Dimension theory of non-conformal systems  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
123970
Type PD
Principal investigator Bárány, Balázs
Title in Hungarian Nem-konform rendszerek dimenzióelmélete
Title in English Dimension theory of non-conformal systems
Keywords in Hungarian Hausdorff dimenzió, nem-konform halmazok, nem-konform mértékek, iterált függvényrendszerek
Keywords in English Hausdorff dimension, non-conformal sets, non-conformal measures, iterated function systems
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Chaos theory
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics)
Starting date 2017-09-01
Closing date 2020-08-31
Funding (in million HUF) 15.219
FTE (full time equivalent) 2.10
state closed project
Summary in Hungarian
A kutatás összefoglalója, célkitűzései szakemberek számára
Itt írja le a kutatás fő célkitűzéseit a témában jártas szakember számára.

Kutatásaim célja, a nem-konform függvényeket tartalmazó iterált függvényrendszerek által generált attraktorok dimenziójának és geometriájának mélyebb megértése. Az ilyen halmazokról jelenleg kevés ismerettel rendelkezünk. A nem-konform halmazok egy speciális családja, az önaffin halmazok, jelenleg a fraktálgeometriai kutatások fókuszpontjában helyezkedik el. Kutatásom négy problémacsaládra osztható:
I. Nem konform és nem lineáris invariáns halmazok és mértékek dimenziója
Célom nem-lineáris és nem-konform IFS invariáns mértékeinek egzakt dimenziójának igazolása bizonyos feltételek mellett, s ezt felhasználva elégséges feltételt mutatni, hogy az attraktor dimenziója megegyezik az indukált szubadditív nyomás gyökével, valamit megmutatni, hogy valamilyen megfelelő értelemben vett tipikus IFS esetén a dimenzió maximális. Hasonlóan célom megmutatni, hogy a projektív síkon vett Furstenberg mértékek egzakt dimenziósak. Ennek motivációjául Francois Ledrappier egy konferencián feltett kérdése szolgál, Providence-ben, 2016-ban.
II. Véletlen önaffin halmazok
Meg kívánjuk mutatni, hogy véletlen önaffin halmazok dimenziója megegyezik az affinitási dimenzióval majdnem biztosan, a mátrixtagok randomizálása mellett.
III. Fraktál képtömörítési probléma
Meg akarjuk határozni fraktál képtömörítési rendszerek egy speciális családjára a repeller dimenziójának értékét.
IV. Szűkülő cél probléma
A Bedford-McMullen szőnyegeken értelmezett természetes szűkülő cél halmazának Hausdorff dimenziójának kiszámítása, amikor a szűkülő cél cilinderek és geometriai gömbök sorozata.

Mi a kutatás alapkérdése?
Ebben a részben írja le röviden, hogy mi a kutatás segítségével megválaszolni kívánt probléma, mi a kutatás kiinduló hipotézise, milyen kérdéseket válaszolnak meg a kísérletek.

Kutatásaim alapkérdései a geometriai mértékelmélet részét képező iterált függvényrendszerek attraktorainak és mértékeinek dimenziójához kapcsolódik. Speciálisan a következő problémákat kívánjuk megválaszolni:
- Egzakt dimenziósak-e a Furstenberg és Kifer [Israel J. Math., 1983] által definiált a projektív síkon értelmezett véletlen bolyongás stacionárius mértékei, és a nem konform és nem lineáris iterált függvényrendszerek (IFS) invariáns mértékei?

Az egzakt dimenziós tételekből kapott formulák nehezen számolhatóak, ezért a dimenzió értékének meghatározás másik jelentős alapkérdés, valamilyen értelemben tipikus rendszerekre. Speciálisan:
- Mennyire mondható tipikusnak a Hochman és Solomyak [arXiv:1610.02641, 2016] által megadott diofantoszi feltétel?
- Általánosítható-e a Ledrappier [Contemp. Math., 1992] által Weierstrass függvényekre adott elégséges feltétel tetszőleges nem-konform iterált függvényrendszerre?
- Mekkora egy tipikus nem-konform és nem lineáris IFS attraktorának dimenziója?
- Hogyan írható le a véletlen önhasonló halmazok dimenziója?
- Mekkora egy fraktál képtömörítési eljárás során kapott repeller dimenziója tipikusan?

