Effective, quantitative and computational investigations in diophntine number theory  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
67580
Type K
Principal investigator Győry, Kálmán
Title in Hungarian Effektív, kvantitatív és számítógépes vizsgálatok a diofantikus számelméletben
Title in English Effective, quantitative and computational investigations in diophntine number theory
Keywords in Hungarian diofantikus egyenletek
Keywords in English diophantine equations
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Department of Algebra and Number Theory (University of Debrecen)
Participants Bérczes, Attila
Gaál, István
Hajdu, Lajos
Pethő, Attila
Pintér, Ákos
Starting date 2007-07-01
Closing date 2011-08-31
Funding (in million HUF) 14.000
FTE (full time equivalent) 5.19
state closed project
Summary in Hungarian
A debreceni számelméleti iskola az elmúlt 30 évben nemzetközi viszonylatban meghatározó szerepet játszott a diofantikus számelméletben. A modern kutatások szinte valamennyi fő irányában élvonalbeli, esetenként áttörést jelentő eredményeket értünk el. A jelen pályázat keretein belül folytatni kívánjuk korábbi vizsgálatainkat. Emellett új irányokban is tervezünk kutatásokat. Kutatási elképzeléseinket a következő témakörök köré csoportosíthatjuk:

1) Minél általánosabb végességi kritériumok feltárása; végtelen sok megoldás esetén a megoldások eloszlásának kvantitatív vizsgálata, véges sok megoldás esetén a lehető legélesebb korlátok levezetése a megoldásszámra, valamint magukra a megoldásokra (széteső polinom egyenletek, egységegyenletek és közös általánosításaik, szuperelliptikus egyenletek).

2) Hatékony algoritmusok kidolgozása S-egész illetve S-egység megoldások meghatározására (index forma, S-egység- és elliptikus egyenletek).

3) Az összes megoldás meghatározása Fermat-típusú és binom Thue egyenletek bizonyos parametrikus családjai esetén.

4) A nyert eredmények alkalmazásai az algebrai számelméletben, a rekurzív sorozatok elméletében, valamint számtani sorozatok tagjainak szorzatában található teljes hatványok meghatározására.

A vizsgálatok során a jelenlegi modern, mély módszerek (pl. Baker-módszer, Wiles-módszer, számítógépes eljárások) alkalmazásán kívül szükségünk lesz azok bizonyos továbbfejlesztésére, új módszerek kidolgozására és mindezek alkalmas kombinálására.

Kutatásainkat egymással, valamint fiatal debreceni munkatársainkkal, hazai és külföldi kollégákkal együttműködve folytatjuk.
Summary
In the last three decades the number theory research group in Debrecen played an improtant, internationally respected role in diophantine number theory. We have achieved crucial, high level results in almost all main research areas, making a breakthrough in some cases. In the frame of the present project we intend to continue our previous research activity. Beside this, we plan to start research into new directions as well. We intend to concentrate on the following research topics:

1) Establishment of finiteness criteria of much general type; in case of infinitely many solutions the quantitative investigation of the set of solutions, in case of finitely many solutions deriving sharp bounds for the number of solutions and for the solutions themselves (decomposable polynomial equations, unit equations and their common generalizations, superelliptic equations).
2) Development of efficient algorithms for determining the solutions of S-integer and S-unit solutions (index form equations, S-unit equations and elliptic equations).
3) Determination of all solutions in case of certain parametric families of Fermat-type equations and binom Thue-equations.
4) Applications of our results in algebraic number theory, in the theory of recurrence sequences, and to the description of perfect powers in products of consecutive terms of arithmetic progressions.

In these investigations, beside the use of the present modern, deep methods (such as Baker’s method, Wiles’ method and computational procedures) we shall need certain improvements of these methods and developments of new ones, as well as the combinations of them.

We shall do this research in collaboration with each other, and also with colleagues from abroad.




