Development of mechanical models for the interlaminar fracture and vibration analysis of delaminated composite and sandwich plates  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
108414
Type K
Principal investigator Szekrényes, András
Title in Hungarian Mechanikai modellek fejlesztése delaminált kompozit és szendvicslemezek rétegszétválási és rezgési viselkedésének leírására
Title in English Development of mechanical models for the interlaminar fracture and vibration analysis of delaminated composite and sandwich plates
Keywords in Hungarian rétegelt kompozit lemez, sandwich lemez, lemezelmélet, rétegközi szilárdság, törési teszt, J-integrál, frekvencia analízis
Keywords in English laminated composite plate, sandwich plate, plate theory, interlaminar fracture toughness, fracture test, J-integral, frequency analysis
Discipline
Technical Mechanics (Council of Physical Sciences)90 %
Material Science and Technology (physics) (Council of Physical Sciences)10 %
Ortelius classification: Polymer technology
Panel Engineering, Metallurgy, Architecture and Transport Sciences
Department or equivalent Department of Applied Mechanics (Budapest University of Technology and Economics)
Starting date 2013-09-01
Closing date 2017-12-31
Funding (in million HUF) 7.100
FTE (full time equivalent) 2.82
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.

A kompozit anyagok III-as módusú rétegközi szilárdságának mérésére lemez alakú delaminált próbatesteket alkalmaznak. A próbatest geometriájából adódóan a kísérleti adatok feldolgozásához 3D-s végeselem modellre van szükség. A végeselemes adatkiértékelő modellek és módszerek igen hosszadalmasak, és utóbbira általában nincsenek beépített parancsok a végeselem szoftverekben. A kutatás fő célja analitikus megoldások levezetése delaminált kompozit és sandwich lemezekre lemezelméletek felhasználásával. Az analitikus modellek előre elkészített Maple fájlokon keresztül alkalmasak lennének törésmechanikai kísérletek eredményeinek feldolgozására és a repedésfeszítő erő repedési front mentén való eloszlásának számítására viszonylag gyorsan. A modellek alapja egy új kinematikai feltételrendszer lemezelméleteken belüli alkalmazása lenne. A feltételrendszer segítségével megoldható a delaminált és nem delaminált lemezrészek kinematikailag folytonos illesztése. A feltételrendszer alkalmazásával a delaminált kompozit és sandwich lemezek pontosított rezgésanalízise is elvégezhető, illetve egy új végeselem típus is kifejleszthető. A kutatásnak kísérleti oldala is lenne. A kompozit és sandwich lemezek III-as módusú rétegközi törésének vizsgálatára négyféle próbatest típus létezik. A szakirodalom jelentős hiányossága, hogy nincs olyan publikáció, amely a különböző tesztek eredményeit azonos típusú kompozit anyagra közölné. Ez a hiányosság megoldható lenne, ha a különböző tesztek eredményeit egyazon anyagra végeznénk el. A négy teszt közül kettőt a Műszaki Mechanikai Tanszék laboratóriumában is el lehet végezni. A kutatáshoz szükség van a másik két teszt előkészítésére és elvégzésére is.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.

