Consortional assoc.: Research in number theory  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
104208
Type NK
Principal investigator Pethő, Attila
Title in Hungarian Konzorcium, társ p.: Számelméleti kutatások
Title in English Consortional assoc.: Research in number theory
Keywords in Hungarian számelmélet, analitikus számelmélet, diofantikus számelmélet, kriptográfia
Keywords in English number theory, analytic number theory, diophantine number theory, cryptography
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Number theory
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Computer Science (University of Debrecen)
Participants Bazsó, András
Bérczes, Attila
Folláth, János
Győry, Kálmán
Huszti, Andrea
Kovács, Tünde
Pintér, Ákos
Tengely, Szabolcs
Starting date 2013-02-01
Closing date 2017-12-31
Funding (in million HUF) 26.712
FTE (full time equivalent) 15.74
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.

Tervezett kutatásaink a Budapesti Erdős-Turán iskola és a Debreceni Számelméleti Iskola több évtizedes hagyományaira és eredményeire épülnek. Ennek megfelelően a meghatározó kutatási irányok az analitikus, kombinatorikus számelmélet és diofantikus egyenletek területére esnek vagy azokkal szoros kapcsolatban vannak. Ennek megfelelően kutatásokat tervezünk folytatni a prímek eloszlására és additív tulajdonságaira, tigonometrikus összegek, automorf és moduláris formákra, kombinatorikus számelméletre és additív kombinatorikára vonatkozólag, továbbá végesen generált integritási tartományok feletti diofantikus egyenletek effektív elméletében, polinomok felbonthatóságával és hatványösszegeket tartalmazó diofantikus egyenletek megoldásával kapcsolatban, algebrai görbékre és felületekre illeszkedő számtani sorozatokról valamint számtani sorozatokban előforduló hatványokról.

Bár a tervezett konkrét kutatások a matematika elég jól körülhatárolható területére esnek, mégsem lehet egyetlen kutatási célt megfogalmazni, mert az a konkrét probléma természetétől és általánosságától függ.

Kutatásaink másik fontos iránya a számelmélet kriptográfiai alkalmazása. Itt álvéletlenszám generátorokkal, matematikai eszközökkel definiált hash függvényekkel valamint az anonimitás alkalmazásaival és megvalósíthatóságával kapcsolatban tervezünk kutatásokat folytatni.

A kriptográfia területén a számelméletből ismert eredményeket és módszereket alkalmazzuk kriptográfiai primitívek és protokollok kidolgozására. Fontosnak tekintjük, hogy a konstrukcióinkról matematikai bizonyítható tételeket találjunk.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.

A kutatásunknak több alapkérdése is van, A Debreceni Egyetem társpályázatának fő kérdése a következőképp foglalható össze: David Hilbert 1900-ban megfogalmazott problémája olyan eljárás megalkotására vonatkozott, amellyel minden diofantikus egyenletekről el lehet dönteni, hogy megoldható-e. Yurij Matijaszevics 1970-ben megmutatta, hogy ilyen általános algoritmus nem létezik. Hilbert programja tehát csak diofantikus egyenletek meghatározott osztályaira oldható meg. Ilyeneket a XX. sz. folyamán, nem kis részben a Debreceni Számelméleti Iskola közreműködésével, sikerült is definiálni és a tételek hatókörét lényegesen ki lehetett bővíteni. Kutatásaink alapkérdése tehát olyan tételek bizonyítása, amelyek diofantikus egyenletek minél szélesebb körében biztosítja a megoldhatóság algoritmikus eldöntését és lehetővé teszi konkrét egyenletek minél általánosabb osztályaira a megoldások meghatározását.
A főpályázat kérdéseit nehezebben lehet összefoglalni: 2 fő szempontot emelnénk ki.
1) Szemerédi híres tétele, az általa bizonyított Regularitási lemma és pszeudorandom módszere az additív kombinatorikai módszerek legfontosabbjaivá vált; döntő szerepük volt Green-Tao Fields Medalt nyert világhíres tételének bizonyításában. Egyik fő problémánk a tetszőleges struktúrákban meghúzódó szabályosságok vizsgálata.
2) A prímszámok azok az elemi részecskék, amelyekből az egészek multiplikatív félcsoportja felépül, míg az additív csoportjuk egy végtelen ciklikus csoport A két struktúra összekapcsolása bármilyen módon a lehető legnehezebb kérésekre vezet: elegendő a Goldbach és ikerprím problémákkal, prímek számtani sorozatok-beli eloszlásával kapcsolatos kérdések említése.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!