 

Final report

  
Results in Hungarian
Számos jelentős effektív, kvantitatív és explicit eredmény született egy sor alapvető fontosságú diofantikus problémával kapcsolatban. Az eredmények elsősorban S-egységegyenletekre, szuperelliptikus és binom Thue egyenletekre, általánosított Fermat-típusú egyenletekre, valamint rekurzív sorozatokra, adott diszkriminánsú, illetve adott rezultánsú polinomokra és binér formákra, általánosított számrendszerekre, CNS polinomokra, többszörösen monogén rendekre és alkalmazásaikra vonatkoznak. A legkiemelkedőbb eredmények a következők. Effektív és egyben kvantitatív bizonyítást adtak Lang (1960) általánosított egységegyenletekre vonatkozó régi, híres ineffektív végességi tételére. Ez számos fontos alkalmazás előtt nyitotta meg az utat. Közös általánosítását adták az ismeretlen fokszámú binom Thue egyenletekre és az S-egységegyenletekre vonatkozó korábbi nevezetes effektív végességi tételeknek. Jelentős áttörést hajtottak végre egy több évszázados problémakörben, megmutatván, hogy legfeljebb 34 tagú számtani sorozat tagjainak a szorzata (bizonyos triviális kivételektől eletekintve) nem lehet teljes hatvány. Új módszereket, hatékony eljárásokat dolgozatk ki ismeretlen fokszámú binom Thue egyenletek, egységegyenletek, szuperelliptikus egyenletek, általánosított Fermat-féle egyenletek, valamint index forma egyenletek konkrét esetekben való megoldására. Mindezeknek számos fontos alkalmazását adták a diofantikus számelméletben és az algebari számelméletben.
Results in English
Several effective, quantitative and explicit results have been established on various diophantine problems of fundamental importance. These results concern mostly S-unit equations, superelliptic equations, binomial Thue equations, generalized Fermat-type equations, linear recurrences, binary forms of given discriminant resp. of given resultant, generalized number systems, CNS polynomials, multiply monogenic orders and their applications. The most important scientific achievements of the project are as follows. An effective and quantitative proof has been given for an old and famous ineffective finiteness result of Lang (1960) concerning generalized unit equations. This will yield many important applications. A common generalization has been obtained of the earlier effective finiteness theorems concerning S-unit equations resp. binomial Thue equations with unknown exponent. A considerable breakthrough has been made in connection with a problem going back to Fermat and Euler: it has been proved that (apart from some trivial exceptions) a product of at most 34 consecutive terms in an arithmetic progression can never be a perfect power. New methods and efficient algorithms have been elaborated for solving, in concrete cases, binomial Thue equations with unknown exponent, S-unit equations, superelliptic equations, generalized Fermat-type equations and index form equations. These led to many important applications in diophantine and algebraic number theory.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=67580
Decision
Yes





 

