungar., közlésre elfogadva, 2006
Z. Boros and Zs. Páles: Q-subdifferential of Jensen-convex functions, J. Math. Anal. Appl., megjelenés alatt, 2006
K. Nikodem and Zs. Páles: Generalized convexity and separation theorems, J. Conv. Anal., megjelenés alatt, 2006
Zs. Páles and V. Zeidan: Infinite dimensional Clarke generalized Jacobian, J. Conv. Anal., megjelenés alatt, 2006
M. Bessenyei and Zs. Páles: Hadamard-type inequalities for generalized convex functions, Math. Inequal. Appl. 6(3):379--392, 2002
Zs. Páles and V. Zeidan: First and second-order optimality conditions for strong local minimum in control problems with pure state constraints, Nonlinear Anal., 2006