A matematikai kutatások egyik legalapvetőbb célja egyenletek megoldása. Ha a megoldások halmazát az egész számokra szűkítjük, akkor kapjuk a diofantikus egyenleteket, amelyek évezredek óta foglalkoztatják a matematikusokat. Kutatási eredményeink ezen a területen évtizedek óta a nemzetközi szakmai élvonalba tartoznak. A projekt során legalább meg akarjuk tartani ezt a pozíciónkat. Általánosítani akarunk ismert tételeket, illetve új kutatási irányokat kezdeményezünk, azaz alkalmazásokat keresünk ismert tételekre vagy olyan módszereket dolgozunk ki, amelyek lehetővé teszik korábban megtámadhatatlan egyenletek megoldását.
A kutatás információt nyújthat az egész számok tetszőleges, csak bizonyos sűrűségi feltételeknek eleget tevő részhalmazainak tulajdonságaiba, továbbá olyan rendkívül fontos determinisztikus sorozatok eloszlásí tulajdonságaiba, mint a prímszámok. Általánosabban is kapcsolatot teremthetünk az egész számok multiplikatív és additív tulajdonságai között, mint az úgynevezett összeg-szorzat halmazok.
Kapcsolatokat tudunk feltárni a prímszámok eloszlásában megmutatkozó szabályosságok és szabálytalanságok között, és olyan világhíres, több évszázados, vagy esetleg több évezredes problémák megközelítésére vonatkozóan bizonyíthatunk tételeket, mint a Goldbach sejtés és az ikerprím sejtés.
Tervezett kriptográfiai kutatásaink alapkutatások. Olyan kriptográfiai primitíveket dolgozunk ki, amelyek tulajdonságait minél általánosabb feltételek mellett be lehet bizonyítani. Ilyen eredményeknek az a jelentősége, hogy megismerjük a módszerek alkalmazhatóságának a határait. Bízunk benne, hogy eredményeink, bizonyos feltételek mellett a gyakorlatban is alkalmazhatóak.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média illetve az adófizetők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI számára.

Kutatásaink nagyobb és fontosabb része a diofantikus egyenletek megoldásával foglalkozik. Ezek olyan egyenletek, amelyeknek a megoldásait az egész számok körében keressük és évezredek óta a matematikai kutatások fontos területét jelentették. A stratégiai cél a megoldások meghatározása. Ez azonban csak bizonyos, szűk körben érhető el. Kutatásaink során ezt a kört szeretnénk minél jobban bővíteni. A kézzel vagy számítógéppel megoldható egyenletek azok közé tartoznak, amelyek megoldására algoritmust tudunk adni. Az algoritmussal elvileg megoldható egyenletek körének bővítése is fontos célunk.
Kutatásaink másik fókusza a prímszámok eloszlásának tulajdonságai, melyek meghatározásuk szerint pontosan két osztóval rendelkeznek, eggyel és önmagunkkal. Több ezer éve tudjuk (bár precíz igazolása csak 1800-ban Gaussnak sikerült), hogy a pozitív egészek pontosan egyféleképp írhatóak fel (sorrendtől eltekintve) prímszámok szorzataként. Ugyanakkor a prímszámok eloszlása tekintetében nagyon sok egyszerűen megfogalmazható és világhíres matematikusok által több száz éve vizsgált kérdésre nem tudjuk a választ, mint pl. az ikerprímsejtés, azaz, hogy van-e végtelen sok egymástól csak 2-vel különböző ún. ikerprímszám (a legjobb eredményt a témavezető érte el 2 külföldi kutatóval együtt). Ezen problémákban szeretnénk előbbre jutni.
Kutatásaink másik területe az algoritmikus adatvédelem, a kriptográfia elméleti alapjaival foglalkozik. Számelméleti ismereteinkre, eredményeinkre és tapasztalatainkra alapozva kriptográfiai algoritmusok és protokollok kidolgozásával, és matematikai elemzéssel foglalkozunk. Célunk például az elektronikus választás, ill. vizsgáztatás protokolljainak vizsgálata.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.