A delaminált kompozit és sandwich lemezeknél a nem delaminált részen a delamináció síkjával párhuzamosan a lemezt két részre lehet osztani. A két lemez között biztosítani kell a megfelelő kinematikai kapcsolatot. A szakirodalomban elérhető modellek csak két feltételt írnak fel a síkbeli elmozdulások illesztésére, így rossz eredményt adnak. Ennek a problémának a megoldására egy új koncepciónk van, melynek lényege, hogy négy feltételt adunk meg a síkbeli elmozdulásokra. Két feltétel szükséges a síkbeli elmozdulások illesztésére és további kettő a semleges sík definiálására. Ez az un. egzakt feltételrendszer lehetővé teszi egy pontos rugalmasságtani modell kifejlesztését. Analitikus megoldások az említett lemez alakú kompozit próbatestekre még nem születtek, a J-integrált egzakt módon lemezek esetén még nem definiálták. A feltételrendszer alkalmazásával delaminált lemezek és rudak dinamikai modelljei is pontosíthatók, új végeselem típus is kifejleszthető. A delamináció miatt a lemezben, rúdban a transzverzális gerjesztés hatására longitudinális hullám is megjelenik. Feltételezhető, hogy ennek hatása van a transzverzális rezgés frekvenciáira is. Rétegelt kompozit lemezeken, rudakon a különböző teszteket egyazon anyagra tervezzük elvégezni. Feltételezhető, hogy a III-as módusú kritikus repedésfeszítő erő egy anyagjellemző, így a teszt típusától független paraméter. Négy különböző, de egyaránt III-as módusú próbatesteken végzett kísérlet alapján megállapítható lenne, hogy melyik az a teszt, amelynek eredménye nem fogadható el, melyik teszt a legegyszerűbb, és főleg, melyik teszt lenne javasolható arra, hogy szabványosítva legyen.

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!

Feltételezhető, hogy a delaminált kompozit és sandwich lemezek esetén a másod- és harmadrendű elméletek jóval pontosabb eredményt adnak a Kirchhoff és Reissner-Mindlin elméletekhez képest a repedésfeszítő erőre. A kutatás során levezetésre kerülnének a lemezelméleti egyenletek, amelyek figyelembe veszik a delaminált lemezrendszer kinematikailag folytonos illesztését. A J-integrál alapján meghatározásra kerülne a II-es és III-as módusú repedésfeszítő erő eloszlása a repedési front mentén delaminált lemezekben. Mindez többféle elmélet és többféle mintafeladat alapján is elvégzésre kerülne és a kapott eredményeket végeselem modell eredményeivel hasonlítanánk össze. A szakirodalomban elérhető III-as és II/III-as módusú törésmechanikai rendszerekhez egy előre elkészített Maple fájlt készítenénk, amely a bemeneti adatok alapján képes kiszámítani a II-es és III-as módusú repedésfeszítő erők és a módusok arányának eloszlását. A Maple fájlok egy tanszéki honlapon is elérhetők lennének, azokat bárki használhatná a kísérletek kiértékelésére. A kinematikai feltételrendszer alapján kifejlesztendő dinamikai modellek alapján lehetővé válna a delaminált rudak, lemezek pontosabb mechanikai modellezésére. Az eddigi modellek nem veszik figyelembe a transzverzális és longitudinális rezgés kölcsönhatását. Az új feltételrendszer ezt is lehetővé tenné és bizonyítást nyerne, hogy ez a hatás fontos. Továbbá kimutatható lenne, hogy a rezgés közbeni kihajlás, horpadás szintén a longitudinális hullám, illetve normálerők miatt jelenik meg. A kinematikai feltételrendszer és az analitikus számítások alapján egy új síkhéj típusú végeselemet lehetne kifejleszteni, amely lehetővé tenné a J-integrál meghatározását delaminált lemezekben, héjakban, így sokkal egyszerűbben és gyorsabban lehetne törésmechanikai számításokat végezni nagyméretű modellekben. A III-as módusú repedésfeszítő erő kísérletileg való meghatározása és az eredmények publikálása egyfajta űrt töltene be a jelenlegi szakirodalomban, hiszen ilyen tanulmányt még senki sem jelentetett meg. A többféle próbatesten és teszt alapján elvégzett kísérletek bizonyítanák, hogy a III-as módusú repedésfeszítő erő valóban anyagi állandó, vagy pedig nyilvánvalóvá válna, hogy nem tekinthető annak.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média illetve az adófizetők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI számára.

