Asymptotics of Stochastic Processes  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
106181
Type PD
Principal investigator Kevei, Péter
Title in Hungarian Sztochasztikus folyamatok aszimptotikája
Title in English Asymptotics of Stochastic Processes
Keywords in Hungarian határeloszlás-tétel, elágazó folyamat, Lévy folyamat, sztochasztikus geometria, véletlen körpoligon
Keywords in English limit theorem, branching process, Lévy process, stochastic geometry, random discpolygon
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Probability theory
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Bolyai Institute (University of Szeged)
Starting date 2012-09-01
Closing date 2014-08-31
Funding (in million HUF) 1.920
FTE (full time equivalent) 1.60
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.

Tekintsük a $\sum_{i=1}^n X_i Y_i / \sum_{i=1}^n Y_i$ alakú önnormalizált összeget, ahol $X, X_1, X_2, \ldots, X_n$ független, azonos eloszlású véletlen változók, és $Y, Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ nemnegatív, független, azonos eloszlású véletlen változók, melyek függetlenek az $X$-ektől. Szükséges és elegendő feltételeket akarunk megadni a lehetséges részsorozatonkénti határeloszlások folytonosságára. Vizsgáljuk a probléma folytonos idejű változatát, amikor a normalizáló $V_t$ folyamat egy szubordinátor. Ebben az esetben az $U_t / V_t$ hányados konvergenciájára akarunk feltételeket kapni, $t \to 0$ vagy $\infty$ estén, ahol $(U_t,V_t)$ egy kétdimenziós Lévy-folyamat.

Tekintsünk egy $K=K_0$ origót tartalmazó konvex halmazt, és definiáljuk a következő folyamatot: legyen $p_{n+1}$ egy egyenletes eloszlás szerint választott véletlen pont $K_n$-ben, és legyen $K_{n+1}= K_n \cap (p_{n+1} + K)$. Világos, hogy a $\{ K_n \}_{n=1}^\infty$ konvex halmazok sorozata konvergál egy határalakzathoz. Magasabb dimenzióban bizonyos speciális alaphalmaz esetén a folyamat sebességenek aszimptotikáját és a határalakzat súlypontját vizsgáljuk.

Tekintsünk egy közel kritikus Galton-Watson elágazó folyamatot bevándorlással. Megvizsgáljuk, hogy mik a folyamat lehetséges határeloszlásai. Határeloszlás-tételeket akarunk bizonyítani a többtípusos esetben. Hasonló kérdésekkel foglalkozunk folytonos idejű és folytonos állapotterű elágazó folyamatok esetén. Megvizsgáljuk az állapotfüggő elágazó mechanizmusú Galton-Watson folyamatok skálalimeszeit, továbbá kétnemű modellekkel is foglalkozunk.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.

Tekintsük a $\sum_{i=1}^n X_i Y_i / \sum_{i=1}^n Y_i$ alakú önnormalizált összeget, ahol $X, X_1, X_2, \ldots, X_n$ független, azonos eloszlású véletlen változók, és $Y, Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ nemnegatív, független, azonos eloszlású véletlen változók, melyek függetlenek az $X$-ektől. Továbbá föltesszük, hogy $X$ várható értéke véges. A kutatás egyik fő célja karakterizálni a lehetséges részsorozatonkénti határeloszlásokat, és szükséges és elegendő feltételt adni a részsorozatonkénti határeloszlások folytonosságára.
Hasonló kérdéseket vizsgálunk a probléma folytonos idejű változatában. Milyen feltételek mellett konvergál eloszlásban az
$U_t / V_t$ hányados, és mik lesznek a lehetséges határeloszlások?

Tekintsünk egy $K=K_0$ origót tartalmazó konvex halmazt, és definiáljuk a következő folyamatot: legyen $p_{n+1}$ egy egyenletes eloszlás szerint választott véletlen pont $K_n$-ben, és legyen $K_{n+1}= K_n \cap (p_{n+1} + K)$. Világos, hogy a $\{ K_n \}_{n=1}^\infty$ konvex halmazok sorozata konvergál egy határalakzathoz. Mit mondhatunk a határalakzat tulajdonságairól, a folyamat sebességéről?

