A categorical study of quantum symmetries and their applications  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
108384
Type K
Principal investigator Böhm, Gabriella Eszter
Title in Hungarian Kvantum szimmetriák és alkalmazásaik kategóriaelméleti vizsgálata
Title in English A categorical study of quantum symmetries and their applications
Keywords in Hungarian (gyenge) Hopf algebra, monoidális és duoidális kategória, monád, kvantumtérelmélet, szimmetria rekonstrukció
Keywords in English (weak) Hopf algebra, monoidal and duoidal category, monad, quantum field theory, symmetry reconstruction
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Algebra
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Theoretical Physics Department (Wigner Research Centre for Physics of the Hungarian Academy of Sciences)
Participants Szlachányi, Kornél
Vecsernyés, Péter
Starting date 2013-09-01
Closing date 2018-02-28
Funding (in million HUF) 7.824
FTE (full time equivalent) 9.45
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.

Jelen projekt a kvantumszimmetriákat és alkalmazásaikat vizsgáló húsz évre visszanyúló kutatásaink folytatása. A kitűzött problémakörök közös vonása a kategóriaelméleti megközelítés:

* Gyenge (Hopf)-bialgebrák leírása (Hopf)-bimonoidokként alkalmas duoidális kategóriákban.
* Dualitási kapcsolat igazolása a véges sok objektumú grupoidok és a félig koegyszerű pontozott gyenge Hopf-algebrák között.
* A duoidális kategóriákban értelmezett gyenge bimonádok fogalmának megalkotása.
* Azon struktúra kiszűrése a szorzó gyenge Hopf algebra Van Daele-Wang féle definíciójából, mely az antipód nélkül van jelen. A bázis algebrák tanulmányozása révén a szeparábilis Frobenius-algebra egység elem nélküli általánosítása.
* A MacLane féle koherencia alkalmas gyengébb változatának igazolása ferdén monoidális kategóriákra.
* Tannaka típusú dualitási tételek igazolása bialgebroidok komodulus kategóriáira, lapossági feltevésekkel és nélkülük.
* Kvantumtérelméletek kvantumszimmetriáinak és téralgebráinak rekonstrukciója nem Haag-duális vákuumábrázolások esetén.
* A kvantumtérelméletek Doplicher--Haag--Roberts féle algebrai-kategóriai megközelítésében a vákuumábrázolások ekvivalencia-osztályainak jellemzése a megfigyelhető algebra vákuumábrázolásaiban vett inekvivalens kiterjesztések révén.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.

Egyfelől közös érvényű, másfelől alkalmazás-specifikus alapkérdések megválaszolására készülünk:

* Leírhatók-e a gyenge (Hopf)-bialgebrák mint (Hopf)-bimonoidok alkalmas duoidális kategóriákban?
* Van-e dualitási kapcsolat a véges sok objektumú grupoidok és a félig koegyszerű pontozott gyenge Hopf-algebrák között?
* Hogyan definiálhatók a gyenge bimonoidok duoidális kategóriákban -- úgy, hogy a fonott monoidális kategóriák gyenge (Hopf)-bialgebráinak és a duoidális kategóriák (Hopf)-bimonoidjainak közös általánosításához jussunk; és a (ko)modulus kategóriák az elvárt monoidális tulajdonságokkal rendelkezzenek?
* Jelen van-e minden Van Daele-Wang féle szorzó gyenge Hopf algebrában egy valamiféle szorzó gyenge bialgebra?
* Mit kell érteni egy szorzó gyenge bialgebra bázis algebrái alatt és mi az ezek algebrai szerkezete (a szeparábilis Frobenius-algebra egység elem nélküli általánosítása)?
* Alkalmasak-e a szorzó gyenge bialgebrák a (nem feltétlenül véges) kategóriákkal való dualitás leírására?
* Milyen monoidális tulajdonságai vannak egy szorzó gyenge bialgebra modulus kategóriájának?
* Milyen (monoidális) kategóriák léphetnek fel a különféle kvantumszimmetriák duálisaként?
* Milyen elvek rögzítik a kvantumszimmetriák rekonstrukciójakor az alapgyűrű választásában meglévő önkényt?
* Kvantumtérelméletek kvantumszimmetriáinak és téralgebráinak rekonstrukciój nem Haag-duális vákuumábrázolás esetén.
* Kvantumtérelméletekben a vákuumábrázolások ekvivalencia-osztályainak jellemzése a megfigyelhető algebra vákuumábrázolásaiban vett inekvivalens kiterjesztések révén.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!

