Sztochasztikus kölcsönható rendszerek egyensúlyi viselkedése és fluktuációi  részletek

súgó  nyomtatás 
vissza »

 

Projekt adatai

 
azonosító
67729
típus F
Vezető kutató Balázs Márton
magyar cím Sztochasztikus kölcsönható rendszerek egyensúlyi viselkedése és fluktuációi
Angol cím Equilibrium Behavior and Fluctuations of Stochastic Interacting Systems
magyar kulcsszavak Kölcsönható sztochasztikus rendszerek, lökéshullámok, másodosztalyú részecskék, t^(1/3) skálázású fluktuációk
angol kulcsszavak Stochastic interacting systems, shock waves, second class particles, t^(1/3)-scaling fluctuations
megadott besorolás
Matematika (Élettelen Természettudományok Kollégiuma)100 %
zsűri Műszaki és Természettudományi zsűrielnökök
Kutatóhely Sztochasztika Tanszék (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem)
projekt kezdete 2007-07-01
projekt vége 2011-06-30
aktuális összeg (MFt) 1.800
FTE (kutatóév egyenérték) 1.20
állapot lezárult projekt
magyar összefoglaló
Az egyik legegyszerűbb sztochasztikus kölcsönható rendszer, az egyszerű kizárásos folyamat (SE) vizsgálatában az utóbbi időben több ponton áttörést értek el, melyet a modell egyszerű kombinatorikája tett lehetővé. Ezek az eredmények minden jel szerint teljes modellcsaládokra érvényesek, ennek vizsgálatát tervezem a következő három évben:

(1) A SE t^(1/3) skálázású fluktuációit bizonyították véletlen mátrixok segítségével. Cator és Groeneboom valószínűségelméleti módszerei nyomán társszerzőimmel a kombinatorikát megkerülve sikerült ezirányú eredményeket kapni e modellre. A módszer alkalmasnak látszik teljes modellcsaládok tárgyalására, melyeknél hasonló skálázás sejthető.

(2) Schütz és társszerzői kvantum-algebra formalizmus segítségével a SE lökéshullámaiban találtak bizonyos eloszlásokat, melyek a másodosztályú részecske környezetét írják le. Az eloszlások jelenlétét más modellekben már bizonyítottam, most a formalizmus kiterjeszthetőségét tervezem megvizsgálni.

(3) Ferrari és Kipnis SE-re kapott eredményeit is szeretném általánosítani, mely szerint a ritkulási hullámba helyezett másodosztályú részecske egy véletlen sebességet választ. E sebesség létezése és eloszlása más modellekben nem ismeretes.

E kérdések kutatása meglévő módszerek és eredmények általánosabb képbe helyezéséhez, potenciálisan új módszerek kifejlesztéséhez, valamint a tudományterületek (véletlen mátrixok, PDE-elméletek, kvantum algebra formalizmus) közötti átjárás erősítéséhez vezethet.
angol összefoglaló
Breakthroughs have recently been achieved at several points in the investigation of the simple exclusion (SE), one of the simplest stochastic interacting system. This was possible due to the simple combinatorics of this process. However, these results seem to hold for whole families of models. In the next three years I plan to investigate possible extensions in the following directions:

(1) t^(1/3)-order fluctuations were proved in SE, using random matrices. Based on a purely probabilistic method of Cator and Groeneboom we managed to obtain results in similar directions for this process. The method seems to be applicable to a whole family of processes, where similar scaling is conjectured.

(2) Schütz and co-authors found, with the use of a quantum algebra formalism, special distributions which describe the environment of a second class particle in SE. I have found similar distributions in other models, now I am planning to extend the formalism to these.

(3) I would like to generalize results of Ferrari and Kipnis, which state that the second class particle in a rarefaction wave of SE picks a random speed. The existence and distribution of such a speed is not known in other models.

Investigation of these questions leads to a more general view of existing results, potentially to developing new methods, and strengthening inter-area connections (random matrices, PDE-theories, quantum algebra formalisms).





