Effective, quantitative and computation investigations in the theory of Diophatine equations

Help

Back »

Details of project

Identifier

42985

Type

Principal investigator

Győry, Kálmán

Title in Hungarian

Effektív, kvantitatív és számítógépes vizsgálatok a diofantikus egyenletek elméletében

Title in English

Effective, quantitative and computation investigations in the theory of Diophatine equations

Panel

Mathematics and Computing Science

Department or equivalent

Department of Algebra and Number Theory (University of Debrecen)

Participants

Bérczes, Attila
Gaál, István
Hajdu, Lajos
Pethő, Attila
Pintér, Ákos
Rakaczki, Csaba

Starting date

2003-01-01

Closing date

2007-12-31

Funding (in million HUF)

8.460

FTE (full time equivalent)

0.00

state

closed project

Final report

Results in Hungarian

Számos jelentős effektív, kvantitatív és numerikus eredmény született egy sor alapvető fontosságú diofantikus problémával kapcsolatban. Az eredmények elsősorban széteső forma egyenletekre, S-egységegyenletekre, szuperelliptikus és binom Thue egyenletekre, általánosított Fermat-típusú egyenletekre, valamint rekurzív sorozatokra, adott diszkriminánsú, illetve adott rezultánsú polinomokra és binér formákra, általánosított számrendszerekre és alkalmzásaikra vonatkoznak. A legkiemelkedőbb eredmények a következők. Teljesen explicit eredményt nyertek a híres ABC-sejtés számtestek feletti általánosított változatával kapcsolatban. 13-nál nagyobb kitevők esetén megoldották a Fermat-féle egyenlet bizonyos fontos általánosításait. Közös általánosítását adták az ismeretlen fokszámú binom Thue egyenletekre és az S-egységegyenletekre vonatkozó korábbi nevezetes (kvalitatív) effektív végességi tételeknek. Jelentős áttörést hajtottak végre egy több évszázados problémakörben, megmutatván, hogy legfeljebb 11 tagú számtani sorozat tagjainak a szorzata (bizonyos triviális kivételektől eletekintve) nem lehet teljes hatvány. Új módszereket, hatékony eljárásokat dolgozatk ki ismeretlen fokszámú binom Thue egyenletek, S-egységegyenletek, szuperelliptikus egyenletek, általánosított Fermat-féle egyenletek, valamint index forma egyenletek konkrét esetekben való megoldására. Mindezeknek számos fontos alkalmazását adták a diofantikus számelméletben és az algebari számelméletben.

Results in English

Several effective, quantitative and numerical results have been established on various diophantine problems of fundamental importance. These results concern mostly decomposable form equations, S-unit equations, superelliptic equations, binomial Thue equations, generalized Fermat-type equations, linear recurrences, binary forms of given discriminant resp. of given resultant, generalized number systems and their applications. The most important scientific achievements of the project are as follows. A completely explicit result has been obtained in the direction of the famous ABC-conjecture for number fields. Certain important generalizations of the Fermat equation have been solved for exponents greater than 13. A common generalization has been given of the earlier (qualitative) effective finiteness theorems concerning S-unit equations resp. binomial Thue equations with unknown exponent. A considerable breakthrough has been made in connection with a problem going back to Fermat and Euler: it has been proved that (apart from some trivial exceptions) a product of at most 11 consecutive terms in an arithmetic progression can never be a perfect power. New methods and efficient algorithms have been elaborated for solving, in concrete cases, binomial Thue equations with unknown exponent, S-unit equations, superelliptic equations, generalized Fermat-type equations and index form equations. These led to many important applications in diophantine and algebraic number theory.

Full text

http://real.mtak.hu/871/

Decision

Yes

List of publications

K. Győry, L. Hajdu, N. Saradha: On the diophantine equation n(n+d)…(n+(k-1)d) = by^l, Canad. Math. Bull.47 (2004),373-388., 2004

K. Győry, L. Hajdu, A. Pintér, A. Schinzel: Polynomials determined by a few of their coefficients, Indag. Math.15(2004) 209-21., 2004

K. Győry: Perfect powers in products with consecutive terms from aritmetic progressions, in "More Sets, Graphs and Numbers", Springer and Bolyai Society, Budapest, 2006, pp. 143-155, 2006