Hasonlóan nem megértett kérdés az önaffin halmazokon értelmezett, dinamikailag definiált részhalmazainak dimenziója, mint a multifraktál analízis és a szűkülő cél probléma.
- Hogyan írható le a Bedford-McMullen szőnyegen értelmezett szűkülő cél halmaz dimenziója?

Mi a kutatás jelentősége?
Röviden írja le, milyen új perspektívát nyitnak az alapkutatásban az elért eredmények, milyen társadalmi hasznosíthatóságnak teremtik meg a tudományos alapját. Mutassa be, hogy a megpályázott kutatási területen lévő hazai és a nemzetközi versenytársaihoz képest melyek az egyediségei és erősségei a pályázatának!

Tervezett kutatási témáim, s tervezett eredmények elméleti jelentősége:
- Megválaszolni Francois Ledrappier kérdését a Frustenberg mértékekről, melyet egy konferencián, Providence-ben tett fel 2016-ban.
-Nem-konform és nem-lineáris IFS attraktorának dimenzióinak számítására módszerek megadása, melyek jelenleg még síkbeli esetekre sem ismertek.
- Valamilyen értelemben tipikus, véletlen önaffin halmazok dimenziójának mélyebb megértése, a fraktál képtömörítési eljárás során kapott halmazok (képek) dimenziójára való alkalmazásokkal.
- A konform dinamikai rendszerek témájában ismert szűkülő cél halmazok jobb megértése önaffin és nem-konform rendszereken.

A kutatási projektjeim nagy részét külföldi társszerzőimmel közösen tervezem véghezvinni. Ez, valamint a kutatási eredményeim elismert folyóiratokban való publikációja és jelentős konferenciákon való ismertetése hozzájárul a kutatói közegem nemzetközi elismertségének fenntartásához is.

A jövőben, a BME-n végzett oktatási tevékenységem részeként tervezem BSc, MSc dolgozatok, TDK témák vezetését,
illetve amint az egyetemi pozícióm lehetővé teszi, a PhD-témavezetés is ambícióm.

A kutatás összefoglalója, célkitűzései laikusok számára
Ebben a fejezetben írja le a kutatás fő célkitűzéseit alapműveltséggel rendelkező laikusok számára. Ez az összefoglaló a döntéshozók, a média, illetve az érdeklődők tájékoztatása szempontjából különösen fontos az NKFI Hivatal számára.

Matematikus vagyok, s mindig is vonzottak az egzotikus problémák, így kerültem kapcsolatba a fraktálgeometriával. Mandelbrot meghatározása szerint a fraktál egy olyan természeti jelenség, vagy matematikai halmaz, amely minden szinten ismétlődő mintát mutat. Gondolhatunk egy karfiol felszínére, a villám ívére vagy Nagy-Britannia partvonalára. Az ilyen halmazok matematikai precizitással történő vizsgálata a nyolcvanas években kezdődött, s az irántuk az érdeklődés emelkedő tendenciát mutat.

A legegyszerűbb matematikailag precíz fraktálhalmazok az ún. önhasonló halmazok. Ezen halmazok előállnak hasonlósági leképezésekkel vett képeik uniójaként. Jellemzőjük, hogy a megszokott mérési módszerekkel, mint terület-, kerületszámítás szélsőséges eredményeket kapunk, azaz vagy 0 vagy végtelen. Így leírásukra a megszokott 1,2,3 stb. dimenziós jelenségek nem elégségesek, s új dimenziófogalmakra szükségesek. Számos dimenziófogalom ismert, s mindegyik más más perspektívából ad megvilágítást a fraktálhalmazok nagyságára, kiterjedésére.

