Geometry of Manifolds  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
112703
Type K
Principal investigator Csikós, Balázs
Title in Hungarian A sokaságok geometriája
Title in English Geometry of Manifolds
Keywords in Hungarian Riemann-sokaság, Lorentz-sokaság, komplex és Kähler sokaságok, izometrikus csoporthatás, geometriai egyenlőtlenségek, geometriai kvantálás, leszámlálási problémák
Keywords in English Riemann manifold, Lorentz manifold, complex and Kähler manifolds, isometric group actions, geometric inequalities, geometric quantization, enumeration problems
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Geometry
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Geometry (Eötvös Loránd University)
Participants Fehér, László
Horváth, Márton
Szeghy, Dávid
Szőke, Róbert
Starting date 2014-09-01
Closing date 2018-08-31
Funding (in million HUF) 12.780
FTE (full time equivalent) 11.70
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.

A projekt célja különféle kérdések vizsgálata a Riemann- és Lorentz-geometriában, valamint módszerek kidolgozása geometriai leszámlálási problémák megoldására a valós számtest felett.

Vizsgálni fogjuk a Kneser-Poulsen-sejtést és különböző általánosításait állandó görbületű terekben. Eközben jól használható formulákat keresünk időben változó alakú tartományok térfogata első és második variációjának kiszámolására. Az ilyen formulák alapvető szerepet kaphatnak különböző geometriai optimalizálási problémák megoldásában is.

A harmonikus tereket intenzíven vizsgálják a Riemann-geometriában, elsősorban a Lichnerowicz-sejtés kapcsán. Korábbi vizsgálatainkból kiderült, hogy a harmonikus terek jellemezhetők a geodetikus gömbök metszeteinek térfogatára vonatkozó homogenitási feltétellel. Tervezzük egy ezzel rokon, G. Thorbergsson által felvetett karakterizációját belátni harmonikus tereknek.

A Riemann-sokaságok érintőnyalábján a nullszelés környezetében bevezethető adaptált komplex struktúra (aks) érdekes kapcsolatot teremt a Riemann-geometria és a komplex, illetve Kähler-geometria között. Vizsgálni fogjuk, milyen feltételek mellet definiálható az aks az egész érintőnyalábon. Tanulmányozzuk annak a Hilbert-tér-mezőnek a geometriai tulajdonságait, melyet az érintőnyaláb különböző természetes Kähler-struktúrák segítségével történő geometriai kvantálásával kapunk.

A valós és komplex Grassmann-sokaságok kohomológiái közti kapcsolat megértésével új eszközöket akarunk megadni Schubert-típusú leszámlálási problémák megoldására.

Tanulmányozni fogjuk izometrikus csoporthatások orbitstruktúráját pseudo-Riemann sokaságokon.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.

A kutatás kiindulópontjául szolgáló legfontosabb alapkérdések a következők:

- Igaz-e a Kneser-Poulsen-sejtés az állandó görbületű terekben?
- Igaz-e, hogy egy Riemann-sokaság pontosan akkor harmonikus, ha egy görbe körüli vékony cső térfogata csak a görbe hosszától és a cső sugarától függ?
- Hogyan függ egy Riemann-sokaság fázisterének Kostant-Souriau-féle geometriai kvantálásával kapott Hermite-féle holomorf vonalnyaláb holomorf L_2-szeléseinek Hilbert-tere a fázistéren választott Kähler-struktúrától? Mit mondhatunk szimmetrikus terek esetén?
- Hogyan adhatók a valós test feletti geometriai leszámlálási problémákra alsó becslések?
- Hogyan terjeszthetők ki a principális orbittípusról szóló tételek izometrikus Lie-csoport hatásokra pszeudo-Riemann-sokaságokon?

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!

Mivel alapkutatásról van szó, elsődleges hatása a matematikán belül várható, az eredmények gyakorlati hasznosulása az alkalmazott tudományok közvetítésével várható.

A Kneser-Poulsen-sejtés már 60 éve megoldatlan, bármilyen előrelépés vele kapcsolatban rendkívül izgalmas lenne. Ugyanakkor a vele kapcsolatban elért eredmények önmagukban is érdekesek és mármár fontosabbak az alkalmazások szempontjából, mint az, hogy a sejtés igaz-e vagy sem. Újabb térfogatvariációs képletek kidolgozásával jól használható eszközhöz jutnánk geometriai szélsőértékproblémák megoldására.

Az adaptált komplex struktúrákra irányuló kutatás eddig is sok szép kapcsolatra világított rá a Riemann-geometria, a komplex és Kähler-geometria, a szimmetrikus terek elmélet és a geometriai kvantálás között. Ahol ennyi témakör fonódik össze, ott mindig jelentős eredményekre lehet számítani.

