linear systems, Lefschetz-type theorems, singularities, entropy, automorphism
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Algebraic geometry
Panel
Mathematics and Computing Science
Department or equivalent
Department of Algebra (Budapest University of Technology and Economics)
Starting date
2009-04-01
Closing date
2011-02-28
Funding (in million HUF)
2.813
FTE (full time equivalent)
0.77
state
closed project
Summary in Hungarian
A pályázat célja a magasabb-dimenziós komplex algebrai geometria bizonyos jelenségeinek a vizsgálata. Vizsgálataink elsődleges tárgya az algebrai varietások szerkezete, amit leginkább lineáris rendszerek és invariánsaik segitségével tervezünk tanulmányozni. A projekt keretein belül a következőkkel foglalkozunk: vizsgáljuk Lefschetz-típusú tételek létezését az effektív divizorok kúpjának belső szerkezetére, az ACC sejtést Hacon és McKernan új eredményeinek tükrében, illetve kisérletet teszünk olyan Calabi-Yau-sokaságok konstrukciójára, amelyek rendelkeznek pozitív topologikus entrópiájú automorfizmusokkal. Az általunk alkalmazott módszerek gyakran épülnek a lineáris rendszerek aszimptotikus invariánsaival foglalkozó korábbi munkánkra, illetve a Szabó Endrével közös kutatásainkra az effektív kúp belső szerkezetét illetően.
Summary
Our aim is to explore various aspects of higher-dimensional complex geometry. We are interested in the structure of algebraic varieties, which we study mostly with the help of linear systems and their invariants. In the framework of this project we investigate the possibility of obtaining Lefschetz-type results for the interior structure of the cone of effective divisors, the ACC conjecture in the light of recent developments due to Hacon and McKernan, and finally we make an attempt to construct Calabi-Yau varieties with automorphisms of positive topological entropy. The methods we employ are often based on our previous work on asymptotic invariants of linear systems, and on joint work with Endre Szabó on the interior structure of the effective cone.
Final report
Results in Hungarian
A projekt során magasabb-dimenziós tereken értelmezett lineáris rendszerek pozitivitási tulajdonságait vizsgáltuk. A kutatás középpontjában az ún. nagy egyenesnyalábok álltak, amelyek a vizsgált térben talált legtöbb görbét pozitívan metszik. Racionális függvények eltűnési helyeit és multiplicitásait nézve hozzá tudunk rendelni egy konvex testet (az ún. Okounkov-testet) egy nagy egyenesnyalábhoz, ami a nyaláb aszimptotikus viselkedését nagyon jól leírja. Bebizonyítottuk, hogy az összes varietáson együtt is csak megszámlálható sok Okounkov-test, illetve térfogatfüggvény és bőséges kúp létezik. Leírtuk a lehetséges Okounkov-testeket felületeken, és adtunk példát olyan Fano-varietásra, ahol van sok nem-poliéderes Okounkov-test. Ezen munkánk folyományaként mutattunk olyan sima varietást, amelynek a térfogatvüggvénye transzcendens egy nyílt halmazon. A kérdéskör tanulmányozása közben felmerült egy lehetséges kapcsolat divízorok térfogatai és periódusok között. Általánosítottuk Serre, Kawamata-Viehweg, és Fujita eltűnési tételeit részlegesen pozitív egyenesnyalábokra, illetve foglalkoztunk negatív önmetszésű görbékkel sima felületeken.
Results in English
During the project we studied positivity properties of linear systems on higher-dimensional spaces. The focus of our research were so-called big line bundles, which intersect most curves in the space in question positively. By looking at vanishing loci and multiplicities of rational functions, one can attach a convex body (the Okounkov body) to a given big line bundle, which describes the asymptotic behaviour of the bundle very precisely. In the course of the project we proved that there exist only countably many Okounkov bodies for all varieties, and that there exist only countably many volume functions and ample cones. We gave a description of the possible Okounkov bodies on surfaces, and gave an example of a Fano variety with many non-polyhedral Okounkov bodies. As a product of our studies we found a variety whose volume function is transcendent on an open subset. Many of these results point towards a possible connection between volumes of divisors and periods. In a different direction, we generalized the vanishing theorems of Serre, Kawamata-Viehweg, and Fujita for partially positive line bundles. In addition to this, we studied curves of negative self-intersection on smooth surfaces.