A rétegelt kompozit lemezek egyik tönkremeneteli módja a rétegek szétválása, más néven delamináció. A rétegek szétválásával szembeni ellenállás egy anyagtulajdonság, amit kísérletileg lehet meghatározni. A kísérletek elvégzésére többféle rendszer áll rendelkezésre. Kompozit lemezek esetén a kísérleti adatok feldolgozását szoftverekkel végzik el. A kísérletek speciális jellege miatt a legtöbb szoftver alkalmazása igen hosszadalmas, közvetlen parancsok legtöbbször nem érhetők el. A kutatás célja olyan mechanikai lemezmodellek kifejlesztése, amelyek a szoftverekhez képest bizonyos esetekben képesek gyorsabban és egyszerűbben kiértékelni egy-egy mérés eredményét. A kiértékelő modelleket a Maple nevű matematikai szoftver segítségével lehetne futtatni. A megírt program a bemeneti adatok (terhelés, geometria, anyagtulajdonságok) alapján képes lenne kiértékelni a mérési adatokat. A modellek alapja egy új feltételrendszer alkalmazása lenne, melynek célja a delaminált kompozit és sandwich lemezek pontosabb mechanikai modellezése. Ugyanezen feltételrendszer alkalmazásával a delaminált kompozit és sandwich lemezek pontosított rezgéseit is vizsgálni tervezzük. A kutatásnak kísérleti oldala is lenne. A rétegközi töréssel szembeni ellenállás mérésére jelenleg négy rendszer is elérhető. A szakirodalom jelentős hiányossága, hogy nincs olyan publikáció, amely a különböző tesztek eredményeit azonos típusú kompozit anyagra közölné. Ez a hiányosság megoldható lenne, ha a különböző teszteket egyazon anyagra végeznénk el. A négy teszt közül kettőt a Műszaki Mechanikai Tanszék laboratóriumában is el lehet végezni. A kutatáshoz szükség van a másik két teszt elvégzésére is.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.

For the measurement of the mode-III interlaminar toughness of composites plate specimens are applied. Because of the geometry of the specimen a 3D finite element model is required for the data reduction. The finite element data evaluation is very lengthy, and there are no built-in commands in the softwares. The main aim of the research is to develop analytical solutions for delaminated composite and sandwich plates using different plate theories. The analytical models would be available as prepared Maple worksheets and would be suitable for the evaluation fracture mechanical tests and for the determination of the distribution of energy release rates along the delamination front in a fast way. The basic concept of the models would be a novel system of kinematic conditions within plate theories. Using this system of conditions it would be possible to model the kinematic continuity between the delaminated and undelaminated plate portions. The system of conditions would be applicable to the improved vibration analysis of delaminated composite and sandwich plates, moreover a novel finite element type could be developed. There would be experimental aspects too. There are four tests available for the determination of the mode-III interlaminar fracture of composite and sandwich plates. A significant deficiency of the literature that there is not a single publication that presents the results of different tests for the same material. This problem could be solved by performing the different tests for the same composite. Two of the four tests can be carried out at the laboratory of Department of Applied Mechanics For the current research the two other tests would be necessary too.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.

In delaminated composite and sandwich plates the undelaminated portion can be divided into two parts parallel to the delamination. Between the two portions we need to ensure the kinematic continuity. The models available in the literature impose only two conditions fo the in-plane displacements, therefore they lead to erroneous results. To solve this problem we have a new concept, of which main idea is to impose four conditions for the in-plane displacements. Two conditions are required for the continuous displacement field and two other to define the neutral plane. This so-called exact system of kinematic conditions makes it possible to develop an improved elasticity model. There are no analytical solutions for the mentioned plate specimens, the J-integral has not yet been defined in exact way for plates. By using the system of conditions it would be possible to improve the dynamic models of delaminated plates and beams, moreover a novel finite element type could be developed. During the transversely excited vibration of delaminated plates and beams longitudinal waves take place. It can be assumed that it has an influence on the transverse vibration frequencies. We plan to conduct the different fracture tests on composite plates and beams with the same material. It can be assumed that the mode-III fracture toughness is a material property, and so a parameter that is independent of the test. Based on four different mode-III tests it would be possible to elaborate that which test provides unacceptable result, which one is the simplest, which one is the fastest and mainly which one could be recommended to be the candidate for a possible standardization.

