Topological properties of algebraic singularities  Page description

Help  Print 
Back »
 

Details of project

  
Identifier
67928
Type K
Principal investigator Némethi, András
Title in Hungarian Algebrai szingularitások topológiai tulajdonságai
Title in English Topological properties of algebraic singularities
Keywords in Hungarian geometriai génusz, Seiberg-Witten invariáns, Newton diagram, deformáció elmélet, egzotikus struktúrák
Keywords in English geometric genus, Seiberg-Witten invaraints, Newton diagrams, deformation theory, exotic structures
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)100 %
Panel Mathematics and Computing Science
Department or equivalent Alfréd Rényi Institute of Mathematics
Participants Braun, Gábor
Stipsicz, András
Starting date 2007-07-01
Closing date 2011-07-31
Funding (in million HUF) 10.292
FTE (full time equivalent) 5.27
state closed project
Summary in Hungarian
A pályázat olyan problémák és sejtések megtámadását tűzi ki célul, melyek algebrai/analitikus komplex felület-szingularitások és alacsony dimenziós topológia határterületein helyezkednek el. A problémákat összefűző közös jellemző a szingularitás hurkát (link) megadó negatív definit gráf-sokaság (illetve Seiberg-Witten invariánsának) vizsgálata.

A következő problémákat tűztük ki: (1) Határozzuk meg egy "szép" felület-szingularitás geometriai génuszát a hurok Seiberg-Witten invariánsaiból. (2) Találjunk topológikus megfelelőt a multiplicitás fogalmára és lássuk be a Zariski sejtést. (3) Egy Newton-nemelfajuló szingularitásra határozzuk meg a szingularitás kombinatorikus adatait a hurok topológiájának ismeretében. (4) Osztályozzuk az "unicuspidal" racionális síkgörbéket. (5) Osztályozzuk negatív definit gráf-sokaságok határaként előálló 3-sokaságok (alkalmas) racionális homológia diszk betöltéseit. (6) Ezekre fejlesszünk ki egy, Fintushel és Stern eredeti kontrukciójához hasonló, racionális lefújási módszert és számítsuk ki a megfelelő Seiberg-Witten invariánsokat. (7) Találjunk egzotikus sima struktúrákat a komplex projektív sík 0,1,2,3,4-szeres felfújtján. (8) Válaszoljunk meg néhányat Kollár (arXiv:math.AG/0602562) által, felület-szingularitások analitikus és topológikus tulajdonságaira vonatkozó, feltett kérdések/sejtések közül.

A pályázat ezekre a kérdéseket/problémákat egységes módon tevezi támadni, alkalmazva a modern szingularitás-elmélet és alacsony dimenziós topológia legújabb eszközeit, módszereit. Reményeink szerint a pályázat segítségével fontos előrelépéseket tudunk tenni a fent felsorolt kérdésekben.
Summary
The proposal attacks crucial conjectures and problems lying on the intersection of the algebraic/analytic (singular) surfaces and low-dimensional topology. The key connection is provided by the 3-dimensional negative definite plumbed graph-manifolds (the link) and their Seiberg-Witten invariants.

Some of these conjectures, open problems are: (1) Recover the geometric genus of a `nice' surface singularity from the Seiberg-Witten invariants of the link. (2) Similarly, find the topological candidate for the multiplicity, and prove (the classical, or the `stronger' version) of Zariski's conjecture. (3) For Newton non-degenerate singularities, recover from the topology of the link all the invariants computed combinatorially from the Newton polytope. (4) Classify all the unicuspidal rational projective plane curves via the conjectured identity provided by the Seiberg-Witten approach. (5) Classify the rational homology ball fillings of negative definite plumbed 3-manifolds and find natural constructions which embed them in closed 4-manifolds. (6) Develop for them the rational blow-down process of Fintushel-Stern computing the corresponding Seiberg-Witten invariants. (7) Find exotic structures on the projective plane (blown up in 0/1/2/3/4 points). (8) Answer (some) of the recent questions/conjectures of Kollár's (arXiv:math.AG/0602562) about the topological and analytical fillings of links of singularities.