 

Zárójelentés

 
kutatási eredmények (magyarul)
A kutatás során társszerzõimmel négy különbözõ témával foglalkoztam: 1. A 2006-ban a last passage perkolációra majd a kizárásos folyamatra kifejlesztett módszerünket jelentõsen kiterjesztettük, így több kölcsönható részecskerendszerre is bizonyítottuk az áramfluktuációk anomális skálázását. Szintén általánosítottunk a kizárásos folyamat gyengén aszimmetrikus esetére is, ennek segítségével a fizikában alapvetõ jelentõségû KPZ egyenlet megfelelõ módon értelmezett megoldásának hasonló skálázási tulajdonságát vizsgáltuk. 2. A korábban részecskerendszerekben ismert speciális bolyongó lökéshullám-megoldásoknak új interpretációt adtunk, és megmutattuk, hogy a lökéshullámba ültetett másodosztályú részecske is egyszerû aszimmetrikus bolyongást végez ezekben a speciális esetekben. 3. Egy térbeli struktúrával kevéssé rendelkezõ, csak tömegközéppontjukon keresztül kölcsönható részecskerendszert vizsgáltunk, a sokrészecskés, fluid limesz létezését bizonyítottuk. 4. Általánosítottuk a jól ismert ellenálláshálózat - reverzibilis Markov lánc kapcsolatot az irreverzibilis esetre. Találtunk egy áramköri elemet, amivel ez lehetséges; az észrevétel felhasználhatóságát még vizsgáljuk.
kutatási eredmények (angolul)
Within this research project, with co-authors, I investigated four different topics: 1. We significantly extended our method that was originally applied on last passage percolation and later on the asymmetric simple exclusion process. This way we proved the anomalous scaling of current-fluctuations for various interacting systems. We also generalized towards the weakly asymmetric case of the exclusion process, thus proving the analogous scaling of the appropriate solution of the KPZ equation, the one of fundamental importance in Physics. 2. We gave a new interpretation to the well-known random walking shock solutions in interacting systems, and showed that the second class particle, inserted in the middle of such a shock, also performs the simple random walk in these special cases. 3. We investigated a spatially less structured interacting system in which particles interact via their center of mass. We proved the existence of the fluid limit in which the number of particles tends to infinity. 4. We generalized the well-known correspondence between reversible Markov chains and electric networks to the irreversible case. To be more precise, we found an electric component that makes the generalization possible; we currently investigate possible uses of our findings.
a zárójelentés teljes szövege https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=67729
döntés eredménye
igen





 

Közleményjegyzék

 
Balázs Márton, Júlia Komjáthy, Timo Seppäläinen: Fluctuation bounds in the exponential bricklayers process, http://arxiv.org/abs/1107.4752, 2011
Balázs Márton, Rácz Miklós Zoltán, Tóth Bálint: Modeling Flocks and Prices: Jumping Particles with an Attractive Interaction, http://arxiv.org/abs/1107.3289, 2011
Balázs Márton, Komjáthy Júlia, Timo Seppäläinen: Microscopic concavity and fluctuation bounds in a class of deposition processes, Elfogadva: ANNALES DE L'INSTITUT HENRI POINCARE-PROBABILITES ET STATISTIQUES, 2011
Balázs Márton, Jeremy Quastel, Timo Seppäläinen: Scaling exponent for the Hopf-Cole solution of KPZ/Stochastic Burgers., JOURNAL OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 24: pp. 683-708. (2011), 2011
Balázs Márton, Timo Seppäläinen: Order of current variance and diffusivity in the asymmetric simple exclusion process, ANNALS OF MATHEMATICS 171:(2) pp. 619-647. (2010), 2010
Balázs Márton, Farkas György, Kovács Péter, Rákos Attila: Random walk of second class particles in product shock measures, JOURNAL OF STATISTICAL PHYSICS 139:(2) pp. 252-279. (2010), 2010
Balázs Márton, Timo Seppäläinen: Fluctuation bounds for the asymmetric simple exclusion process, ALEA - LATIN AMERICAN JOURNAL OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS VI: pp. 1-24., 2009
Balázs Márton, Komjáthy Júlia: Order of current variance and diffusivity in the rate one totally asymmetric zero range process, Journal of Statistical Physics, pp. 59-78, Volume 133, Number 1, 2008 október, 2008
Balázs Márton, Timo Seppäläinen: Exact connections between current fluctuations and the second class particle in a class of deposition models, Journal of Statistical Physics, pp. 431-455, Volume 127, Number 2, 2007 április, 2007
Balázs Márton, Firas Rassoul-Agha, Timo Seppäläinen, Sunder Sethuraman: Existence of the zero range process and a deposition model with superlinear growth rates, The Annals of Probability, Vol. 35, No. 4 - 2007 július, 2007




vissza »