Kutatásaink jelentősége bizonyos versengő kvantumszimmetria fogalmak minél szélesebb alkalmazhatóságának igazolása:

* Ismert struktúrák elvileg új leírása (pl. gyenge bialgebrák (nem gyenge!) bimonoidokként való leírása azon az áron, hogy több struktúrával rendelkező kategóriákkal dolgozunk) tanulmányozásuk új eszközeit nyújtja.
* Különböző struktúráknak (pl. a fonott monoidális kategóriák gyenge bialgebráinak és a duoidális kategóriák bimonoidjainak) közös általánosítása egységes tárgyalásukat teszi lehetővé.
* Új szimmetria fogalmak (pl. a gyenge bialgebrák egység elem nélküli általánosítása) új alkalmazásokat nyitnak (pl. dualitást a (nem feltétlenül véges) kategóriákkal).
* A koherencia tételek egyszerűbbé teszik az életet: biztosítják, hogy a koherencia morfizmusokat egyértelműen meghatározza kezdő- és végobjektumuk. A ferdén monoidális kategóriákban szigorú koherencia nem látszik teljesülni. Bármilyen gyengébb koherencia igazolása leegyszerűsítené tárgyalásukat.
* Sok gyakorlati esetben a szimmetria csak impliciten ismert (ko)modulus kategóriája révén. (Az algebrai kvantumtérelméletben például a lokális megfigyelhető mennyiségek folyamának alkalmas endomorfizmus kategóriájaként jelentkezik.) Tannaka típusú dualitási tételeink ezen adatokból való rekonstrukciót tesznek lehetővé.
* Kvantumtérelméletekben (pl. a részecskefizika "standard modelljében") a szuperszelekciós szimmetriák tipikusan spontán sérülnek. Így az ilyen szimmetriák rekonstrukciója a (jobban felderített) sértetlen esetnél is alapvetőbb.
* A fázisok klasszifikációja a statisztikus fizika központi kérdése, melyben algebrai-kategóriaelméleti módszereink eredményesek lehetnek.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média illetve az adófizetők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI számára.

Évtizedek óta tanúi lehetünk az olyan matematikai fogalmak utáni kutatásnak, melyek alkalmasak a matematika és a fizika különböző területein előforduló szimmetriák leírására. (Csoportunk aktívan részt vesz ebben.) A versengő struktúrák között nyilván az dönt, hogy melyik alkalmazható az egyik vagy másik helyzetben. Ez a következő kérdéseket veti fel:

* Ismert struktúrák elvileg új leírása -- mely tanulmányozásuk új eszközeit nyújtja. Pl. gyenge bialgebrák (nem gyenge!) bimonoidokként való leírása azon az áron, hogy több struktúrával rendelkező kategóriákkal dolgozunk.
* Különböző struktúrák közös általánosítása -- mely egységes tárgyalásukat teszi lehetővé. Pl. a fonott monoidális kategóriák gyenge bialgebráinak és a duoidális kategóriák bimonoidjainak közös általánosítása.
* Új -- egyre általánosabb -- szimmetria fogalmak utáni kutatás -- mely új alkalmazásokat nyit. Pl. a gyenge bialgebrák egység elem nélküli általánosítása.
* A koherencia tételek egyszerűbbé teszik az életet: biztosítják, hogy a koherencia morfizmusokat egyértelműen meghatározza kezdő- és végobjektumuk. Azt kutatjuk, milyen értelemben teljesül ez ferdén monoidális kategóriákban.
* Sok gyakorlati esetben a szimmetria csak impliciten ismert (ko)modulus kategóriája révén. Vizsgáljuk, hogyan rekonstruálható ezen adatokból.
* Kvantumtérelméletekben (pl. a részecskefizika "standard modelljében") a szuperszelekciós szimmetriák tipikusan spontán sérülnek. Ilyen szimmetriák rekonstrukcióját kutatjuk.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.