A geometriai leszámlálási problémák a valós test felett lényegesen bonyolultabbak, mint a komplex test felett. A tervezett kutatások fontos módszerekkel gazdagíthatják ezt a területet.

Egy izometrikus csoporthatás orbitstrukúrája fontos információt hordoz a tér és a hatás geometriájáról, ezért fontos az orbitstruktúrára vonatkozó alaptételek feltárása.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média illetve az adófizetők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI számára.

A 60 éve megoldatlan Kneser-Poulsen-sejtés kapcsán a kutatócsoport tagjai komoly előrelépéseket tettek. Több olyan formulát találtak, mely elegáns kifejezést ad arra, hogyan változik meg egy gömbökből képzett tartomány térfogata, ha a gömböket kicsit elmozgatjuk. Ezek a képletek jól használhatók geometriai optimalizációs feladatok megoldására is. Célunk további térfogatvariációs formulák keresése. Vizsgálni kívánjuk a kapcsolatot a geodetikus göbökre vonatkozó térfogati feltételek és a tér görbületi tulajdonságai között.

Az adaptált komplex struktúrákra irányuló kutatás egy jelentős része kvantálással foglalkozik. A geometriai kvantálás célja, hogy minden klasszikus mechanikai rendszerhez társítson egy kvantummechanikai rendszert. A hozzárendelés általában nem egyértelmű, néha kvantumrendszerek egy egész seregéhez vezet. A kutatás célja annak megértése, hogy egy konkrét esetben a kapott kvantummechanikai rendszerek mennyire különböznek egymástól.

Tudjuk, hogy azon egyenesek lehetséges száma, melyek metszenek négy általános helyzetű egyenest a térben, 2, 1, vagy 0. Az ehhez hasonló leszámlálási kérdések magasabb dimenziókban nehezek, megválaszolásukhoz általában mély matematikai módszerekre van szükség. Célunk ennek az eszköztárnak a gazdagítása új topologikus módszerekkel.

Vizsgáljuk azt is, hogy milyen információ kapható egy görbült tér vagy téridő geometriai szerkezetéről, ha ismerjük a tér szimmetriáinak csoportját, vagy a teljes szimmetriacsoport egy részcsoportját.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.

The goal of the project is to study various questions in Riemannian and Lorentzian geometry, to develop methods for solving geometric enumeration problems over the real field.

We will study the Kneser-Poulsen conjecture and its different generalizations in spaces of constant curvature. We focus on finding appropriate formulae for the first and second variations of the volume of regions changing their shape in time. Such formulae may play fundamental role in the solution of geometric optimization problems as well.

Harmonic spaces are intensively studied in Riemannian geometry mainly in connection with the Lichnerowicz conjecture. Our earlier results revealed that harmonic spaces can be characterized by a homogeneity condition on the volumes of the intersections of geodesic ball. We plan to show another similar characterization of harmonic spaces suggested to us by G. Thorbergsson.

The adapted complex structure (acs) on the tangent bundle of a Riemannian manifold establishes an interesting connection between Riemannian geometry and complex and Kähler geometry. We will study under which condition the acs is globally defined on the tangent bundle. We investigate the geometric properties of the field of Hilbert spaces obtained by geometric quantization of the tangent bundle with the help of a family of natural Kähler structures on it.

Understanding the connection between the cohomology of real and complex Grassmanians we want to produce new tools for the solution of Schubert-type enumeration problems.

We are going to investigate the orbit structure of isometric Lie group actions on pseudo-Riemannian manifolds.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.

The most important questions that stimulate our research are the following.

- Is the Kneser-Poulsen conjecture true in spaces of constant curvature?
- Is it true that a Riemann manifold is harmonic if and only if the volume of a narrow tube around a curve depends only on the length of the curve and the radius of the tube?
- How does the Hilbert space of holomorphic L_2 sections of the Hermitian holomorphic line bundle obtained as the result of the Kostant-Souriau geometric quantization of the phase space of a Riemannian manifold depend on the choice of the Kähler structure on the phase space? What can we say in the case of symmetric spaces?
- How can we find lower bounds for geometric enumeration problems over the real field?
- How can we extend principal orbit type theorems for isometric (local) Lie group actions on pseudo-Riemannian manifolds?

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.

Being a fundamental research, its primary impact is expected inside mathematics. Its practical use is expected only through the mediation of applied sciences in the long run.