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.

It can be assumed that in the case of delaminated composite and sandwich plates the second and third order plate theories provide more accurate results for the energy release rate compared to the Kirchhoff and Reissner-Mindlin theories. During the research we would derive the governing equations of plates considering the continuity conditions of a double-plate system. Based on the J-integral we would determine the distribution of the mode-II and mode-III energy release rates along the delamination front of delaminated plates. This problem would be solved based on different plate theories and several sample problems, the obtained results would be compared to the results by finite element calculations. For the mode-III and mixed-mode II/III fracture systems available in the literature we would prepare Maple worksheets, which would calculate the distribution of mode-II and mode-III energy release rates and the mode ratio based on the input data. The Maple files would be available at the website of Department of Applied Mechanics and could be used by anyone for data evaluation. Using the dynamic models developed based on the kinematic conditions it would be possible to model the free vibration of delaminated beams and plates with higher accuracy. The previous models do not account for the interaction between the transverse and longitudinal vibrations. The system of conditions would make it possible to prove that this effect is significant. Moreover, it could be shown that the buckling during the vibration is caused by the longitudinal wave and the presence of normal forces. Utilizing the system of kinematic conditions and the analytical result it would be possible to develop a novel flat shell element that would make it possible to calculate the J-integral in delaminated plates, shells, and so to carry out fast fracture mechanical calculations in models with large dimensions. The determination of the mode-III fracture toughness would complement the literature, since the planned study has not yet been done by anyone. The experiments performed on different specimens and tests would be able to prove if the mode-III toughness is really a material property or it would be clarified that it cannot be, as well.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NKFI in order to inform decision-makers, media, and the taxpayers.

One of the primary damage modes in laminated composite materials is the interlaminar fracture or delamination. The resistance against delamination is a material property that can be determined experimentally. To perform the experiments there are several test methods available. In the case of composite plates the data evaluation is made by softwares. Because of the special nature of the experiments the application of most of the softwares is lengthy, there are no direct commands available. The aim of the research is to develop mechanical plate models that are able to evaluate the results of experiments more rapidly compared to the softwares. The evaluation models could be used by the code Maple. Based on the input data (load, geometry, material properties) the worksheet would be able to evaluate the experimental data. The concept of the models would be the application of a novel system of conditions, which addresses the improved mechanical modelling of delaminated composite and sandwich plates. Based on the same system of conditions we plan to carry out the improved free vibration analysis of delaminated composite and sandwich plates. There would be experimental aspects too. For the measurement of resistance against interlaminar fracture there are four tests. A significant deficiency of the literature is that there is not a single publication that provides experimental results by different tests for the same material. This deficiency could be eliminated by conducting different tests for the same material. Two of the four tests can be performed at the laboratory of Department of Applied Mechanics. For the current research it is also required to carry out the other two ones.





 