List of publications

  
Ádám Zs; HAJDU L; Luca F: Representing integers as linear combinations of S-units., Acta Arith. 138, 101-107, 2009
Akyama S; Brunotte H; PETHŐ A:: Reducible cubic CNS polynomials,, Periodica Math. Hungar. 55, 177-183,, 2007
Akiyama S; Brunotte H; PETHŐ A; Steiner W.: Periodicity of certain piecewise affine planar maps,, Tsukuba J. Math., 32, 197-251, 2008
Akiyama S; Brunotte H; PETHŐ A; Thuswaldner J.: Generalized radix representations and dynamical systems III., Osaka J. Mathematics 45, 347-374, 2008
Akiyama S; Brunotte H; PETHŐ A; Thuswaldner J.: Generalized radix representations and dynamical systems IV., Indagationas Math. 19, 333-348,, 2008
BÉRCZES A; Evertse J-H; GYŐRY K.: Effective results for linear equations in two unknowns from a multiplicative division group., Acta. Arith. 136, 331-349, 2009
BÉRCZES A; Evertse J-H; GYŐRY K; C. Pontreau: Effective results for points on certain subvarieties of tori, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 147, 69-94,, 2009
BÉRCZES A; HAJDU L; PETHŐ A: Arithmetic progressions in the solution sets of norm form equations., Rocky Mountain J. Math. 40, 383-395,, 2010
BÉRCZES A; Járási I: On the application of index forms in cryptography., Periodica Math. Hungar. 58, 35-45, 2009
BÉRCZES A; Pink I: On the diophantine equation x^2+p^{2k}=y^n., Arch. Math. 91 (2008), 505-517., 2008
Dujella A; PETHŐ A; Tadic P: On arithmetic progressions on Pellian equations,, Acta Math. Hungar 120, 29-38, 2008
I. GAÁL and M. Pohst,: Solving resultant form equations over number fields, Math Comput., 77 (2008), 2447-2453., 2008
I. GAÁL and M. Pohst,: Diophantine equations over global function fields IV: S-unit equations in several variables with an application to norm form equations,, J. Number Theory, 130, 493-506, 2010
I. GAÁL and M. Pohst,: A note on the number of solutions of resultant equations,, J. Algebra, Number Theory and Applications, 12, 185-189, 2008
GYŐRY K.: On certain arithmetic graphs and their applications to diophantine problems, Functiones et Approximatio, 39 pp. 289-314, 2008
GYŐRY K.: On the abc conjecture in algebraic number fields, Acta Arith, 133 (2008) pp. 281-295., 2008
GYŐRY K; HAJDU L; PINTÉR Á: Perfect powers from products of consecutive terms in arithmetic progression., Compositio Math. 145, 845-864, 2009
GYŐRY K; PINTÉR Á: Binomial Thue equations, ternary equations and power values of polynomials, Fundam. Prikl. Mat. 16, 61-77,, 2010
HAJDU L.: Powerful arithmetic progressions., Indag. Math. 19, 547-561, 2009
HAJDU L.: Optimal systems of fundamental S-units for LLL-reduction., Period. Math. Hungar. 59, 79-105,, 2009
HAJDU L; Kovács T.: Parallel LLL-reduction for bounding the integral solutions of elliptic equations., Math. Comp. 78, 1201-1210, 2009
HAJDU L; Tengely Sz;: Arithmetic progressions of squares, cubes and n-th powers., Functiones et Approximatio, 41, 129-138,, 2009
HAJDU L; Tengely Sz; Tijdeman R: Cubes in products of terms in arithmetic progression., Publ. Math. Debrecen 74, 215-232, 2009
Kirschenhofer P; PETHŐ A; Thuswaldner J: On a family of three term nonlinear integer recurrences., Int. J. Number Theory, 4, 135-146, 2008
PETHŐ A;: On the boundary of the closure of the set of contractive polynomials., Integers 19, 311-325, 2009
PETHŐ A; Ziegler V: Arithmetic progressions on Pell equations,, J. Number Theory, 128, 1389-1409, 2008
A. PINTÉR: On a class of diophantine equations related to the numbers of cells in hyperplane arrangements, J. Number Theory, 129, 1664-1668, 2009
A. PINTÉR: Binom Thue egyenletek, ternér egyenletek és polinomok hatványértékei, MTA doktori értekezés, Debrecen, 2008
Ismail Naci Cangul, Musa Demirci, Florian Luca, A. PINTÉR: On the diophantine equation x^2+2^a 11^b=y^n,, Fibonacci Quarterly 48, 39-46,, 2010
HAJDU L, and R. Tijdeman: A criterion for polynomials to divide infinitely many k-nomials, in: Diophantine Approximations, (H.P. Schlickewei, K. Schmidt and R. F. Tichy, eds.), Developments in Mathematics 16, Springer-Verlag, 211-220, 2008
HAJDU L, and N. Saradha: On a problem of Pillai and its generalizations, Acta Arith. 144, 323-347,, 2010
HAJDU L, A. Schinzel and M. Skalba: Multiplicative properties of sets of positive integers, Archiv der Math. 93, 269-276, 2009