K. Győry, A. Pintér: On the equation 1^k+2^k+…+ x^k=y^n, Publ. Math Debrecen 62(2003)403-414, 2003

K. Győry: On some aritmetical properties of Lucas and Lehmer numbers II, Acta Acad. Paed. Agriensis, Sect Math. 30(2003),67-73, 2003

A. Bérczes, J.H. Evertse, K. Győry: On the number of equivalence classes of binary forms of given degree and given discriminant, Acta Arith.113(2004) 363-99., 2004

K. Győry, A. Pintér: Almost perfect powers in products of consecutive integers, Monatsh. Math. 145, 19-33, 2005

Hajdu L.: Irreducible polynomials in aritmettic progressions and a problem of Szegedy, Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 363-370, 2004

Y. Bugeaud, K. Győry: On binominal Thue-Mahler equations, Periodica Math. Hungarica 49(2004),25-34., 2004

G. Everest, K. Győry: On some aritmetical properties of solutions of decomposable form equations, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 139,27-40, 2005

M. Bennett,N. Bruin, K. Győry, L. Hajdu: Powers from products of consecutive terms in aritmetic progression, Proc. London Math. Soc. (3), 92 (2006), 273-306, 2006

Y. Bilu, I. Gaál, K. Győry: Index form equations in sextic fields: a hard computation, Acta Arith115(2004) 85-96., 2004

A. Pintér: On the power values of power sums, J. Number Theory közlésre elfogadva, 2004

K. Győry, A. Pethő and Á. Pintér: Béla Bridza (1958-2003), Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 1-11., 2004

K. Győry: Index form equations and their applications, The Proc. of the Institute of Math. of NAN of Belarus, 13 (2005), 83-93, 2005

K. Győry, I. Pink and Á. Pintér: Power values of polynomials and binomial Thue-Mahler equations, Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 341-362., 2004

K. Győry: Polynomials and binary forms with given discriminant, Publ. Math. Debrecen, 69, (2006) 473-499, 2006

Cs. Rakaczki: On the Diophantine equation S_m(x) = g (y), Publ. Math. Debrecen, 65 (2004), 439-60., 2004

M. Bennett, K. Győry, M. Mignotte, Á. Pintér: Binomial Thue equations and polynomial powers, Compositio Math., 142 (2006), 1103-1121, 2006

S. Akiyama, T. Borbély, H. Brunotte, A. Pethő, J. Thuswaldner: Generalized radix representations and dynamical systems I, Acta Math.Hungar., 108, 207-238, 2005

A. Bérczes, J. Ködmön, A. Pethő: A one-way function based on norm form, Periodica Math. Hungar 49(2004), 1-13., 2004

E. Herrman, I. Járási, A. Pethő: Note on J.H.E. Cohn’s paper ”The Diophantine equation x^n=Dy^2+1”, Acta Arith, 113, 69-76, 2004

S. Schmitt, H.G. Zimmer: Elliptic Curves – A Computational Approach, with an Appendix by Attila Pethő, de Gruyter Studies in Mathematics: 31, 2003, 2003

CL. Fuchs, A. Pethő, and R. F. Tichy: On the diophantine equation G_n(x) = G_m(y) with Q(x, y) = 0, Submitted, 2004

CL. Fuchs and A. Pethő: Effective bounds for the zeros of linear recurrences in function fields, J. Théorie Nombers de Bordeaux, 17 (2005), 749-766, 2005

A. Bérczes and A. Pethő: On norm form equations with solutions forming aritmetic progressions, Publ. Math. Debrecen, 65, 281-290, 2004

K. Gyarmati, A. Sárközy and A. Pethő: On linear recursion and pseudorandomness, Acta Arith., 118, 359-374, 2005

S. Akiyama, T. Borbély, H. Brunotte, A. Pethő, J. Thuswaldner: On a generalization of the radix represantation – a survey, Fields Institute Communications,41(2004) 19-27, 2004

A. Pethő: Connections between power integral bases and radix representations in algebraic number fields, Proc. 2003 Nagoya Conf. “Yokoi-Chowla Conjecture and Related Problems”, Eds.: S-i. Katayama, C. Levesque and T. Nakahara, Furukawa Total Pr. 2004, 115-125, 2004

G. Barat, CH. Frougny and A. Pethő: On linear recurrent Mahler numbers, Integers, 5, 17pages, 2005

I. Gaál, P. Olajos: Recent results on power integral bases of composite fields, Acta Acad. Paed. Agriensis, Sect. Math., 30(2003), 45-54., 2003

