Automorphic forms and L-functions  Page description

Help  Print 
Back »

 

Details of project

 
Identifier
75126
Type PD
Principal investigator Harcos, Gergely
Title in Hungarian Automorf formák és L-függvények
Title in English Automorphic forms and L-functions
Keywords in Hungarian automorf formák, L-függvények, szubkonvex becslések
Keywords in English automorphic forms, L-functions, subconvex bounds
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Ortelius classification: Number theory
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics, HAS
Starting date 2008-11-01
Closing date 2011-11-30
Funding (in million HUF) 17.013
FTE (full time equivalent) 2.40
state closed project
Summary in Hungarian
Az automorf formák és L-függvények a számelméletben nagy hagyománnyal rendelkeznek, amely Jacobi, Dirichlet
és Riemann klasszikus művéig visszavezethető. Láthatóvá teszik az egészek rejtett szimmetriáit és mély kapcsolatot teremtenek a matematika más területeivel mint az algebrai geometria, kombinatorika, reprezentációelmélet, ergodelmélet, dinamikai rendszerek és matematikai fizika. A vezető kutató spektrálemléleti és reprezentációelméleti módszerek alkalmazásával tervez új egyenlőtlenségeket bizonyítani automorf formákra és L-függvényekre. Ilyen egyenlőtlenségek kulcsszerepet játszanak egyenletes eloszlási jelenségekről szóló nehéz diofantikus problémák megoldásában.
Summary
Automorphic forms and L-functions have a long tradition in number theory which can be traced back to the classical work of Jacobi, Dirichlet, and Riemann. They make hidden symmetries of integers visible and provide deep links to other branches of mathematics such as algebraic geometry, combinatorics, representation theory, ergodic theory, dynamical systems, and mathematical physics. The principal investigator intends to apply methods from spectral theory and representation theory to establish new bounds for automorphic forms and L-functions. Such bounds play a key role in the solution of difficult Diophantine problems addressing equidistribution phenomena.





 

Final report

 
Results in Hungarian
Valentin Blomerrel Burgess-típusú szubkonvex becslést igazoltunk csavart Hilbert moduláris L-függvényekre, megjavítva Cogdell-PiatetskiShapiro-Sarnak és Venkatesh idevágó eredményeit. Közvetlen alkalmazásként az eddigeknél hatékonyabban tudjuk becsülni pozitív definit ternér kvadratikus formák előállításszámait egy teljesen valós számtest egészei felett. Valentin Blomerrel aszimptotikus formulát adtunk Rankin-Selberg L-függvények bizonyos archimédeszi családjaira. Az eredmény érdekessége, hogy amikor a Rankin-Selberg konvolúcióban a rögzített formát Eisenstein-sornak választjuk, az aszimptotikában a szokásos logaritmikus tagok mellett két forgó tag is megjelenik. Egy speciális esetben a holomorf csúcsformákhoz társított L-függvények negyedik momentumáról szól az eredmény. Nicolas Templier-val új becslést adtunk Hecke-Maass csúcsformák szuprémumára a szint aspektusban. Az eredmény analóg a Riemann zeta-függvényre vonatkozó szubkonvex Weyl-korláttal. A közelmúltban - más módszerrel - hasonló erejű tételt igazolt Blomer-Michel kompakt aritmetikus felületekre. Mi a kompaktság hiányát az Atkin-Lehner operátorok egy újszerű alkalmazásával kezeljük hatékonyan.
Results in English
In joint work with Valentin Blomer we proved a Burgess-like subconvex bound for twisted Hilbert modular L-functions, improving on the relevant results of Cogdell-PiatetskiShapiro-Sarnak and Venkatesh. As a direct application, we can estimate more efficiently the number of representations by a positive definite ternary quadratic form over the integers of a totally real number field. In joint work with Valentin Blomer we established an asymptotic formula for certain archimedean families of Rankin-Selberg L-functions. As an interesting feature of the result, when the fixed form in the Rankin-Selberg convolution is chosen to be an Eisenstein series, two winding terms appear in addition to the usual logarithmic terms. A special case treats the fourth moment of L-functions associated with holomorphic cusp forms. In joint work with Nicolas Templier we established a new bound for the sup-norm of Hecke-Maass cusp forms in the level aspect. The result is analogous to the subconvex Weyl bound for the Riemann zeta function. Very recently, Blomer-Michel proved, with a different method, a theorem of similar strength for compact arithmetic surfaces. We handle the lack of compactness efficiently by a novel application of Atkin-Lehner operators.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=75126
Decision
Yes





 

List of publications

 
Harcos G, Templier N: On the sup-norm of Maass cusp forms of large level: II, Int. Math. Res. Not., Art. ID rnr202, 11 pp., 2011
Blomer V, Harcos G: Twisted L-functions over number fields and Hilbert's eleventh problem, Geom. Funct. Anal. 20 (2010), 1-52., 2010
Blomer V, Harcos G: L-functions, automorphic forms, and arithmetic, pp. 11-25 in Symmetries in Algebra and Number Theory (Kersten I, Meyer R eds.), Universitätsverlag Göttingen, 2009




Back »