Error estimations for discontinuous Galerkin methods: a conforming approach  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
104441
Type PD
Principal investigator Izsák, Ferenc
Title in Hungarian Hibabecslések nemfolytonos Galjorkin-módszerekhez: konform megközelítés
Title in English Error estimations for discontinuous Galerkin methods: a conforming approach
Keywords in Hungarian nemfolytonos Galjorkin-módszer, hibabecslés, konvergencia
Keywords in English discontinuous Galerkin method, error estimation, convergence
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)80 %
Ortelius classification: Numerical analysis
Computing Science (Council of Physical Sciences)20 %
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Applied Analysis and Computational Mathematics (Eötvös Loránd University)
Starting date 2012-09-01
Closing date 2014-08-31
Funding (in million HUF) 11.598
FTE (full time equivalent) 1.50
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.

A fő célkitűzés az, hogy nemfolytonos elliptikus parciális differenciálegyenletek nemfolytonos Galjorkin-módszerrel kapott közelítő megoldásból egy folytonos megoldást rekonstruáljunk, és annak hibáját a természetes energia-normában (H^1 - normában) becsüljük.
Szeretnénk a nemfolytonos Galjorkin módszerek egy olyan családját is leírni, amely konform módszerekből egyszerűen származtatható.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.

Az eddigi vizsgálatok során felmerült fő probléma az, hogy a nemfolytonos Galjorkin-módszerekkel kapott megoldás nincs benn a
H^1 térben, ezért természetes módon valamilyen rekonstrukció nélkül a hiba H^1-normáját nem tudjuk értelmezni sem.
A kutatás kiinduló hipotézise az, hogy ezt meg lehet tenni elliptikus problémákra is, mégpedig egyszerűbb módszert használva, mint
ahogy azt hiperbolikus feladatok esetére kidolgozták.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!

A nemfolytonos Galjorkin-módszerekkel értelmezett megoldás rekonstrukciójának vizsgálata azért fontos, mert a gyakorlatban
eleve rekonstruálják a számítási eredményeket, hiszen sok mennyiségtől "elvárják", hogy azoka térben folytonosak legyenek.
Ehhez kapcsolódóan utólagos hibaanalízist is lehet végezni: nemcsak azt lehet megbecsülni, hogy egy adott pontosság eléréséhez milyen
komplexitású számításra - amely a tartomány felosztásának finomsága és a lokális polinomrendek fokaként realizálódik - van szükség,
hanem egy adott számítás hibáját is meg lehet becsülni.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média illetve az adófizetők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI számára.

Nemfolytonos Galjorkin-módszereket használnak a gyakorlatban összetett fizikai folyamatokat (pl. áramlást, égést) modellező számításokhoz, ahol a vizsgált térrész (pl. egy motor belseje, egy komplex csővezeték-rendszer) alakja bonyolult.
Ahhoz, hogy a megfelelő szimulációk jól használhatóak legyenek, megfelelő pontosságút tudjunk kifejleszteni, szükség van arra, hogy eredményükből, és számítás során használt paraméterekből a számítások pontosságára tudjunk következtetni, vagyis hibaanalízist végezzünk. Idáig jórészt úgy definiálták a számítási hibát, hogy az elméleti (matematikai) szempontból jól kezelhető volt, azonban a
gyakorlatban hibának gondolt mennyiséggel nem volt jól kapcsolatba hozható. Ezt akarjuk a kutatás során megváltoztatni: a számítások
olyanfajta hibáját is leírni, amely a gyakorlatban fontos.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.

The main objective is to develop a reconstruction of a DG numerical solution for an elliptic boundary value problem such that
the error of the reconstructed solution can be estimated in the energy norm.
Accordingly we object to define a family of DG methods which can be derived as a perturbation of conforming finite element approximations which does not depend on unknown parameters and are stable and elliptic without any extra conditions.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.

The main difficulty in the analysis is that the DG numerical solution is not in the H^1 space such that the above reconstruction is necessary.
Our hypothesis is that a reconstruction procedure can be performed also for elliptic problems and quasi optimal convergence rate can
be achieved for the reconstructed approximation. We hope that even easier procedures can be elaborated compared to the case of
hyperbolic problems.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.

This reconstruction procedure is important since the discontinuous approximation has to be interpreted. If the energy norm of the postprocessed approximation can be estimated, efficient adaptive solvers can be developed for those problems which has high impact in the engineering and the
natural sciences.
Also, DG methods without unknown constants and parameters can provide more reliable computational methods.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NKFI in order to inform decision-makers, media, and the taxpayers.

Discontinuous Galerkin methods are widely used in the practice to simulate involved physical processes such as problems in fluid dynamics, combustion etc. In most cases the physical domain has complex structure (e.g., an airplane, an engine). In order to have effective solvers with a high precision it is necessary to control the computational process: to analyze the computational error. Using a very efficient computational procedure (DG method) we try
to interpret the solution. Also it would be desirable to measure its error using realistic, physically meaningful quantities.





 

Final report

 
Results in Hungarian
A kutatás témája nefolytonos Galjorkin-módszerek konvergenciájának vizsgálata elliptikus peremérték-feladatokra. A fő kérdés az volt, hogy valamilyen értelemben igazolható-e konvergencia a természetes energia-normában. Sikerült kimutatni, hogy ha a nemfolytonos numerikus megoldást átlagoljuk (amely ezáltal folytonos lesz), akkor az így kapott közelítés valóban konvergál a pontos megoldáshoz az elliptikus feladathoz tartozó standard Szoboljev-normában. A feladatot két lépésben, először egy dimenzióban, majd a több dimenziós eseteket együtt tárgyalva végeztem el. További eredmény, hogy az analízis alapján a nemfolytonos közelítés bevezetésére alternatívát javasoltunk. Ezt követve természetes módon, az átlagolt függvényekre vonatkozó bilineáris forma perturbációjával kapható a büntetőtaggal rendelkező nemfolytonos Galjorkin-módszerhez tartozó bilineáris forma. Nincs szükség sem heurisztikus numerikus fluxusok, büntetőtagok és csak a formalizmus által indukált norma bevezetésére, továbbá a pontos megoldásra vonatkozó regularitási feltételekre.
Results in English
The topic of the research was the a priori error analysis of discontinuous Galerkin (dG) methods for elliptic boundary value problems. The chief question was whether we can prove convergence in the natural Sobolev norm in some sense. We could point out that for the local average of the discontinuous approximation - which becomes continuous - the average converges to the analytic solution with respect to the energy seminorm corresponding to the elliptic problem (this is the $H^1$ -seminorm). In the first year we were focusing to the one-dimensional case, while in the second year we investigated the multidimensional extension. As a further result, we suggested a new introduction of overpenalized interior penalty (IP) methods. According to this, we have to perturb the continuous bilinear form form the average of the approximations to obtain the bilinear form corresponding to overpenalized IP dG methods. We could completely avoid the introduction of arbitrary flux terms, penalty terms or the so-called dG norm and we did not need any assumption on the smoothness of the analytic solution.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=104441
Decision
Yes





 

List of publications

 
Izsák Ferenc: Energy norm error estimation for averaged discontinuous Galerkin methods in one space dimensions, MAFELAP 2013 Absrtacts, pp. 111, 2013
Csörgő Gábor és Izsák Ferenc: Energy norm error estimates for averaged discontinuous Galerkin methods in 1 dimension, International Journal of Numerical Analysis and Modeling, 2014




Back »