Egy inhomogén Galton--Watson folyamatot akkor nevezünk közel kritikusnak, ha az utódeloszlások várható értéke kisebb 1-nél, de konvergál 1-hez. Mik a folyamat lehetséges határeloszlásai, ha bevándorlást is megengedünk? Mi lesz a folyamat aszimptotikája, ha több különböző típusú részecske van a rendszerben? Mik lesznek a megfelelő eredmények folytonos idejű elágazó folyamatok esetén?

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!

Az önnormalizált összegek vizsgálata Leo Breiman 1965-ös cikkével kezdődött, melyben a $\sum_{i=1}^n X_i Y_i / \sum_{i=1}^n Y_i$ alakú hányadosokat tekinti, ahol $X, X_1, X_2, \ldots, X_n$ független, azonos eloszlású véletlen változók, és $Y, Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ nemnegatív, független, azonos eloszlású véletlen változók, melyek függetlenek az $X$-ektől. A cikk végén Breiman megfogalmazza máig megoldatlan sejtését: ha a hányados határeloszlása létezik és nemelfajuló, valamely véges várható értékű $X$ esetén, akkor az $Y$ változó eloszlása benne van egy 1-nél kisebb indexű stabilis eloszlás vonzástartományában. Módszerünkkel valószínűleg karakterizálni tudjuk a lehetséges részsorozatonkénti határeloszlásokat, ami egy fontos lépés lenne a Breiman-sejtés igazolása felé. Megjegyezzük, hogy a módszer alkalmazható más típusú önnormalizáció esetén is. Ilyen önnormalizáció a statisztikában gyakran előfordul, itt csak a súlyozott bootstrap átlagokat és az elágazó folyamatok paraméterbecslésénél használt feltételes legkisebb négyzetek módszerét említjük.

Véletlen konvex halmazok metszeteinek vizsgálata a sztochasztikus geometria nehéz, és éppen ezért keveset vizsgált problémái közé tartozik. A következő folyamatot tekintjük. Rögzítünk egy origót tartalmazó $K = K_0$ konvex halmazt. Legyen $p_{n+1}$ egy egyenletes eloszlás szerint választott véletlen pont $K_n$-ben, és legyen $K_{n+1}= K_n \cap (p_{n+1} + K)$.
Azt reméljük, hogy vizsgálódásaink fölhívják a figyelmet a sztochasztikus geometria ezen ágára.

Az elágazó folyamatok olyan populációkat modelleznek, melyekben az egyedek egymástól függetlenül élnek és szaporodnak. Az ilyen folyamatok 1874-es megjelenése óta egyre összetettebb rendszereket írnak le, és jelenleg az elmélet alapvető fontosságú a genetikában, a fizikában és a számítástudományban. A valóságban az utódeloszlás, illetve a bevándorlás eloszlásának homogenitása
általában nem teljesül, ezért különösen fontosak az inhomogén elágazó folyamatok. Ezen modellek aszimptotikájának megértése sok gyakorlati alkalmázásban lehet fontos.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média illetve az adófizetők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI számára.

Tekintsünk a klasszikus egydimenziós szimmetrikus bolyongást. Legyen $Y_i$ az origóba való $(i-1)$-edik és $i$-edik visszatérés közötti lépések száma. Ekkor $Y_1, Y_2, \ldots$ független, azonos eloszlású véletlen változók. Legyen $X_i$ értéke 1, ha az $i$-edik kirándulás a pozitív félegyenesen van, 0 különben. Világos, hogy $X_1, X_2, \ldots$ független, azonos eloszlású változók, melyekre $P(X_1 = 0) = P(X_1 =1) = 1/2$. Ekkor a $\sum_{i=1}^n X_i Y_i / \sum_{i=1}^n Y_i$ hányados megadja, hogy a véletlen séta az idő mekkora hányadát tölti a pozitív félegyenesen az origóba való $n$-edik visszatérésig. Jól ismert, hogy a hányados határeloszlása az arkusz-szinusz eloszlás. A kutatás egyik célja a jelenség megértése általános esetben.