This project aims to continue our twenty years work on quantum symmetries and their applications. The common feature of the groups of addressed problems is the category theoretical approach:

* Interpreting weak (Hopf) bialgebras as (Hopf) bimonoids in appropriate duoidal categories.
* Proving a duality between groupoids with finitely many objects and cosemisimple pointed weak Hopf algebras.
* Finding the right notion of weak (Hopf) bimonoids in duoidal categories.
* Isolating from Van Daele and Wang's definition of multiplier weak Hopf algebra the structure which is present without the antipode. With a study of its base algebras, finding a non-unital generalization of separable Frobenius algebra.
* Proving appropriate weakenings of MacLane's coherence theorem on skew-monoidal categories.
* Proving various Tannaka type duality theorems on comodule categories of bialgebroids with and without assuming flatness over the base ring.
* Reconstruction of the quantum symmetries and field algebras of quantum field theories in case of non-Haag-dual vacuum representations.
* Characterization of the equivalence classes of vacuum representations in the framework of Doplicher-Haag-Robert's algebro-categorical approach to quantum field theory, through inequivalent extensions of the observable algebra induced by the vacuum representations.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.

We aim to answer both general and application-specific questions about quantum symmetries:

* Is it possible to interpret weak (Hopf) bialgebras as (Hopf) bimonoids in some appropriate duoidal categories?
* Is there a duality between groupoids with finitely many objects and cosemisimple pointed weak Hopf algebras?
* How can one define weak (Hopf) bimonoids in duoidal categories -- so that we get a common generalization of weak (Hopf) bialgebras in braided monoidal categories, and of (Hopf) bimonoids in duoidal categories; and the (co)module categories possess the expected monoidal properties?
* Is there some `multiplier weak bialgebra' structure present in any multiplier weak Hopf algebra (in the Van Daele-Wang sense)?
* What should be meant by the base algebras of a multiplier weak bialgebra; and what is their algebraic structure (i.e. a non-unital generalization of separable Frobenius algebra)?
* Are multiplier weak bialgebras capable to describe a duality with (not necessarily finite) categories?
* What are the monoidal properties of the category of appropriate modules over a multiplier weak bialgebra?
* What (monoidal) categories arise as duals to the various notions of quantum symmetry?
* What principles do fix the ambiguity in the choice of the base ring in the reconstruction of quantum symmetries?
* Reconstruction of quantum symmetries and field algebras in quantum field theories in case of non-Haag-dual vacuum representations.
* Characterization of the equivalence classes of vacuum representations in a quantum field theory, through the inequivalent extensions of the observable algebra induced by the vacuum representations.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.

The relevance of our work is justification of the applicability of certain competing notions of quantum symmetry in a wide range of situations:

* Conceptually new interpretations of known structures (e.g. a description of weak bialgebras as (non-weak!) bimonoids, for the price of working in categories with more structure) provide new tools of their study.
* Common generalizations of different structures (e.g. of weak bialgebras in braided monoidal categories and of bimonoids in duoidal categories) make possible their unified treatment.
* New symmetry notions (e.g. generalizations of weak bialgebras without a unit element) allow for new applications (e.g. a duality with not necessarily finite categories).
* Coherence type theorems are to make life easier: they ensure that coherence morphisms are uniquely determined by their domain and codomain. In skew-monoidal categories no strict coherence seems to hold. Proving any of its weakening would make the treatment significantly simpler.
* In many practical situations the symmetry is implicitly given by its category of (co)modules (e.g. in algebraic quantum field theory it arises as the category of appropriate endomorphisms of the local net of observables). Our proposed Tannaka duality theorems should provide tools for re-constructions of this kind.
* In realistic quantum field theories (e.g. in the "standard model" of particle physics) symmetries are spontaneously broken. So their reconstruction is even more fundamental than that in the (better understood) unbroken case.
* Phase classification is a central problem of statistical physics, where our algebro-categorical methods are expected to be powerful.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NKFI in order to inform decision-makers, media, and the taxpayers.

One can witness for several decades the quest for the mathematical notions that are capable to describe the symmetries occurring in various areas of mathematics and physics. (Our group has been taking part actively in this.) The decision between the competing structures is made by their applicability in one or another situation. This raises the following
problems.

* Finding conceptually new interpretations of known structures -- providing new tools of their study. E.g. a description of weak bialgebras as (non-weak!) bimonoids for the price of working in categories with more structure.
* Finding common generalizations of different structures -- making possible their unified treatment. E.g. a common generalization of weak bialgebras in braided monoidal categories and of bimonoids in duoidal categories.
* Seeking for new -- yet more general -- symmetry notions capable to cover new applications. E.g. generalizations of weak bialgebras without a unit element.
* Coherence type theorems are to make life easier: they ensure that coherence morphisms are uniquely determined by their domain and codomain. We investigate what sort of coherence holds in skew-monoidal categories.
* In many practical situations (e.g. in algebraic quantum field theory) the symmetry is only implicitly given by its category of (co)modules. We study reconstruction from these data.
* In realistic quantum field theories (e.g. in the "standard model" of particle physics) symmetries are spontaneously broken. We investigate their reconstruction.
* Phase classification is a central problem of statistical physics, where our algebro-categorical methods are expected to be powerful.