Az önhasonló halmazok dimenziója viszonylag jól megértettnek tekinthető, köszönhetően az utóbbi 2-3 évben megjelent mély matematikai cikkeknek és kutatásoknak. Halmazok egy nagyobb családját adják az önaffin halmazok (melyek előáll nem hasonlósági, hanem affin transzformációkkal vett képei uniójaként) és a nem-konform halmazok, ahol a függvényekre, melyek szerint előáll képeinek uniójaként, már nincs megkötésünk, mint elég sima legyen. Az ilyen halmazok dimenziója még a viszonylag egyszerűbb esetekben sem jól megértett.

Célom a nem-konform halmazok geometriájának mélyebb megértése, dimenziójuk leírása.
Summary
Summary of the research and its aims for experts
Describe the major aims of the research for experts.

The main goal of my research is to give a better understanding of the geometry and dimension theory of attractors generated by iterated function systems (IFS) with non-conformal maps. The theory of such sets is far from being well understood. A special family of non-conformal sets is the family of self-affine sets, which is in the focus of the recent research of the fractal geometry field. My research can be divided into four parts.

I. Dimension of non-conformal & non-linear invariant sets and measures
We would like to show the exact dimensionality of invariant measures of non-conformal and non-linear IFS. By using this, we would give sufficient condition to show that the dimension of the attractor is equal to the root of the subadditive pressure. On the other hand, we would like to show that the attractors of typical IFSs satisfy this property. Moreover, we want to study the exact dimensionality of the Furstenberg measure on the projective plane. The main motivation of this was given by a question of Francois Ledrappier on a conference in Providence, 2016.

II. Random self-affine sets
We would like to show that the dimension of random self-affine sets is equal to the affinity dimension almost surely, under the randomization of the linear parts.

III. A problem in fractal image compression
We want to determine the dimension of repellers of a special family of fractal image compression systems.

IV. Shrinking target problem on self-affine sets
We would like to calculate the dimension of shrinking target sets defined on Bedford-McMullen carpets, if the sequence of the targets are level sets and geometric balls.

What is the major research question?
Describe here briefly the problem to be solved by the research, the starting hypothesis, and the questions addressed by the experiments.

The fundamental questions of my research are forming a significant part of the geometric measure theory, namely the dimension theory of attractors and invariant measures of iterated function systems. In particular, we would like to find the answer for the following question:
- Are the stationary measures of random walks on the projective plane induced by matrices (defined by Furstenberg és Kifer [Israel J. Math., 1983]) exact dimensional? Moreover, are the invariant measures of non-conformal IFS exact dimensional?

The formulas, given by the exact dimensionality, are very hard to calculate. Thus, the determination of the value of the dimension is another fundamental question for typical systems, in some proper sense. In particular,
- How typical is the Diophantine condition, given by Hochman és Solomyak [arXiv:1610.02641, 2016]?
- Can the sufficient condition in Ledrappier [Contemp. Math., 1992] for Weierstrass functions, be generalized for non-conformal IFS?
- What is the dimension of the attractor of a typical non-conformal and non-linear IFS?
- How can the dimension of random self-affine sets be described?
- What is the value of the dimension of the repeller given by a typical fractal image compression system?

The dimension of dynamically defined subsets of self-affine sets is not well understood, as well. For example, the multifractal analysis and shrinking target problem. Our question is:
- How can the dimension of the shrinking target set be described on self-affine sets?

What is the significance of the research?
Describe the new perspectives opened by the results achieved, including the scientific basics of potential societal applications. Please describe the unique strengths of your proposal in comparison to your domestic and international competitors in the given field.

Theoretical significance of my planned research topics and planned results:
- I would answer the question of Francois Ledrappier on the Furstenberg measure, which was asked by him at a conference in Providence, USA, 2016.
- Giving methods for calculation of the dimension of non-conformal and non-linear IFS, which have been unknown even for planar cases yet.
- A deeper understanding of the dimension theory of typical, random self-affine systems, with applications on fractal image compression problems.
- Studying the shrinking target problem on self-affine systems.