GAÁL I. and M. Pohst: Diophantine equations over global function fields III: An application to resultant form equations, Funct. Approx. Comment. Math. XXXIX. 97-102, 2008
GAÁL I. and M. Pohst: Diophantine equations over global function fields V: Resultant equations in two unknown polinomials, Int. J. Pure Appl. Math., 53, 307-317, 2009
Bazsó A, BÉRCZES A, GYŐRY K, and PINTÉR Á,: On the resolution of equations Ax^n-By^n=C in integers x,y and n ≥ 3,, II, Publ. Math.Debrecen 76, 227-250., 2010
GYŐRY K, and C. Smyth,: The divisibility of a^n – b^n by powers of n,, Integers, 10, 319-334,, 2010
GYŐRY K,: S-unit equations in number fields: effective results, generalizations, abc-conjecture, in:, Analytic number theory and related topics, Kyoto, 2009. 1710, 71-84,, 2010
GYŐRY K, HAJDU L, and Tijdeman R,: Irreducibility criteria of Schur-type and Pólya-type,, Monatsh. Math. 163, 415-443,, 2011
A. PETHŐ,: Fifteen problems in number theory,, Acta Univ. Sap., Math. 2, 72—83,, 2010
P. Kirschenhofer, A. PETHŐ, P. Surer and J. Thuswaldner,: Finite and periodic orbits of shift radix systems,, J. Théorie Nombres de Bordeaux, 22, 421-448, 2010
A. Huszti and A. PETHŐ,: A secure electronic exam system,, Publ. Math. Debrecen, (közlésre elfogadva),, 2010
C. Fuchs and A. PETHŐ,: On composite rational functions having a bounded number of zeros and poles,, Proc. AMS 139, 31-38,, 2011
A. BÉRCZES, J. Folláth and A. PETHŐ,: On a family of collision-free functions,, Tatra Mountains Math. Publ. 47, 1-13,, 2010
I. GAÁL and M. Pohst,: On solving norm equations in global function fields,, J. Math. Crypt., 237-248,, 2009
I. GAÁL and M. Pohst,: Solving explicitly diophantine equations of type F(x,y)=G(x,y) over function fields,, Funct. Approx. Comment. Math., (közlésre elfogadva),, 2010
HAJDU L. and N. Saradha,: On a problem of Recaman and its generalization,, J. Number Theory, 131. 18-24,, 2011
Hajdu A., HAJDU L. and R. Tijdeman,: Approximation of Euclidean distances by chamfer distances,, Acta Cybernetica (közlésre benyújtva)., 2010
HAJDU L.,: Számtani sorozatok multiplikatív tulajdonságú halmazokban,, MTA doktori értekezés,, 2009
BÉRCZES A.: On the sumsets of geometric progressions,, Publ. Math. Debrecen, 77, 261-276,, 2010
BÉRCZES A., Liptai K., Pink I.: On balancing recurrence sequences,, Fibonacci Quart., 48, 121-128,, 2010
Liptay K, Luca F, PINTER A, Szalay L,: Generalized balancing numbers, Indagationes Mathematicae-New Series 20, 87-100,, 2009
Gy. Péter, A. PINTER , A. Schinzel,: On equal values of trinomials,, Monatshefte für Mathematik Paper DOI: 10.1007/s00605-009-0169-0,, 2010
Cangul IN, Demirci M, Luca F, PINTER A, Soydan G,: On the diophantine equation x^2+2^a 11^b=y^n,, Fibonacci Quartely 48, 39-46,, 2010
A. BÉRCZES, J. H. Evertse and K. GYŐRY,: Multiply monogenic orders,, Ann. Scuola Normale Sup. Pisa, (közlésre elfogadva),, 2011
PINTER A, van der Poorten A,: A simple observation on simple zeros,, Archiv Math, 35, 355-361,, 2010
J. H. Evertse and K. GYŐRY,: Effective results for unit equations over finitly generated domains,, J Reine Angew. Math (megjelenés alatt), 2011
A. Dujella, K. GYŐRY and A PINTER: On power values of pyramidal numbers, T,, Acta Arith, (megjelenés alatt), 2011
A. PETHŐ and sc V. Ziegler,: On biquadratic fields that admit unit power integral basis,, Acta Math. Hungar., (megjelenés alatt), 2011
Manfred G. Madritsch and A. PETHŐ,: Asymptotic normality of additive functions on polynomial sequences in canonical number systems,, J. Number Theory, 131, 1553-1574., 2011
Csernusné Ádámkó Éva és PETHŐ Attila: Helyszin-bélyegzés, hitelesített GPS koordináták, in Az elmélet és a gyakorlat találkozása a térinformatikában, Szerk: Dr. Lóky József, Debrecen pp. 381-388,, 2011
A. PETHŐ and M.E. Pohst,: On the indices of multiquadratic number fields, Acta Arith. (megjelenés alatt), 2011
Manfred G. Madritsch and A. PETHŐ,: A note on generalized radix representations and dynamical systems,, (közlésre benyujtva), 2011
I. GAÁL, and M. Pohst: The sum of two S-units being a perfect power in global function fields, Math. Slovaka, (megjelenés alatt), 2011