Final report

 
Results in Hungarian
Alkalmazásra került az első-, másod- és harmadrendű lemezelmélet delaminált kompozit lemezek modellezésére. Bevezetésre került az egzakt kinematikai feltételrendszer, az un. multiplikátor mátrix, az elmozdulásmező elsődleges és másodlagos paraméterei, illetve az autokontinuitás tétele. Kifejlesztettük a két és négy darab egyenértékű réteg módszerét a delaminált lemezek modellezésére. Meghatároztuk a J-integrál zárt alakú képletét és azt szétválasztottuk egy II-es és III-as módusú komponensre. A modelleket alkalmaztuk szendvics lemezekre is. Kimutattuk, hogy a delaminált rudak és lemezek szabadrezgésekor a delaminált részen a normál igénybevétel periodikus változása következtében paraméteres gerjesztés jelenik meg és ez okozza a rezgés közbeni dinamikus kihajlást. Meghatároztuk a jelenséghez tartozó stabilitási diagramokat, illetve az eddigi helytelen modellekhez képest megrajzoltuk és animáltuk az első és magasabb módusokhoz tartozó lengésképeket. Delaminált rudak esetén kísérleteket is végeztünk, az első rezgési módusról videót is készítettünk. Végül megmutattuk a delamináció kihajlása következtében kialakuló fázissík-portrékat. A delaminált rudak és lemezek kihajlásának vizsgálatára egy olyan modell fejlesztettünk, ki, amely a delamináció lokális kihajlását is figyelembe veszi. A modellt kísérletekkel is alátámasztottuk. A delaminált rudak dinamikus stabilitását jellemző diagramot meghatároztuk a Ljapunov exponens alapján különböző esetekre.
Results in English
We applied the first-, second- and third-order plate theories to model delaminated composite plates. We introduced the system of exact kinematic conditions, the so-called multiplicator matrix, the primary and secondary parameters of the displacement field and the theorem of autocontinuity. We developed the method of two and four equivalent single layers to model the delaminated plates. We determined the closed form equation of the J-integral and separated into mode-II and mode-III components. We showed that in the course of free vibration of delaminated beams and plates because of the periodic change of normal forces there exists parametric excitation and that is the reason for dynamic buckling during vibration. We determined the stability diagrams related to this phenomenon, moreover we plotted and animated the related physically consistent mode shapes (in contrast with the inconsistent ones in the literature). We carried out some experiments using delaminated beams, we created a video on the first vibration mode, as well. Finally, we showed the resulting phase-plane portraits due to the dynamic delamination buckling. We developed a model for the static buckling analysis of beams and plates that takes the local buckling of delamination into account. The model was justified by experiments as well. We determined the stability diagrams related to the dynamic stability of delaminated beams by using the Lyapunov exponent for different cases.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=108414
Decision
Yes





 