I. Gaál, I. Járási, F. Luca: A remark on prime divisors of lengths of sides of Heron triangles, Experimental Math.,12 (2003), 303-10, 2003

I. Gaál, G. Nyul: Index form equations in biquadratic fields: the p-adic case, Publ. Math. Debrecen, 68 (2006), 225-242, 2006

I. Gaál: A fast algorithm for finding small solutions of F(X,Y)=G(X,Y) over number fields, Acta. Math. Hung. 106 (2005), 41-51., 2005

I. Gaál and M. Pohst: Diophantine equations over global function fields I : The Thue equations, J. Number Theory, 119 (2006), 49-65, 2006

I. Gaál and L. Robertson: Power integral bases in prime-power cyclotomic fields, J. Number Theory, 120 (2006), 372-384, 2006

A. Pintér, M. Jacobson, G. Walsh: A computational approach for solving Y^2 = 1^k +…+x^k, Math. Comp. 72 (2003), 2099-2110, 2003

A. Pintér: Exponential diophantine equations with at most one solution, Publ. Math. Debrecen, közlésre elfogadva, 2004

A. Pintér, H. Srivasta: Remarks on some relationships between the Bernoulli and Euler polynomials, Appl. Math. Lett., közlésre elfogadva, 2004

A. Pintér, Alf van der Poorten: A simple observation on simple zeros and related results, közlésre előkészítve, 2004

A. Hajdu, L. Hajdu: Approximating the Euclidean distance by digital metrics, Discrete Math. 283 (2004)373-88., 2004

A. Pintér: Resolution of special superelliptic equations of high degree, kézirat, 2004

A. Hajdu, L. Hajdu: Analytical and approximation properties of neighborhood sequences, KéPAF’04(2004), 97-105, 2004

L. Hajdu: Perfect powers in aritmetic progression. A note on the inhomogeneous case, Acta Arith. 113(2004) 343-49., 2004

Fazekas A., Hajdu A. és Haldu L.: Metrical neighborhood sequences in Z^n, Pattern Recognition Letters, 26, 2022-2032, 2005

Hajdu L. és R. Tideman: A criterion for polynomials to divide infinetely many k-nomials, Number Theory (H. P. Schlickewei, ed,) közlésre elfogadva, 2006

Hajdu G. és Hajdu L.: On an identity of Ramanujan over finitely generated domains, Acta. Math. Hungar. 112 (2006), 143-155, 2006

A. Bérczes, J. Ködmön: Methods for the calculation of values of a norm form, Publ. Math. Debrecen, 63 (2003), 751-768, 2003

Cs. Rakaczki: On the diophantine equation x(x-1)…(x-(m-1))=\\lambda y(y-1)…(y-(n-1))+\\mu, Acta Aritmetica 110 (2003), 339-360, 2003

Cs. Rakaczki: On the diophantine equation F( \\binom{x}{m})=b\\binom{y}{n}, Periodica Math. Hung. 49(2004), 119-32., 2004

Hajdu L.: Unique reconstruction of bounded sets in discrete tomography,, Electronic Notes in Discrete Mathematics 20, 15-25., 2005

K. Győry, K. Yu: Bounds for the solutions of S-unit equations and decomposable form equations,, Acta Arith., 123 (2006), 9-41, 2006

A. Bérczes and A. Pethő: Computational experiences on norm form equations with solutions forming arithmetic progressions, Glasnik Math., 41 (2006), 1-8, 2006

S. Akiyama, H. Brunotte, A. Pethő and J. M. Thuswaldner: Generalized radix representations and dynamical systems II,, Acta Arith., 121 (2006), 21-61, 2006

A. Bérczes, J.-H. Evertse, K. Győry: Diophantine problems related to discriminants and resultants of binary forms, in: Diophantine Geometry, közlésre elfogadva., 2006

S. Akiyama, H. Brunotte, A. Pethő and W. Steiner: Remarks on a conjecture on certain integer sequences, Periodica Math. Hungarica, 52 (2006), 1-8, 2006

S. Akiyama, T. Borbély, H. Brunotte, A. Pethő and J. Thuswaldner: Basic properties of shift radix systems, Acta. Math. Acad. Paed. Nyíregyháziensis, 22 (2006), 19-25, 2006

A. Bérczes, A. Pethő and V. Ziegler: Parameterized Norm Form Equations with Arithmetic progressions, J. Symbolic Comput., 41 (2006), 790-810, 2006

