Legyen adott egy stacionárius és ergodikus, egyszerűség kedvéért, diszkrét (idejű és értékű ) folyamat. A sztochasztikus folyamat eloszlása adott, de az számunkra nem ismert. A folyamat realizációját egyre hosszabban figyelhetjük meg. A megfigyelt minta alapján kell nekünk megbecsülni különböző mennyiségeket.
Egyik fontos eset az amikor azt a feltételes valószínűséget kell megbecsülni, hogy a következő minta egy adott érték lesz feltéve az eddigi megfigyelést. Ezután megfigyeljük a következő kimenetelt, így nőtt a megfigyeléseim száma és ez alapján becsüljük a következő kimenetelre vonatkozó feltételes valószínűséget. Célunk, hogy becslésünk és a valódi feltételes valószínűség, melyek a megfigyelések számával változhatnak, ezek különbsége, azaz a hiba nullához tartson, más szóval, becslésünk konzisztens legyen.
Ismeretes, hogy általánosságban nem lehet minden időpillanatra becslést adni, hogy az konzisztens is legyen. Így csak azt a célt tűzhetjük magunk elé, hogy megállítási idők egy sorozatán becsüljünk és nem minden időpillanatban. Itt a konzisztencia mellett, azaz a mintaszám növekedésével, ha becslünk akkor jól becsüljünk, az is fontos hogy azon pillanatok amikor hajlandók vagyunk becsülni minél nagyobb része legyen az összes időpillanatnak.
Célom megvizsgálni, hogy mi az elvi határ, azaz mennyire lehet besûríteni az idõpontokat melyeken konzisztensen lehet becsülni. Találni szeretnék olyan feltételeket melyek esetén a kihagyott idõpontok nulla sûrûségûek.
Bonyolultabb esetben tekinthető valós értékű folyamatok melyeknél a feltételes várhatóértéket kell megbecsülni a fentebb vázolt értelemben. Itt még az sem ismert, hogy létezik-e megállítási idõ melyen konzisztensen lehet becsülni.
Az elérendő eredmények esetleges alkalmazási terülelete felöleli az alakfelismerést, pénzügyi matematikát, meterológiát és egyéb ipari és orvosi területeket.
Az eredmények nemzetközi lektorált folyóiratokban kerülnek közlésre.
angol összefoglaló
Consider a discrete stationary and ergodic time series. The distribution of the process is not known in advance. One can observe longer and longer segments of the realization of the process. One shall estimate different quantities (conditional probabilities, expectations etc) based on the finite observations.
An important case is when one is to estimate the conditional probability of the next outcome given the data observed so far. In the next round, one observe the next outcome and the length of the observed data increases, and now one has to estimate the conditional probability of the next outcome based on the longer segment of observations. The goal is that the error, the difference between the estimate and the real conditional probability tend to zero, or in other words, that the estimations be consistent.
It is well known, that this goal can not be achieved in general, that is, there is no consistent estimator which predicts for all time instance n for all stationary and ergodic time series. Thus one may set the goal to find a consistent estimator which does not estimate for all time instances but only on a sequence of stopping times. Now beside the consistency, it is important that the set of time instances when the estimator is willing to estimate be as large/dense as possible.
Our goal is to find the ultimate limits, that is, how dense these time moments can be on which one can estimate consistently. We would like to construct the best possible algorithms.
In a more general case, one may consider real valued processes, in which case the goal is to estimate the conditional expectations in the above sense. It is not known if there is any stopping time sequence on which one can estimate consistently.
The results might be applied in pattern recognotion, financial mathematics, weather forecasting, and other industrial and medical applications.
The results will be published in international refereed journals.
Zárójelentés
kutatási eredmények (magyarul)
Készítettünk algoritmust a következő nulláig még hátralévő idő becslésére bináris stacionárius és ergodikus folyamatokra. Csak megállítási idők egy sorozatán becslünk de azon konzisztensen. Ha a folyamat felújítási folyamat akkor a megállítási időknek egy a sűrűsége
Gauss folyamatokra készítettünk algoritmust mely konzisztensen becsli a feltételes várható értékét a következő kimenetelnek egy megállítási időn keresztül.
Konstruáltunk egy eljárást mely pontonkénti értelemben konzisztens időátlagban minden stacionárius és ergodikus valós értékű folyamatra mely
L^p-beli valamely p>1-re. Megmutattuk, hogy p=1 nem elég de LlogL már igen.
Jelölje H_0 az összes független azonos eloszlású valós értékű folyamatot és H_1 az összes egyéb valós értékű ergodikus folyamatot. Készítettünk egy erősen konzisztens tesztet mely megkülönbözteti őket.
Tekintsük azon ergodikus folyamatokat melyek a valós számok véges vagy megszámlálhatóan végtelen részhalmazából veszik értéküket.
Konstruáltunk egy eljárást mely erősen konzisztens ezen folyamatok egy részosztályára. Ha a folyamat még végesen Markov is akkor a megállítási időknek sűrűségük is van.
Ha a folyamatnak véges entrópiája is van akkor a megállítási idők növekedése polinomiális.
Néhány hasonló eredményünkön még csiszolnunk kell míg publikálni tudjuk őket.
kutatási eredmények (angolul)
We constructed an estimation scheme for estimating the residual waiting time until the next occurrence of a zero after observing the first n outputs of a stationary and ergodic binary process. The scheme estimates only at stopping times but it is almost surely consistent. In case the process happens to be a renewal process then our stopping times have asymptotic density one.
For stationary real-valued Gaussian time series we constructed a scheme for estimating the conditional expectation from a growing number of observations in a pointwise consistent way along a sequence of stopping times.
We constructed a scheme which is point wise consistent in Cesaro average for all real valued stationary and ergodic processes that are in L^p for some p>1 and showed that for p=1 mere integrability doesn't suffice but LlogL does.
Let H_0 denote the class of all real valued iid processes and H_1 all other ergodic real valued stationary processes. We gave a strongly consistent sequential test for distinguishing between them.
Consider a time series taking values from a finite or countably infinite subset of real numbers. We can estimate the conditional expectation from the observations in a point wise consistent way for a restricted class of processes along a stopping times. If the process turns out to be finitarily Markovian then the stopping times have density. If the stationary and ergodic process turns out to possess finite entropy rate then the
growth is polynomial.