The most of my research projects are joint works with my coauthors from abroad. I would publish my results in relevant mathematical journals and I would present them in conferences. This would contribute to maintain the international reputation of the institute, where I am planning to work.

In the future, I am planning to supervise BSc, MSc thesises, TDK thesises. Moreover, as soon as my position at the institute allows, I would like to be a supervisor of a PhD student.

Summary and aims of the research for the public
Describe here the major aims of the research for an audience with average background information. This summary is especially important for NRDI Office in order to inform decision-makers, media, and others.

I am a mathematician, and I was allways addicted to egzotic problems. That is, how I got in contact with fractal geometry. According to Mandelbrot, a fractal is a natural phenomenon or a mathematical set that exhibits a repeating pattern that displays at every scale. We can think about the shape of a cauliflower, a route of a lightning or the coast of Great Brittain. The mathematically rigorous study of such sets had already begun in the eightees and the interest in them shows an increasing tendency.

The simplest fractal sets are the self-similar sets. A self-similar set is the union of its images with similarity transformations. Usually, they show strange behaviour if we measure them with the usual methods (area, perimeter etc.). It is either zero or infinite. For the description of such sets the usual 1,2,3 dimensional tools are not sufficient and we need other concepts of dimension. There are several different type of dimensions and each gives us some information about how large the set is in different aspects.

The dimension theory of self-similar sets is relatively well understood thanks due to the recent works and articles in the last 2-3 years. A larger family of fractals sets are the self-affine sets (when the set is the union of its images with affinity transformations) and the non-conformal sets, where we don't have any strong restriction on the transformations except some smoothness. The dimension theory of such sets is far from being well understood even in the simplest cases.

In my research, my main goal is to give a better understanding of the dimension and structure of non-conformal sets.





 

Final report

 
Results in Hungarian
Az ösztöndíj elmúlt három éve alatt 12 cikk született, melyből 3 már megjelent, 4 cikket elfogadták publikációra, 2 konferencia közleményt elfogadtak publikációra, illetve 3 kézirat. Az egyik legfontosabb eredményünk egy folklór sejtés bizonyítása, a síkbeli önaffin halmazok és mértékek Hausdorff dimenziójának meghatározása erős nyílt szeparáltság és erős irreducibilitás feltétele mellett. Ennek több alkalmazását is megmutattuk, általános fraktál függvénygrafikonok dimenziójára és Birkhoff átlagok és Lyapunov exponensek multifraktál analízisére önaffin halmazokon. A nem-konformális rendszerek elméletében továbbá tanulmányoztuk McMullen szőnyegeken a süllyedő célhalmazok dimenzióját, síkbeli önaffin halmazok Assouad dimenzióját és mátrixnormák majdnem multiplicitását véges sok 2x2-es mátrix által generált félcsoportok felett. Az önhasonló rendszerek elméletében megválaszoltuk Hochman egy kérdését, azaz példát mutattunk olyan önhasonló halmazra, mely nem exponenciálisan szeparált, de nincs benne egzakt átfedés. Továbbá meghatároztuk olyan önhasonló mértékek dimenzióját, melyben két függvénynek megegyezik a fixpontja. Konformális rendszerek esetén meghatároztuk a süllyedő célhalmazok Hausdorff mértékét, illetve generikus önkonform halmaz Assouad dimenzióját és Hausdorff mértékét.
Results in English
During the three years of the scholarship, we have published 12 publications with my co-authors. Out of them, 3 have been already published; 4 have been accepted for publication; 2 conference proceedings are accepted; and 3 manuscripts. One of our main results was the proof of a folklore conjecture, that is, the Hausdorff dimension of planar self-affine sets and measures under strong open set condition and strong irreducibility conditions. We provided applications of this result for the dimension of fractal function graphs, and for the multifractal spectrum of Birkhoff averages and Lyapunov exponents on self-affine sets. Furthermore, in the topic of non-conformal systems, we studied the dimension of shrinking target sets on McMullen carpets, the Assouad dimension of self-affine sets, and the almost multiplicativity of matrix norms over finitely generated semigroups of 2x2 matrices. In the topic of self-similar, we showed that there exists self-similar system, which is not separated exponentially but there are no exact overlaps, which answers a question of Hochman. Moreover, we studied the dimension of self-similar measures where two maps share a common fixed, point. In case of self-conformal systems, we studied the Hausdorff measure of shrinking target sets over self-conformal sets and we determined the Assouad dimension and Hausdorff measure of a generic self-conformal set.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=123970
Decision
Yes