 

Final report

 
Results in Hungarian
* A gyenge bialgebrákat mint egy alkalmas duoidális kategória bimonoidjait írtuk le. Erre alapozva ekvivalenciát igazoltunk a véges sok objektumú kis gupoidok és a pontozott félig koegyszerű gyenge Hopf algebrák között. * Különféle kvantumszimmetriák egyesített leírását adtuk monoidális bikategóriák Hopf monádjaiként. Az antipód létezését bizonyos példákban az alapmonoidál szerkezetével magyaráztuk. * Gyenge (Hopf) bimonoidokat definiáltunk duoidális ketegóriákban. Megmutattuk, hogy a bázisalgebrák szerkezete és az ábrázolások viselkedése analóg a gyenge (Hopf) bialgebrákkal. * Megfogalmaztuk a gyenge szorzó bialgebra axiómáit. Bizonyítottuk a bázisalgebrák félig koegyszerű ko-Frobenius tulajdonságát. A modulusok megfelelő értelemben vett kategóriájáról megmutattuk, hogy monoidális a bázisalgebra fölötti modulus tenzor szorzat révén. * Szorzó bimonoidokat tanulmányoztunk fonott monoidális kategóriákban. * A ferdén monoidális monoidokat, és bialgebroidokal való kapcsolatukat elemeztük. * Egy ferdén monoidális kategória modulus kategóriáját ellátuk egy ferdén monoidális struktúrával. * Algebrai analízisünkkel cáfoltunk egy közkeletű vélekedést a lokális kauzalitás és a kvantumelmélet közötti ellentmondásról. * Kétlépcsős dinamikai modellt alkottunk tetszőleges véges dimenziós kvantummechanikai modellekben végzett szelektív mérések leírására. * A Hubbard-spinláncok szuperszelekciós szektorainak és az ½ spinű XYZ-lánc fázisszerkezetének explicit leírását adtuk.
Results in English
* Weak bialgebras were identified with bimonoids in suitable duoidal categories. Based on it an equivalence was proven between small groupoids of finitely many objects and pointed cosemisimple weak Hopf algebras. * A unified description of various quantum symmetries as Hopf monads in monoidal bicategories was obtained. The existence of antipodes in some examples was explained by the structure of the base monoidale. * Weak (Hopf) bimonoids in duoidal categories were defined. The structure of the base algebras and the behavior of the representations were proven to be analogous to weak (Hopf) bialgebras. * The axioms of weak multiplier bialgebra were formulated. The base algebras were proven to be coseparable co-Frobenius coalgebras. A suitable category of modules was shown to be monoidal via the module tensor product over the base algebra. * Multiplier bimonoids were studied in unspecified braided monoidal categories. * The structure of skew monoidal monoids and their relation to bialgebroids were analyzed. * The category of modules over a skew monoidal category was equipped with a skew monoidal structure. * A commonly believed contradiction between local causality and quantum theory was confuted by an algebraic analysis. * A two-step dynamical model was constructed for selective measurements in arbitrary finite dimensional quantum mechanics. * The superselection sectors in Hubbard chains and the phase structure in the spin 1/2 XYZ chain were explicitly described.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=108384
Decision
Yes





 