List of publications

 
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Buckling analysis of a simply supported rectangular orthotropic composite plate with delamination, International Conference on Shells, Plates and Beams (SPB2015), Bologna, ITALY 9-11 September, 2015
Szekrényes András: Vibration and parametric instability analysis of delaminated composite beams, World Academy of Science, Engineering and Technology, Vol:10, No:7, pp 781-788, 2016
Szekrényes András: Stress and fracture analysis in delaminated orthotropic composite plates using third-order shear deformation theory, APPL MATH MODEL 38: 3897-3916, 2014
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Progressive buckling of a simply supported delaminated orthotropic rectangular composite plate, INT J SOLIDS STRUCT 69-70: 217-229, 2015
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Estimation of local delamination buckling in orthotropic composite plates using Kirchhoff plate finite elements, MATH PROBL ENG : 1-14, 2015
Szekrényes András: Natural vibration-induced parametric excitation in delaminated Kirchhoff plates, J COMPOS MATER ?: 1-28, 2016
Szekrényes András: Semi-layerwise analysis of laminated plates with nonsingular delamination-The theorem of autocontinuity, APPL MATH MODEL ?: 1-28, 2016
Szekrényes András: Nonsingular crack modelling in orthotropic plates by four equivalent single layers, EUR J MECH A-SOLID 55: 73-99, 2016
Szekrényes András: Antiplane–inplane shear mode delamination between two second-order shear deformable composite plates, MATH MECH SOLIDS ?: 1-24, 2016
Szekrényes András: Antiplane-inplane shear mode delamination between two second-order shear deformable composite plates, Mathematics and Mecahnics of Solids (benyújtva), 2015
Szekrényes András: Semi-layerwise analysis of laminated plates with nonsingular delamination - The theorem of autocontinuity, Applied Mathematical Modelling (benyújtva), 2015
Szekrényes András: Bending solution of third-order orthotropic Reddy plates with asymmetric interfacial crack, INT J SOLIDS STRUCT 51: 2598-2619, 2014
Szekrényes András: A special case of parametrically excited systems: free vibration of delaminated composite beams, EUR J MECH A-SOLID 49: 82-105, 2015
Szekrényes András: Coupled flexural-longitudinal vibration of delaminated composite beams with local stability analysis, J SOUND VIB 333: (20) 5141-5164, 2014
Szekrényes András: Analytical solution of some delamination scenarios in thick structural sandwich plates, J SANDW STRUCT MATER :, 2018
Juhasz Z, Szekrenyes A: The effect of delamination on the critical buckling force of composite plates: Experiment and simulation, COMPOS STRUCT 168: 456-464, 2017
Juhász Zoltán, Turcsán Tamás, Tóth Tamás Bence, Szekrényes András: Sensitivity analysis for frequency based prediction of crack size in composite plates with through-the-width delamination, INT J DAMAGE MECH, 2017
Pölöskei Tamás, Szekrényes András: Effect of additional inertia on the dynamic stability of delaminated composite beams, In: Francesco Tornabene (szerk.) (szerk.) 20TH INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPOSITE STRUCTURES: PROCEEDINGS. Società Editrice Esculapio, 2017. pp. 13-14., 2017
Szekrényes András: Semi-layerwise analysis of delaminated composite and sandwich plates, Bologna: Società Editrice Esculapio, 1 p. (3rd International Conference on Mechanics of Composites), 2017
Szekrényes András: Antiplane–inplane shear mode delamination between two second-order shear deformable composite plates, MATH MECH SOLIDS 22: (3) 259-282, 2017
Szekrényes András: Nonsingular delamination modelling in orthotropic composite plates by semi-layerwise analysis, 129 p., 2017
Pölöskei Tamás, Szekrényes András: Quasi-periodic excitation in a delaminated composite beam, COMPOS STRUCT 159: 677-688, 2017
Szekrényes András: Natural vibration-induced parametric excitation in delaminated Kirchhoff plates, J COMPOS MATER 50(17): 2337-2364, 2016
Szekrényes András: Semi-layerwise analysis of laminated plates with nonsingular delamination-The theorem of autocontinuity, APPL MATH MODEL 40(2): 1344-1371, 2016
Szekrényes András: Nonsingular crack modelling in orthotropic plates by four equivalent single layers, EUR J MECH A-SOLID 55: 73-99, 2016
Szekrényes András: Vibration and parametric instability analysis of delaminated composite beams, INT J CHEM MOL NUCL MAT METAL ENG 10: (7) 821-828, 2016
Szekrényes András: A special case of parametrically excited systems: free vibration of delaminated composite beams, EUR J MECH A-SOLID 49: 82-105, 2015
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Progressive buckling of a simply supported delaminated orthotropic rectangular composite plate, INT J SOLIDS STRUCT 69-70: 217-229, 2015
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Estimation of local delamination buckling in orthotropic composite plates using Kirchhoff plate finite elements, MATH PROBL ENG : 1-14, 2015
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Vékonyfalú delaminált rétegelt lemez dinamikus stabilitása nemkonzervatív terhelésre, In: Baksa Attila, Bertóti Edgár, Szirbik Sándor (szerk.) (szerk.) XII. Magyar Mechanikai Konferencia. Miskolc: Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Műszaki Mechanikai Intézet, 2015. pp. ., 2015
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Buckling analysis of a simply supported rectangular orthotropic composite plate with delamination, In: Antonio J M Ferreira, Erasmo Viola, Francesco Tornabene (szerk.) (szerk.) SPB 2015 International Conference of Shells Plates and Beams. Bologna: Società Editrice Esculapio, 2015. pp. .
SPB2015, 2015
Juhász Zoltán, Szekrényes András: Repedést tartalmazó rétegelt kompozit lemez kihajlásvizsgálata végeselemes módszerrel, In: Doktoranduszok Országos Szövetsége Tavaszi szél: absztraktkötet 2015. Budapest: Publio Kiadó, 2015. pp. 329-330., 2015
Szekrényes András: Stress and fracture analysis in delaminated orthotropic composite plates using third-order shear deformation theory, APPL MATH MODEL 38: 3897-3916, 2014




Back »