Tekintsünk egy $K=K_0$ origót tartalmazó konvex halmazt a $d$-dimenziós euklideszi térben, és definiáljuk a következő folyamatot: legyen $p_{n+1}$ egy egyenletes eloszlás szerint választott véletlen pont $K_n$-ben, és legyen $K_{n+1}= K_n \cap (p_{n+1} + K)$. Világos, hogy $\{ K_n \}_{n=1}^\infty$ halmazsorozat konvergál egy határalakzathoz. Meg akarjuk érteni a folyamat viselkedését, és hogy ez hogy függ a kiindulási halmaztól.

Az inhomogén elágazó folyamatokban minden részecskének véletlen számú utóda születik, és az utódeloszlás függhet a generációtól. Föltesszük, hogy az utódeloszlás várható értéke kisebb mint 1, és a generáció növelésével ez az érték 1-hez konvergál. Tehát a folyamatban van egy kihalási tendencia, amit bevándorlással kompenzálunk. A kutatás célja a folyamat jobb megértése, a
határeloszlások meghatározása. Továbbá megvizsgáljuk az olyan folyamatokat is, ahol több különböző típusú részecske van jelen.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.

Consider the self-normalized sums $\sum_{i=1}^n X_i Y_i / \sum_{i=1}^n Y_i$, where $X, X_1, X_2, \ldots, X_n$ are independent, identically distributed random variables, and $Y, Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ are non-negative, independent, identically distributed random variables, independent from the $X$'s. We want to obtain sufficient and necessary conditions for the continuity of all subsequential limits. We consider the continuous time version of the problem. In this case $V_t$, the normalizing process is a subordinator, and we want to derive conditions for the convergence of the ratio $U_t / V_t$, as $t \to 0$ or $\infty$, where $(U_t, V_t)$ is a two-dimensional Lévy process.

Let $K = K_0$ be a convex body that contains the origin, and define the diminishing process $(K_n, p_n)$, as follows: let $p_{n+1}$ be a uniform random point in $K_n$, and set $K_{n+1} = K_n \cap (p_{n+1} + K)$. Clearly, $K_n$ converge to a non-empty limit object. In higher dimension for particular convex bodies we want to determine the rate of convergence, or at least obtain bounds on it. Also, we try to compute the distribution of the center.
We want to determine the asymptotic of the expected number of the vertices of the random discpolygon after choosing $n$ point uniformly in a given convex body.

In a nearly critical Galton-Watson process with immigration we want to describe the possible limit distributions and to prove limit theorems for the multidimensional case. We also plan to consider the same questions for the nearly critical continuous state branching processes. We shall investigate the scaling limit and other asymptotic properties of state-dependent branching processes.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.

Consider the self-normalized sums $\sum_{i=1}^n X_i Y_i / \sum_{i=1}^n Y_i$, where $X, X_1, X_2, \ldots, X_n$ are independent, identically distributed (i.i.d.) random variables, and $Y, Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ are non-negative, i.i.d. random variables, independent from the $X$'s. We also assume that the expectation of $X$ is finite. One of the main goal is to characterize the subsequential limit distributions and to obtain sufficient and necessary conditions for the continuity of all possible subsequential limits.
The same questions arise in the continuous time version of the problem. What are the possible limit distributions and
subsequential limit distributions of the ratio $U_t / V_t$, where $(U_t, V_t)$ is a two-dimensional Lévy process.
What are the conditions for the convergence in distribution of the ratio $U_t / V_t$?

Let $K = K_0$ be a convex body in $\R^d$ that contains the origin, and define the diminishing process $(K_n, p_n)$, $n \geq 1$, as follows: let $p_{n+1}$ be a uniform random point in $K_n$, and set $K_{n+1} = K_n \cap (p_{n+1} + K)$. Clearly, $\{ K_n \}$ is a nested sequence which converge to a non-empty limit object. What can we say about the distribution of this limit body, and what can we say about how fast this happens?

An inhomogeneous Galton-Watson process is called nearly critical, if the offspring means are less than 1, yet tend to 1. What are the possible limiting distributions in a nearly critical Galton-Watson process with immigration? What is the asymptotic behavior of a nearly critical multitype Galton-Watson process? What are the corresponding results for nearly critical continuous state branching processes?

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.