The Kneser-Poulsen conjecture has been open for 60 years. Any progress in connection with it would be extremely exciting. At the same time, the results collected for the proof of the conjecture are interesting in themselves and sometimes they seem to be more important for applications than the question whether the conjecture is true or not. Producing further volume variation formulae would provide useful tools for the solution of extremal problems in geometry.

Research on adapted complex structures discovered many nice connections between Riemannian geometry, complex and Kähler geometry, the theory of symmetric spaces and geometric quantization. At the meeting point of so many areas we can always expect some significant results coming up.

Geometric enumerative problems are much harder to solve over the real field than over the complex field. The planned research aims at enriching this area with new techniques.

The orbit structure of an isometric group action carries important information on the geometry of the space and the action, thus it is crucial to explore the fundamental theorems on the orbit structure.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NKFI in order to inform decision-makers, media, and the taxpayers.

In connection with the Kneser-Poulsen conjecture, unsolved for 60 years, members of the team made substantial progress. They found several formulae for the change of the volume of a region made of balls as the balls are slightly moved. These formulae are useful in geometric optimization problems as well. Our aim is to find further volume variation formulae. We want to study the relation between volume conditions on geodesic balls and curvature properties of the space.

A substantial part of our research on adapted complex structures is about quantization. The goal of geometric quantization is to assign to each classical mechanical system a quantum mechanical one. The assignment is not one to one, sometimes leads to a bunch of quantum mechanical systems. Our aim is to understand in a concrete situation how much the obtained quantum mechanical systems differ from one another.

We know that the possible number of straight lines intersecting four straight lines in general position in space is 2,1, or 0. Similar enumeration problems become hard in higher dimensions and usually require deep mathematical tools to answer. We plan to develop new topological methods for the solution of such problems.

We want also to study what we can say about the structure of a curved space or space-time if we know its symmetry group or a subgroup of its full symmetry group.





 

Final report

 
Results in Hungarian
Lényeges előrelépéseket tettünk az alábbi témakörökben: -- harmonikus sokaságok jellemzései a görbék körüli csövek geometriai invariánsai segítségével (Csikós Balázs, Horváth Márton); -- Kneser-Poulsen típusú egyenlőtlenségek bizonyítása állandó görbületű síkokon (Csikós Balázs, Horváth Márton); -- nagy kongruens gömbök Boole-kifejezései térfogatának aszimptotikus viselkedésének leírása (Csikós Balázs); -- diffeomorfizmuscsoportok Jordan-tulajdonságának vizsgálata (Csikós Balázs); -- mátrix Schubert-varietások ekvivariáns Chern-Schwartz-MacPherson-osztályainak kiszámolása, és a számolás kiterjesztése motivikus Chern-osztályokra (Fehér László); -- Erdős-Heilbronn-típusú problémák megoldása (Fehér László); -- a téridő horizontok differenciálhatósági tulajdonságainak vizsgálata (Szeghy Dávid); --affin csoporthatásokra a normalizálható orbitok uniója határának leírása (Szeghy Dávid); -- a geometriai kvantálás egyértelműségi problémája kompakt Riemann szimmetrikus terek esetén, a fázistéren az adaptált komplex struktúrák családját felhasználva(Szőke Róbert); -- természetes (nem ekvivalens) sima Hilbert nyaláb struktúrák konstrukciója a geometriai kvantálással kapott előkvantum Hilbert terek alkotta Hilbert mezőn (Szőke Róbert).
Results in English
Essential progress was made in the folowing areas: -- characterizations of harmonic manifolds in terms of geometric invariants of the tubes about curves (Balázs Csikós, Márton Horváth); -- proof of Kneser-Poulsen-type inequalities in planes of constant curvatures (Balázs Csikós, Márton Horváth); -- description of the asymptotic behaviour of Boolean expressions of large congruent balls (Balázs Csikós); -- study of the Jordan property of diffeomorphism groups (Balázs Csikós); -- computation of the equivariant Chern-Schwartz-MacPherson classes of matrix Schubert varietes, and generalization of the calculations to motivic Chern classes (László Fehér); -- solutions of Erdős-Heilbronn-type problems (László Fehér); -- study of differentiability properties horizons in space-times (Dávid Szeghy); -- description of the boundary of the union of normalizable orbits of an affine group action (Dávid Szeghy); -- the problem of uniqueness in geometric quantization, when the configuration space is a compact Riemannian symmetric space and the phase space is equipped with the family of adapted complex structures (Róbert Szőke); -- construction of natural (non-equivalent) smooth Hilbert bundle structures on the field of prequantum Hilbert spaces (Szőke Róbert).
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=112703
Decision
Yes





 

