Hyperbolic dynamical systems: attractors and correlation decay.  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
46187
Type K
Principal investigator Szász, Domokos
Title in Hungarian Hiperbolikus dinamikai rendszerek: attraktorok és korreláció lecsengés.
Title in English Hyperbolic dynamical systems: attractors and correlation decay.
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Stochastics (Budapest University of Technology and Economics)
Participants Bálint, Péter
Simon, Károly
Tóth, Imre Péter
Tóth, Rozália Hajnal
Varjú, Tamás
Starting date 2004-01-01
Closing date 2008-07-31
Funding (in million HUF) 11.343
FTE (full time equivalent) 0.00
state closed project





 

Final report

  
Results in Hungarian
A team kivételesen eredményes munkát végzett a periódus során. Young (Annals of Mathematics, 1998) síkbeli szóró biliárdokra vonatkozó torony konstrukciójának többdimenzióra való kiterjesztésével már 1998-tól foglalkoztunk. Bálint és Tóth friss és gondolatgazdag eredménye az első áttörés. Szász és Varjú a síkbeli konstrukciót alkalmazzák a Brown mozgás dinamikai elméletének modelljeire, nevezetesen a Lorentz folyamat sztochasztikájára. Véges, sőt végtelen horizont esetén is igazoltak lokális határeloszlástételeket, és rekurrenciát. Utóbbi esetben már globális határeloszlástételük is Bleher nevezetes, 1992-es sejtésének első szigorú bizonyítása. Dolgopyattal közös eredményeik Erdős-Taylor ill. Darling-Kac bolyongásokra vonatkozó tételeinek kiterjesztései periódikus Lorentz folyamatra, ezekkel Sinai 1981-es mély sejtésére szellemes és technikás bizonyítást adnak. Solomyak (Annals of Mathematics, 1995) végtelen Bernoulli konvolúciók abszolút folytonosságára vonatkozó, áttörést jelentő cikkét általánosította Tóth és Simon, majd Tóth. Solomyak eredménye olyan mértékek egy paraméteres családjára bizonyított abszolút folytonosságot, melyek stacionáriusak az egyenesen értelmezett IFS-ek egy paraméteres családjára. Ezen IFS-ek két lineáris -1/2-nél nagyobb - rátájú kontrakcióból állnak és azonos valószínűséggel alkalmazzuk mind két függvényt. Simon és Tóth ezt a tételt kiterjesztette tetszőlegesen sok függvényre és Tóth részeredményeket ért el a különböző kontrakciók esetén.
Results in English
The team had an exceptionally successfull research period. We started the work on the multidimensional extension of Young's tower construction for planar dispersing billiards, published in 1998 in Annals of Mathematics. The fresh result of Bálint and Tóth, rich in ideas, is the first breakthrough here. Szász and Varjú applied the planar construction to dynamical models of Brownian motion: to stochastic properties of the planar Lorentz process. They obtained local limit theorems, and recurrence as well, in case of finite and even infinite horizon. In the latter case their - weaker - global limit theorem in itself provides the first rigorous verification of Bleher's 1992 conjecture. Their results, joint with Dolgopyat, extend classical results for random walks of Erdős-Taylor and of Darling-Kac to the periodic Lorentz process, which made it possible for them to give a technical and witty proof for Sinai's 1981 deep conjecture. Simon and Tóth (2006) and Tóth (2008) generalized a breakthrough result of Solomyak (Annals of Mathematics 1995). Solomyak considered a one parameter family of Iterated Function System (IFS) that consists of two linear contractions with the same (> 1/2) ratio of contraction which are applied with the same probability. Simon and Tóth generalized this result for arbitrary (but finite) number of contractions. Tóth obtained partial results about the generalization of the Solomyak's theorem for different probabilities.
Full text http://real.mtak.hu/1326/
Decision
Yes





 