The study of self-normalized sums began with a 1965 paper by Leo Breiman, in which he investigated the ratios of the form $\sum_{i=1}^n X_i Y_i/\sum_{i=1}^n Y_i$, where $X,X_1,X_2,\ldots,X_n$ are independent, identically distributed random
variables, and $Y,Y_1,Y_2,\ldots,Y_n$ are non-negative, independent, identically distributed random variables, independent of the $X$'s. In the end of his paper Breiman formulates his famous conjecture: if the limit distribution of the ratio exists and is non-degenerate for one $X$ with finite expectation, then the distribution of $Y$ is necessarily in the domain of attraction of a stable law with index less than 1. In its full generality the conjecture is open even today. With our new approach to the problem it seems possible to characterize the subsequential limits, which would be an important step towards Breiman's conjecture. Moreover, our approach may be useful to handle other type of self-normalized sums, which appear frequently in statistics. We only mention the weighted bootstrap and the conditional least square estimator in the theory of branching processes.

The investigation of intersection of random convex sets is a challenging problem in stochastic geometry. In general there are not much known results in this area. We consider the following problem: Let $K=K_{0}$ be a convex body in $\mathbb{R}^{d}$ that contains the origin, and define the diminishing process $(K_{n},p_{n})$, $n\geq1$, as follows: let $p_{n+1}$ be a uniform
random point in $K_{n}$, and set $K_{n+1}=K_{n}\cap(p_{n+1}+K)$. We hope that our investigations may draw the attention to this topic.

Branching processes are used to model the evolution of populations whose members live, reproduce and die independently of each other. Since its first appearance in 1874 the theory is developing to model more complex systems, and now branching processes play an important role in models of genetics, physics and computer science. Homogenity of the offspring and immigration distributions may not hold in the real life, which shows the necessity of the inhomogeneous models. Understanding the
large time asymptotics of these processes may have a number of real life applications.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NKFI in order to inform decision-makers, media, and the taxpayers.

Assume that we are tossing a fair coin repeatedly, and consider the corresponding random walk. Let denote $Y_1$ the number of steps until the first return to 0, $Y_2$ the number of steps between the first and second return, $\ldots$. Then the random variables $Y_1, Y_2, \ldots$ are independent and identically distributed. Let $X_i$ be 1 if the $i$th excursion is on the positive halfline and 0 otherwise. Clearly, $X_1, X_2, \ldots$, are iid such that $P(X_1 = 0) = P(X_1 =1) = 1/2$. Then the random quotient $\sum_{i=1}^n X_i Y_i / \sum_{i=1}^n Y_i$, is the ratio that the random walk spends in the positive halfline up
to the $n$th return to zero. It is well-known that the limit distribution of this ratio is the arc-sine distribution. One of the main objectives of the research is to understand better the behavior of the random quotient for general distributions.

Let $K = K_0$ be a convex body that contains the origin, and define the diminishing process $(K_n, p_n)$, $n \geq 1$, as follows:
let $p_{n+1}$ be a uniform random point in $K_n$, and set $K_{n+1} = K_n \cap (p_{n+1} + K)$. Then $K_n$ converge to a non-empty limit object. We want to understand the behavior of the process, and that how does it depend on the original set.

In inhomogeneous branching processes each particle has a random number of offsprings, and the offspring distribution may depend on the generation. We assume that the offspring mean is less than 1, yet tend to 1; i.e.~there is an extinction effect, which is compensated by immigration. One objective of the research is to understand better the process, and investigate what happens when there are different types of particles.





 