List of publications

 
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: Braided multiplier bialgebras, arXiv:1405.4668, 2014
Böhm, Gabriella: Yetter-Drinfeld modules over weak multiplier bialgebras, arXiv:1311.3027, 2013
Böhm, Gabriella: Comodules over weak multiplier bialgebras, Int. J. Math. 25, 1450037 (2014), 2014
Chen, Yuanyuan; Böhm, Gabriella: Weak bimonoids in duoidal categories, J. Pure Appl. Algebra 218 no. 12 (2014), 2240-2273., 2014
Böhm, Gabriella; Gómez-Torrecillas, José; López-Centella, Esperanza: On the category of weak bialgebras, J. Algebra 399 (2014), 801-844., 2014
Böhm, Gabriella; Gómez-Torrecillas, José; López-Centella, Esperanza: Weak multiplier bialgebras, arXiv:1306.1466, 2013
Hofer-Szabó, Gábor; Vecsernyés, Péter: On the concept of Bell's local causality in local classical and quantum theory, arXiv:1407.3610, 2014
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: Multiplier bialgebras in braided monoidal categories, J. Algebra 423 (2015) 853-889, 2015
Böhm, Gabriella: Yetter-Drinfeld modules over weak multiplier bialgebras, arXiv:1311.3027 (Israel J Math in press), 2013
Böhm, Gabriella; Gómez-Torrecillas, José; López-Centella, Esperanza: Weak multiplier bialgebras, Trans. Amer. Math. Soc. (online first; DOI: http://dx.doi.org/10.1090/tran/6308 ), 2015
Hofer-Szabó, Gábor; Vecsernyés, Péter: On the concept of Bell's local causality in local classical and quantum theory, Journal of Mathematical Physics, 2014
Szlachanyi, Kornel: Skew monoidal monoids, arXiv:1501.00675 (Comm. Algebra in press), 2015
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: Hopf comonads on naturally Frobenius map-monoidales, arXiv:1411.5788, 2014
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: A category of multiplier bimonoids, arXiv:1509.07171, 2015
Böhm, Gabriella: Yetter-Drinfeld modules over weak multiplier bialgebras, Israel J. Math. 209 no. 1 (2015), 85-123., 2015
Böhm, Gabriella; Gómez-Torrecillas, José; López-Centella, Esperanza: Weak multiplier bialgebras, Trans. Amer. Math. Soc. 367 (2015), no. 12, 8681-8721, 2015
Szlachanyi, Kornel: Skew monoidal monoids, Comm. Algebra 44 (2016) no. 6, 2368-2388., 2016
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: Hopf comonads on naturally Frobenius map-monoidales, J. Pure Appl. Algebra 220 no. 6 (2016), 2177-2213., 2016
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: A category of multiplier bimonoids, Appl Categor Struct (2016). doi:10.1007/s10485-016-9429-z, 2016
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: Multiplier Hopf monoids, Algebr Represent Theor (2016). doi:10.1007/s10468-016-9630-7, 2016
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: A simplicial approach to multiplier bimonoids, arXiv:1512.01259 (Bull. Belgian Math. Soc. in press), 2015
Böhm, Gabriella; Gómez-Torrecillas, José; Lack, Stephen: Weak multiplier bimonoids, arXiv:1603.05702, 2016
Szlachányi, Kornél: On the tensor product of modules over skew monoidal actegories, J. Pure Appl. Algebra 221 (2017) , 185–221. doi:10.1016/j.jpaa.2016.06.003, 2017
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: Multiplier Hopf monoids, Algebr. Represent. Theory 20 no. 1 (2017), 1-46., 2017
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: A simplicial approach to multiplier bimonoids, Bull. Belgian Math. Soc. Simon Stevin 24 (2017), 107-122., 2017
Böhm, Gabriella; Gómez-Torrecillas, José; Lack, Stephen: Weak multiplier bimonoids, Appl. Categ. Structures, in press (first online), 2017
Péter Vecsernyés: An effective toy model in M_n(C) for selective measurements in quantum mechanics, arXiv:1707.09821, 2017
Hofer-Szabó, Gábor; Vecsernyés, Péter: On the concept of Bell's local causality in local classical and quantum theory, Journal of Mathematical Physics 56 (2015) 032303, 2015
Böhm, Gabriella; Lack, Stephen: A category of multiplier bimonoids, Appl Categor Struct 25 no. 2 (2017) 279-301., 2017
Hofer-Szabó, Gábor; Vecsernyés, Péter: A generalized definition of Bell’s local causality, Synthese, 193 (2016) 3195-3207, 2016
Péter Vecsernyés: An effective toy model in M_n(C) for selective measurements in quantum mechanics, J Math Phys 58 (2017) 102109., 2017
Böhm, Gabriella: Hopf polyads, Hopf categories and Hopf group monoids viewed as Hopf monads, Theory Appl Categ 32 no. 37 (2017) 1229-1257., 2017
Hofer-Szabó, Gábor; Vecsernyés, Péter: Quantum Theory and Local Causality, ISBN 978-3-319-73932-8, Springer, 2018., 2018




Back »