I. GAÁL and T. Szabó,: A note on the minimal indices of pure cubic fields, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications, 19, 129-139,, 2010
C. Fieker, I. GAÁLl and M. Pohst: On computing integral points of a Mordell curve over rational function fields in characteristic, kézirat, 2010
A. PINTER, N. Varga,: Resolution of a nontrivial diophantine equation without reduction methods,, Publ. Math. Debrecen, (megjelenés alatt), 2011
J. Ferenczik, Á. PINTÉR, B. Porvázsnyik,: On Equal Values of Stirling Numbers of the Second Kind., Applied Mathematics and Computation 218, 980-984,, 2011
Grenczer M., PINTER A, Zsuga J, Kemeny-Beke A, Juhasz B, Szodoray P, Tosaki A, Gesztelyi R,: The influence of affinity, efficacy, and slope factor on the estimates obtained by receptorial responsiveness method (RRM): A computer simulation study., Canadian Journal of Physiology and Pharmatology 88, 1061-1073,, 2010
Grenczer M, Zsuga J, Majoros L, PINTER A, Kemeny-Beke A, Juhasz B, Tosaki A, Gesztelyi R,: Effect of asymmetry of concentration-response curves on the results obtained by the receptorial responsiveness method (RRM): An in silico study., Canadian Journal of Physiology and Pharmacology 88, 1074-1083,, 2010
V. Ziegler, Á. PINTÉR,: On Arithmetic Progressions in Recurrences-A New Characterization of the Fibonacci sequence,, Journal of Number Theory, (megjelenés alatt), 2011
A. Bazsó, Á. PINTÉR, H.M. Srivastava,: A Refinement of Faulhabers Theorem Concerning Sums of Powers of Natural Numbers, Applied Math. Letters, (megjelenés alatt), 2011
Á. PINTÉR, Sz. Tengely: The Korteweg-deVries equation and diophantine problem, Acta Arithmetica, (megjelenés alatt),, 2011
HAJDU L. and F. Luca,: On the length of arithmetic progressions in linear combinations of S-units,, Archiv der Math. 94, 357-363,, 2010
HAJDU L. and Kovács T.,: Almost fifth powers in arithmetic progressions, J. Number Theory 131, 1912-1923,, 2011
K.J. Batenburg, W. Fortes, HAJDU L. and R. Tijdeman,: Bounds on the difference between reconstructions in binary tomography,, Discrete Geometry and Computer Imaginary 2011, LNCS 6607, 369-380,, 2011
Kovács L., Tomán H., Jónás Á., HAJDU L. and Hajdu A.,: Generalizing the majority voting scheme to conditional voting,, Lecture Notes in Artificial Intelligence 6679, 189-196,, 2011
HAJDU L. and N. Saradha,: Disproof of a conjecture of Jacobsthal,, Math. Comp. (közlésre elfogadva), 2011
HAJDU L. and R. Tijdeman,: Representing integers as linear combinations of powers,, Publ. Math. Debrecen, (közlésre elfogadva), 2011
BÉRCZES A., A. Dujella, HAJDU L. and F. Luca,: On the size of sest whose elements have perfect power n-shifted products,, Publ. Math. Debrecen (közlésre elfogadva), 2011
HAJDU L., N. Saradha and R. Tijdeman,: On a conjecture of Pomerance,, Acta Arith. (közlésre elfogadva), 2011
B. van Dalen, HAJDU L. és R. Tijdeman,: Bounds for discrete tomography solutions,, Indag Math. (közlésre benyujtva), 2011
BÉRCZES A, Pink I.: On the Diophantine Equation x^2+d^{2k+1}=y^n,, Glasgow Math. J. (megjelenés alatt),, 2011
BÉRCZES A. Ziegler V.,: On geometric progressions on Pell equations and Lucas sequences,, (megjelenés alatt), 2011
BÉRCZES A., Dujella A., HAJDU L., F. Luca,: On the size of sets whose elements have perfect power n-shifted products,, Publ. Math. Debrecen (közlésre elfogadva), 2011
BÉRCZES A., F. Luca,: On the largest prime factor of numerators of Bernoulli numbers,, Indag. Math., (megjelenés alatt),, 2011
BÉRCZES A., F. Luca,: On the sum of digits of numerators of Bernoulli numbers,, Canad. Math. Bull., (megjelenés alatt),, 2011
A. BÉRCZES, J.H. Evretse and K. GYŐRY,: On the numbers of pairs of binary forms with given degree and given resultant,, Acta Arith., 128, 19-54., 2007
A. BÉRCZES, J.H. Evertse and K. GYŐRY,: Diophantine problems related to discriminants and resultants of binary forms, in, Diophantine Geometry, Pisa 45-63, 2007
K. GYŐRY and Á. PINTÉR,: On the resolution of equations Ax^n - By^n = C in integers x, y and n≥3,, Publ. Math. Debrecen 70, 483-501, 2007
K. GYŐRY and Á. PINTÉR,: Polynomial powers and a common generalization of binomial Thue-Mahler equations and S-unit equqtions, in Diophantine Equations,, Narosa Publ. House, New Delhi, India, 103-119., 2008



Back »