List of publications

 
B. Csikós, M. Horváth: Harmonic manifolds and tubes, Journal of Geometric Analysis, DOI: https://doi.org/10.1007/s12220-017-9965-2, 2017
B. Csikós, M. Horváth: Harmonic manifolds and tubes, arXiv:1705.00311 (submitted to the Journal of Geometric Analysis), 2017
L.M. Fehér, R. Rimányi: Chern-Schwartz-MacPherson classes of degeneracy loci, Geometry & Topology 22-6 (2018), 3575--3622. DOI 10.2140/gt.2018.22.3575, 2018
B. Csikós: On the volume of Boolean expressions of large balls, Discrete Geometry and Symmetry: Dedicated to Károly Bezdek and Egon Schulte on the Occasion of Their 60th Birthdays (M. Conder, A. Deza, and A. Weiss, eds.), pp. 71–86,, 2018
B. Csikós, M. Horváth: Two Kneser–Poulsen-type inequalities in planes of constant curvature, Acta Math. Hung., vol. 155, no. 1, pp. 158–174, 2017
B. Csikós: On the volume of Boolean expressions of balls -- A review of the Kneser Poulsen conjecture, New Trends in Intuitive Geometry, Bolyai Society Mathematical Studies, (G. Ambrus, I. Bárány, K. Böröczky, G. Fejes Tóth, and J. Pach, eds.), Springer (in press), 2017
R. Szőke: Smooth structures on the field of prequantum Hilbert spaces, arXiv:1609.03794v1 [math-ph] (submitted to Jornal of Functional Analysis), 2018
L. M. Fehér, R. Rimányi, A. Weber: Motivic Chern classes and K-theoretic stable envelopes, arXiv:1802.01503v2 [math.AG], 2018
L. M. Fehér, Á. K. Matszangosz: Real solutions of a problem in enumerative geometry, Periodica Mathemaica Hungarica (accepted for publication), 2015
B. Csikós, L. Pyber, E. Szabó: Diffeomorphism Groups of Compact 4-manifolds are not always Jordan, arXiv:1411.7524 [math.DG], 2014
B. Csikós, M. Horváth: Harmonic Manifolds and the Volume of Tubes about Curves, arXiv:1506.02468 [math.DG], 2015
B. Csikós: On the volume of Boolean expressions of large balls, International Conference on Geometry and Symmetry, Abstracts, 2015
L. M. Fehér, Á. K. Matszangosz: Real solutions of a problem in enumerative geometry, Periodica Mathemaica Hungarica, http://dx.doi.org/10.1007/s10998-016-0122-7, 2016
B. Csikós, M. Horváth: Harmonic Manifolds and the Volume of Tubes about Curves, Journal of the London Mathematical Society, 94 (1) pp 141-160., 2016
D. Szeghy: On the differentiability order of horizons, Classical And Quantum Gravity 33:(12) Paper 125003, 2016
R. Szőke: Quantization of compact Riemann symmetric spaces, arXiv:1609.03794 [math-ph], 2016
B. Csikós (joint with M. Horváth): Monotonicity of the perimeter of the convex hull and the area of the intersection of disks in curved planes, Discrete Geometry Days, June 21-24, 2016, Budapest, (conference abstracts), 2016
B. Csikós: On the volume of Boolean expressions of balls -- A review of the Kneser Poulsen conjecture, New Trends in Intuitive Geometry, Bolyai Society Mathematical Studies (accepted for publication), 2016
B. Csikós: On the volume of Boolean expressions of large congruent balls, Springer Contributed Volume dedicated to Károly Bezdek and Egon Schulte on the occasion of their 60th birthdays (submitted), 2016
R. Szőke: Quantization of compact Riemann symmetric spaces, arXiv:1609.03794v1 [math-ph], 2016
B. Csikós: On the volume of Boolean expressions of balls -- A review of the Kneser Poulsen conjecture, New Trends in Intuitive Geometry, Bolyai Society Mathematical Studies (accepted for publication), 2017
B. Csikós: On the volume of Boolean expressions of large congruent balls, Springer Contributed Volume dedicated to Károly Bezdek and Egon Schulte on the occasion of their 60th birthdays (accepted), 2017
R. Szőke: Quantization of compact Riemann symmetric spaces, Journal of Geometry and Physics, 119:286-303, 2017
L.M. Fehér, R. Rimányi: Chern-Schwartz-MacPherson classes of degeneracy loci, arXiv:1706.05753, 2017
L. M. Fehér, J. Nagy: Erdős-Heilbronn type theorems using equivariant cohomology, arXiv:1610.02539, 2017




Back »