List of publications

  
Varjú Tamás: Local Limit Theorems and Recurrence for the Planar Lorentz Process, www.math.bme.hu, 2006
Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Mixing and its rate in \'soft\' and \'hard\' billiards motivated by the Lorentz Process, Physica D 187, 128-135, 2004
Bálint Péter, Serge Troubetzkoy: Ergodicity of two hard balls in integrable polygons, Nonlinearity 17, 2069-2090, 2004
Bálint Péter, Serge Troubetzkoy: Rotor interaction in the annulus billiard, Journal of Statistical Physics 117, 681-702, 2004
Simon Károly: Hausdorff Dimension of Hyperbolic Attractors in , Progress in Probability, Progress in Probability,Vol. 57, Fractal geometry and Stochastics III. 79-92 Birkhauser Verlag Basel, 2004
Simon Károly, Tóth Rozália Hajnal: The Absloute Continuity of the Distribution of Random Sums with Digits 0, 1, ... m-1, Real Analysis Exchange 30 no. 1, 397--409., 2005
Szász Domokos, Varjú Tamás: Markov Towers and Stochastic Properties of Billiards, Modern dynamical systems and applications , 433-445, Cambridge-Univ. Press, Cambridge, 2004
Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Hyperbolicity in multi-dimensional Hamiltonian sytems with applications to soft billiards, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series A, 15 (2006) 37-59, 2006
Szász Domokos, Varjú Tamás: Limit Laws and Recurrence for the Planar Lorentz Process with Infinite Horizon, Journal of Statistical Physics, 129, 59-80, 2007
Ai Hua Fan, Simon Károly, Tóth Rozália Hajnal: ''Contracting on Average Random IFS with Repelling Fixed Point'', Journal of Statistical Physics 122, 169-193, 2006
Dmitry Dolgopyat, Szász Domokos, Varjú Tamás: Recurrence Properties of Planar Lorentz Process, beküldve Duke Mathematical Journal, 2006
Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Exponential decay of correlations in multi-dimensional dispersing billiards, Annales Henri Poincare, közlésre elfogadva, 2008
Pavel Bachurin, Bálint Péter, Tóth Imre Péter: Local ergodicity for systems with growth properties including multi-dimensional dispersing billiards, közlésre elfogadva, Israel Journal of Mathematics, 2008
Bálint Péter, Tóth Bálint, Tóth Imre Péter: On the zero mass limit of tagged particle diffusion in the 1-d Rayleigh gas, Journal of Statistical Physics, 127 (2007) 657-675., 2007
Tóth Imre Péter: Ergodicity and Correlation Decay in Billiards; PhD disszertáció, http://www.renyi.hu/~mogy/publications/, 2006
Michel Dekking, Simon Károly: On the size of the algebraic difference of two random Cantor sets., Random Structures and Algorithms. 32, 205-222, 2008
Toóth Rozália Hajnal: Infinite Bernoulli convolutions with different probabilities, Discrete Contin. Dyn. Syst. 21 no. 2, 595--600., 2008
Bálint Péter, Sebastien Gouezel: Limit theorems in the stadium billiard, Communications in Mathematical Physics, 263 (2006) 461-512., 2006
Szász Domokos: Algebro-geometric methods for hard ball systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A. 22, 427-443, 2008
D. Dolgopyat, Szász Domokos, Varjú Tamás: Limit theorems for perturbed Lorentz Processes, submitted, 2008
Szász Domokos, Varjú Tamás: Local limit theorem for the Lorentz process and its recurrence in the plane, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 24, 257-278, 2004
Thomas Jordan, Simon Károly: Multifractal analysis of Birkhoff averages for some self-affine IFS., Dyn. Syst. 22 , no. 4, 469--483., 2007
Franz Hofbauer, Peter Raith, Simon Károly: Hausdorff dimension for some hyperbolic attractors with overlaps and without finite Markov partition., Ergodic Theory Dynam. Systems 27 , no. 4,, 2007
Anthony Manning, Simon, Károly: Subadditive pressure for triangular maps., Nonlinearity 20 (2007), no. 1, 133--149., 2007
Thomas Jordan, Thomas Mark Pollicott, Simon Károly: Hausdorff dimension for randomly perturbed self affine attractors., Comm. Math. Phys. 270 (2007), no. 2, 519--544, 2007
Simon, Károly; Boris Solomyak: Visibility for self-similar sets of dimension one in the plane., Real Anal. Exchange 32 (2006/07), no. 1, 67--78., 2007
Yuval Peres, Simon,Károly, Boris Solomyak: Absolute continuity for random iterated function systems with overlaps, J. London Math. Soc. (2) 74 (2006), no. 3, 739--756., 2006
Simon Károly: Fractals in Dynamical Systems MTA doktori értekezés, MTA, 2005



Back »