Our research proposal is based on the many decades long traditions and on the results of the Erdős-Turán school in Budapest and on the Debrecen Number Theory School. According to this the main research aresas to be studied are the following: analytic number theory, combinatorial number theory, additive combinatorics and the theory of diophantine equations, further topics closely related to them. We plan to do research concerning the distribution of primes additive prime number theory, trigonometric sums, automorphic and modular forms, combinatorial number theory and additive combinatorics. We plan to investigate effective theory of diophantine equations over finitely generated integral domains, decomposition of polynomials and certain diophantine equations concerning power sums, arithmetical progressions on algebraic curves and power values of arithmetical progressions.
Although the concrete research we plan is connected to a well defined area of mathematics, still we cannot specify only one research goal, since it depends on the nature and generality of the problem.
Another essential direction of our research is cryptographic application of number theoretical results. We would like to study pseudorandom number generation, hash functions defined by mathematical tools, applications of anonymity.
In the theory of cryptography we employ number theoretical methods and results to develop cryptographic primitives and protocols. We find it important to give theorems about our construction with detailed mathematical proofs.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.

Our research plan has several main objectives. The main objective of our research partner, the Debrecen University can be described as follows: In 1900, David Hilbert formulated as the main problem of the diophantine number theory to give a procedure that is able to output whether a diophantine equation is solvable or not.
In 1970, Yurij Matijaszevics showed that there is no general algorithm for it. Hilbert's problem can be solved only for some specified classes of diophantine equations. During the 20th century, partly through the contribution of the Number Theory School of Debrecen most of these classes are defined and theorems are extended. The fundamental question of our research is to prove theorems that provide results about solvability of diophantine equations and give algorithms to find solutions of large families of diophantine equations.
It is more difficult to summarize the research proposal concerning analytic and combinatorial number theory: we mention 2 main points.
1)The famous theorem of Szemerédi, his regularity lemma and the pseudorandom method initiated by him became the most important tools of additive combinatorics; they played a decisive role in the celebrated theorem of Green and Tao, for which Tao earned the Fields Medal. We would like to investigate regularity properties of general structures.
2)Prime numbers are like elementary particles: they generate the multiplicative semigroup of the integers, while their additive group is a simple infinite cyclic group. The connection between these 2 structures leads to increduibly difficult problems, like the Goldbach or twin-prime problems or the distribution of primes in arithmetic progressions.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.

Importance of mathematical research is to solve equations. If we narrow the set of solutions to integers, then we get diophantine equations that have been very interesting for mathematicians for a long time. Our results are internationally well-known and considered outstanding for decades. During the project we would like to maintain our reputation. We would like to generalize well-known theorems, and introduce new research directions: we search applications of well-known theorems and develop methods that help to solve equations that seemed to be extremely difficult to solve before.
The other focus of our researh proposal is to obtain information about subsets of the positive integers, characterised merely by some density properties, further to obtain information about the distribution of such important deterministic sequences like the primes. More generally we can establish connections between the multiplicative and additive structures of integers like the sum-product theorems. We can reveal connections between regularities and irregularities of the distribution of primes and can prove theorems about the approximation of such world famous (centuries old) problems like the Goldbach and twin prime problems.
Our research in cryptography is basic. We develop cryptographic primitives with properties that can be proved under general conditions. Importance of these results is to study the limit of our methods. Hopefully, our solutions, under certain conditions can be applied in practice, too.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NKFI in order to inform decision-makers, media, and the taxpayers.

Important part of our research is related to solutions of diophantine equations. Diophantine equations are equations with solutions in the set of integers, mathematicians are interested in them for long time. The goal is to determine the solutions, but it is possible only for special classes of equations. Our goal is to extend the set of these classes as much as possible. If we can solve an equation either by hand or by computer, then we can give an algorithm to find solutions. It is important for us to extend the set of solvable equations.
Another main part of our research proposal is the distribution of primes (that is, numbers with exactly two divisors: 1 and the number itself. Positive integers can be written in a unique way (up to the permutation of the factors) as a product of primes (EUclid, 2300 B.C., exactly: Gauss, 1800). On the other hand we have many problems about primes, which can be formulated and understood easily; nevertheless, despite of all the efforts of the best mathematicians of the world we still do not know the answers for them. Such an example is provided, e.g. by the twin prime conjecture which states that there are infinitely many pairs of primes with differense 2 (the best result was reached by Goldston, Pintz and Yildirim). We would lik e to reach progress in these problems too.

The other area of our research is related to theoretical foundations of algorithmic data security, i. e. cryptography. Based on our number theoretical knowledge, results we deal with cryptographical algorithms and protocols and their mathematical analysis. Our aim is for example to investigate electronic elections and exam systems.




Back »