Fazekas A., Hajdu A. és Hajdu L.,: Lattices of metrical neighbourhood sequences, in: Joint Hungarian-Austrian Conference on Image Pocessing and Pattern Recognition (D. Chetverikov, L. Czúni és M. Vincze, e, Oesterreichische Computer Gesellschaft, 143-146., 2005

A. Hajdu, L. Hajdu és T. Tóth,: Properties and applications of neighborhood sequences,, Third Hungarian Conference on Computer Graphics and Geometry, Budapest, 2005, 148-154., 2005

H. Brunotte, A. Huszti and A. Pethő: Bases of canonical number systems in quartic algebraic number fields, J. Theorie Nombres de Bordeaux, megjelen;s alatt, 2006

I. Gaál and M. Pohst: Diophantine equations over global function fields II:R-integral solutions of Thue equations, Experimental Mathematics, 15 (2006), 1-6, 2006

L. Liptai, F. Luca, A. Pintér, L. Szalay: Generalized balancing numbers, Indag. Math. , megjelenés alatt, 2005

Cs. Rakaczki: Binomiális együtthatókkal és hatványösszegekkel kapcsolatos diofantikus eredmények., Doktori (PhD) értekezés, Debreceni Egyetem, Debrecen, 2005., 2005

M. Bennett, K. Győry, A. Pintér: On the Diophantine equation 1k+2k+…+xk=yn, Compositio Math. 140, 1417-1431, 2004

Hajdu L. és Turi Nagy Zs.: Power values of sums of polynomials, Publ. Math.Debrecen, 69 (2006), 321-331, 2006

P. Kirschenhofer, A. Pethő and J. Thuswaldner: On a family of three term nonlinear integer requrences, International Journal of Number Theory, megjelenés alatt, 2006

S. Akiyama, H. Brunotte, A. Pethő and J. M. Thuswaldner: Generalized radix representations and dynamical systems III,, közlésre leadva, 2006

A. Dujella, A. Pethő and P. Tadic: On arithmetic progressions on Pellian equations, közlésre leadva, 2006

N. Bruin, K. Győry,L. Hajdu and Sz. Tengely: Arithmetic progressions consisting of unlike powers,, Indag Math, N.S. 17 (2006), 539-555, 2006

K. Győry and Á Pintér: Polynomial powers and a common generalization of binomial Thue-Mahler equations and S-unit equatuions, közlésre elfogadva, 2006

A. Bérczes, J.-H. Evertse, K. Győry: On the number of pairs of binary forms with given degree and given resultant,, Acta Arith., közlésre elfogadva, 2006

K. Győry and Á Pintér: On the resolution of equations Ax^n-By^n=C in integers x,y and n \geq 3, I, Publ. Math. Debrecen, közlésre elfogadva, 2006

A. Pethő and V. Ziegler: Arithmetic progressions on Pell equations, J. Number Theory, megjelen;s alatt, 2006

Á. Pintér and Cs. Rakaczki: On the zeros of shifted Bernoulli polynomials, Appl. Math. Comp., megjelenés alatt, 2006

Cs. Rakaczki: On some diophantine results related to Euler polynomials, Appl. Math. Comp., közlésre benyújtva, 2006

I. Gaál: Solving explicitely decomposable form equations over global function fields, JP Journal of Algebra, Number Theory and Appl., 6 (2006), 425-434, 2006

Hajdu A. és Hajdu L.: On the lattice structure of subsets of octagonal neighbourhood sequences in Z^n, Lecture Notes in Computer Science, DCGI 2006, A. Kuba, L.G. Nyúl, K. Palágyi, eds. LNCS 4245 (2007), 211-222, 2006

Hajdu L.: Arithmetic progressions in linear combinations of S-uits, Period. Math. Hungar, közlésre elfogadva, 2006

Hajdu L. és Tijdeman R.: Algebraic discrete tomography, in: Diskrete Tomograpgy and its Applications (G.T. Herman and A. Kuba, eds.), Birkhauser, közlésre elfogadva, 2006

Hajdu G. és Hajdu L.: Hosszú's equation over the Gaussian- and Eisenstein- integers, Aequationes Math., közlésre elfogadva, 2006

Hajdu A., Hajdu L. és R. Tijdeman: Approximation of Euclidean distances by chamfer distances, közlésre elfogadva, 2006

Back »