 

List of publications

 
Balázs Bárány, Antti Käenmäki and Ian D. Morris: Domination, almost additivity, and thermodynamical formalism for planar matrix cocycles, Israel J. Math., doi.org/10.1007/s11856-020-2054-4, 2020
Balázs Bárány, Michał Rams and Károly Simon: Dimension of the repeller for a piecewise expanding affine map, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 45, 1135-1169., 2020
Balázs Bárány, Thomas Jordan, Antti Käenmäki and Michał Rams: Birkhoff and Lyapunov spectra on planar self-affine sets, Int. Math. Res. Not., doi.org/10.1093/imrn/rnz359, 2020
Balázs Bárány and Edina Szvák: On the dimension of self-similar measures with complicated overlaps, preprint, to appear in Math. Nachr., 2019
Balázs Bárány, Antti Kaenmaki and Eino Rossi: Assouad dimension of planar self-affine sets, Trans. Amer. Math. Soc., doi.org/10.1090/tran/8224, 2020
Balázs Bárány and Antti Käenmäki: Super-exponential condensation without exact overlaps, preprint, 2019
Demi Allen and Balázs Bárány: Diophantine approximation on fractals: Hausdorff measure of shrinking targets on self-conformal sets, preprint, 2019
Balázs Bárány, István Kolossváry, Michał Rams and Károly Simon: Hausdorff measure and Assouad dimension of generic self-conformal IFS on the line, preprint, 2020
Balázs Bárány and Michał Rams: Shrinking targets on Bedford-McMullen carpets, Proc. London Math. Soc., 2018
Balázs Bárány, Michael Hochman and Ariel Rapaport: Hausdorff dimension of planar self-affine sets and measures, preprint, arXiv:1712.07353, 2017
Balázs Bárány, Antti Käenmäki and Ian D. Morris: Domination, almost additivity, and thermodynamical formalism for planar matrix cocycles, preprint, arXiv:1802.01916, 2018
Balázs Bárány, Michał Rams and Károly Simon: Dimension of the repeller for a piecewise expanding affine map, preprint, arXiv:1803.03788, 2018
Balázs Bárány, Thomas Jordan, Antti Käenmäki and Michał Rams: Birkhoff and Lyapunov spectra on planar self-affine sets, preprint, arXiv:1805.08004, 2018
Balázs Bárány and Michał Rams: Shrinking targets on Bedford-McMullen carpets, Proc. London Math. Soc. 117, no. 5, 951-995., 2018
Balázs Bárány, Michael Hochman and Ariel Rapaport: Hausdorff dimension of planar self-affine sets and measures, Invent. Math. 216 no. 3, 601-659., 2019
Balázs Bárány, Antti Käenmäki and Ian D. Morris: Domination, almost additivity, and thermodynamical formalism for planar matrix cocycles, to appear in Israel J. Math., 2019
Balázs Bárány, Michal Rams and Károly Simon: Dimension theory of some non-Markovian repellers Part I: A gentle introduction, preprint, 2019
Balázs Bárány, Michal Rams and Károly Simon: Dimension theory of some non-Markovian repellers Part II: Dynamically defined function graphs, preprint, 2019
Balázs Bárány and Edina Szvák: On the dimension of self-similar measures with complicated overlaps, preprint, 2019
Balázs Bárány, Antti Kaenmaki and Eino Rossi: Assouad dimension of planar self-affine sets, preprint, 2019




Back »