Lineáris struktúrák és Segre típusú módszerek véges geometriákban
Angol cím
Linear Structures and Segre type methods in finite geometry
magyar kulcsszavak
véges geometriák, polinomok, véges testek
angol kulcsszavak
finite geometries, polynomials, finite fields
megadott besorolás
Matematika (Műszaki és Természettudományok Kollégiuma)
100 %
Ortelius tudományág: Diszkrét matematika
zsűri
Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely
Geometriai és Algebrai Kombinatorika Kutatócsoport (HUN-REN Támogatott Kutatócsoportok Irodája)
projekt kezdete
2019-12-01
projekt vége
2021-06-30
aktuális összeg (MFt)
14.260
FTE (kutatóév egyenérték)
1.27
állapot
aktív projekt
Zárójelentés
kutatási eredmények (magyarul)
A projektben véges geometriai problémákat vizsgáltunk algebrai módszerekkel. Igazoltunk egy maximum scattered alterek (és a nekik megfelelő MRD-kódok) számára vonatkozó sejtést. A scattered fogalom általánosításaként definiáltuk a h-scattered altereket. Bevezettünk rajtuk egy dualitás relációt, felsőkorlátot adtunk a dimenziójukra és bizonyos esetekben megmutattuk, hogy ez a korlát éles. Az extremális példák különleges kombinatorikus tulajdonságait igazoltuk. További általánosításként, definiáltuk az evazív altereket. Néhány nyitott eseteben meghatároztuk scattered alterek maximális dimenzióját. Az első példákat adtuk olyan MRD-kódokra, melyeknek mindkét oldali idealizátora maximális méretű. Ilyen kódokra vonatkozó nem-létezési eredményeket is igazoltunk, illetve megmutattuk, hogyan kapcsolódnak Moore típusú mátrixokhoz. Általánosított Korchmáros-Mazzocca ívekre vonatkozó konstrukciókat és karakterizációs tételeket adtunk. Megmutattuk, hogy bizonyos feltételek mellett van nukleuszuk. AG(2,q) olyan ponthalmazait vizsgáltuk, melyeket az egy párhuzamossági osztályba eső egyenesek nagy része hasonlóan metsz. Megmutattuk, hogy az ettől eltérően viselkedő egyenesek a duális síkon egy alacsony fokú görbére esnek. PG(4n+1,q)-ban, q>2, nagyságrendileg igazoltuk, hogy Segre 1959-ből származó, a legkisebb teljes süveg méretére vonatkozó alsó korlátja éles.
kutatási eredmények (angolul)
In this project we studied finite geometric problems with algebraic techniques. We proved a conjecture on the number of inequivalent maximum scattered subspaces (and corresponding MRD-codes) contained in the earliest sporadic family of such objects. We generalised the notion of scatteredness and studied h-scattered subspaces. We introduced a duality relation among them, proved an upper bound on their dimension, gave constructions obtaining this upper bound and proved particular combinatorial properties of these extremal objects. We generalised further this notion and introduced evasive subspaces. In some of the open cases we determined the maximum possible dimension of scattered subspaces. We found the first examples of MRD-codes which are not of Gabidulin type but the sizes of both of their idealisers attain the maximum. We also proved non-existence results for such objects and linked them to Moore type matrices. We proved characterisation type results and presented various constructions for generalised Korchmáros-Mazzocca arcs. Under certain conditions, we could prove that they have a nucleus. We investigated point sets of AG(2,q) with regular intersection patterns with respect to parallel lines. We proved that the lines with exceptional intersection numbers are contained in a small degree curve of the dual plane. In PG(4n+1,q), q>2, we proved that the lower bound of Segre from 1959 for the size of the smallest complete cap is essentially sharp.