Final report

 
Results in Hungarian
Önnormalizált összegek, önnormalizált Lévy-folyamatok témában három cikket publikáltunk. Megmutattuk, hogy önnormalizált összegek részsorozatonként vett határeloszlásai pontosan akkor folytonosak, ha a háttéreloszlás benne van egy stabil eloszlás vonzástartományában. Hasonló eredményeket igazoltunk Lévy-folyamatokra. Egy másik cikkünkben karakterizáltuk, mikor létezik a szubordinátor és a legnagyobb ugrása hányadosának határeloszlása. Egy másik cikkben szentpétervári változók összegének aszimptotikáját vizsgáljuk a maximumra feltételesen. Rényi és Sulanke eredményeit általánosítjuk az orsókonvex esetben. Egy másik cikkben vizsgáltuk a Tóth-féle csökkenő folyamatot. Speciális esetekben meghatároztuk a folyamat sebességét, és a határalakzat középpontjának eloszlását. Többdimenziós inhomogén közel-kritikus Galton-Watson elágazó folyamatokat vizsgáltunk bevándorlással. Áltálános feltételek mellett sikerült határeloszlás-tételt igazolni, melyben a határfolyamat koordinátái nem feltétlen függetlenek. Egy másik cikkben azt vizsgáltuk, hogy egy sportrendezvényről hazaérkező szurkolók milyen valószínűséggel indítanak el járványt. Megmutattuk, hogy amennyiben egy exponenciális egyenlőtlenség teljesül változók összegeire, akkor ugyanez a becslés igaz a maximumokra is. Egy további cikkben független frakcionális Brown-mozgásból képzett empirikus folyamat erős approximációját vizsgáljuk.
Results in English
In the study on self-normalized sums and self-normalized Lévy processes we published three papers. We showed that all the possible subsequential limits of a self-normalized sum is continuous, if and only if the underlying distribution belongs to the centered Feller class. We showed similar results in the process setup. We characterized under what conditions the subordinator divided by its largest jump converges. We investigated the asymptotic behavior of the St. Petersburg sums conditioned on its maximum. We generalized some of the classical result of Rényi and Sulanke in the context of spindle convexity. We analyzed the so-called diminishing process of Bálint Tóth in case of simplexes and cubes in arbitrary dimension, and for regular polygons in the plane. We investigated a multi-type inhomogeneous Galton--Watson processes with immigration, where the offspring mean matrix slowly converges to a critical mean matrix. Under general conditions we obtained limit distribution for the process. We investigated the probability of a measles outbreak after a mass-gathering event. We proved a general Bernstein-tpye maximal inequality for sums of random variables. We investigated strong approximations to time dependent empirical processes based on independent fractional Brownian motions.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=106181
Decision
Yes





 

List of publications

 
Kevei P, Mason DM: The asymptotic distribution of randomly weighted sums and self-normalised sums, Electronic Journal of Probability, 17 (2012), 46, 1-21, 2012
Dénes A, Kevei P, Nishiura H, Röst G: Risk of infectious disease outbreaks by imported cases with application to the European Football Championship 2012, International Journal of Stochastic Analysis, Volume 2013 (2013), Article ID 57638, 2013
Kevei P, Mason DM: Randomly Weighted Self-normalized Lévy Processes, Stochastic Processes and their Applications, 123 (2) 2013, 490-522, 2013
Kevei P, Mason DM: A More General Maximal Bernstein-type Inequality, High Dimensional Probability VI Progress in Probability Volume 66, 2013, pp 55-62, 2013
F. Fodor, P. Kevei, V. Vígh: On random disc-polygons in smooth convex discs, Advances in Applied Probability, 2014
L. Györfi, M. Ispány, P. Kevei, Gy. Pap: Asymptotic behavior of a multi-type nearly critical Galton--Watson processes with immigration, Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya, 2015
P. Kevei, V. Vígh: On the diminishing process of B. Tóth, Submitted, 2014
Kevei P, Mason DM: The limit distribution of ratios of jumps and sums of jumps of subordinators, Submitted, 2014
Kevei P, Mason DM: Couplings and Strong Approximations to Time Dependent Empirical Processes Based on I.I.D. Fractional Brownian Motions, Submitted, 2014
Fodor F, Kevei P, Vígh V: On random disc-polygons in smooth convex discs, Advances in Applied Probability, 2014
Fukker G, Kevei P, Györfi L: Asymptotic behavior of the St. Petersburg sum conditioned on its maximum, http://arxiv.org/abs/1308.0521, 2015
Ispány M, Györfi L, Kevei P, Pap Gy: Asymptotic behavior of a multi-type nearly critical Galton--Watson processes with immigration, Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya, 2015
Kevei P, Mason D: The limit distribution of ratios of jumps and sums of jumps of subordinators, http://arxiv.org/abs/1407.3142, 2015
Kevei P, Mason D: Strong Approximations to Time Dependent Empirical and Quantile Processes Based on Independent Fractional Brownian Motions, http://arxiv.org/abs/1308.4939, 2015
Kevei P, Vígh V: On the diminishing process of B. Tóth, http://arxiv.org/abs/1406.6590, 2015




Back »