The proposal handles all these questions/problems in a unified way, and aims to solve them using powerful recent methods of low-dimensional topology and new ideas of singularity theory. It predicts substantial development in all of these subjects.




 

Final report

  
Results in Hungarian
A Rácspont Kohomológia normál felület szingularitások rezoluciós gráfjainak rácspontszerkezetéhez rendelt modulus. Tovább fejlesztettük a Rácspont Kohomológia elméletet olyan egzakt sorok bizonyításával amelyek a Heegaard Floer elméletben jelennek meg. Komplex szingularitások vizsgálatában természetesen vetődik fel az a kérdés, hogy a szingularitások milyen simitásokkal bírnak. Topológiai szempontból különösen érdekesek a racionális homológia diszk (QHD) simitásokkal rendelkező szingularitások. Ezeket osztályoztuk Mohan Bhupallal közös dolgozatunkban abban az esetben ha a szingularitás súlyozott homogén (es igy a rezoluciós gráf csillag alakú). Hasonló, szimplektikus geometriai és kombinatorikus ötletek felhasználásával a simitások egyértelműségét (szimplektikus deformáció erejéig) illetve az ezekből a simitásokból származtatható műtéti eljárás gyakori szimplektikus voltát láttuk be. Továbbá, Popescu Pampu-val bebizonyítottuk Lisca Sejtését ami szerint a ciklikus szingularitasok simitásainak Milnor fibrumai megegyeznek a csomó (lencse tér) Stein betöltéseivel. Ezt az eredményt részlegesen a szendvics szingularitásokra is kiterjesztettük. Az Iguza-Denef-Loeser féle Monodrómia Sejtés a szingularitás elmélet egyik legmisztikusabb sejtése. Veys-szel közösen belláttuk egy kiterjesztett változatát síkgörbék esetére, és normál felületeken értelmezett föggvénycsirákra (amelyek kielégítik a Neumann-Wahl általánosított felcsoport feltételt).
Results in English
We developed further the theory of Lattice Cohomology associated with the lattice of the resolution graph of normal surface singularities. We prove similar exact sequences which were already established by the modules of Heegaard Floer Theory. It is important to study the smoothings of complex surface singularities. Singularities admitting rational homology disk smoothings are of particular interest. We classified such singularities with Bhupal, provided the singularity is weighted homogeneous (and so its resolution graph is star-shaped). Applying similar ides of symplectic geometry and combinatorics we verified the uniqueness of the smoothings (up to symplectic deformation) and showed that the surgery constructions originated from the existence of these smoothing in many case falls into the symplectic category. Furthermore, with Popescu Pampu, we proved Lisca's Conjecture: the set of different Milnor fibers associated with all the smoothing components of a cyclic quotient singularity coincides with the set of all Stein fillings of the link. This is partially generalized to sandwiched singularities as well. The Monodormy Conjecture of Igusa-Denef-Loeser is one of the most mysterious conjectures of singularity theory. In collaboration with Veys we proved its extended version for plane curves and germs defined on normal surface singularities which satisfy (the generalized) Neumann-Wahl semigroup condition.
Full text https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=67928
Decision
Yes





 

List of publications

  
A. Nemethi: The Seiberg--Witten invariants of negative definite plumbed 3--manifolds, Journal of EMS 13(4), 2011
A. Nemethi, W.D. Neumann, A. Pichon: Principal analytic link theory in homology sphere links, megjelenes elott Proc Conference `Topology of Algebraic Varieties' Jaca 2009, 2009
A. Nemethi, T. Okuma: The embedding dimansion of weighted homogeneous surface singularities, megjelenes elott Journal of Topology, 2010
A. Nemethi,: Two exact sequences for lattice cohomology, Proc Conference H.Mosocvici 65th birthday, Contemporary Math., 546, 2011
A. Nemethi,: The Seiberg-Witten invariants of negative definite plumbed 3-manifolds, megjelenes elott Jornal of EMS, 2010
A. Stipsicz, D. Gay: Symplectic surgeries and normal surface singularities, Algebr. Geom. Topol., 2009
Peter Ozsvath, Andras Stipsicz, Zoltan Szabo: Floer homology and singular knots, J. Topology, 2009
A. Stipsicz, P. Lisca: On the existence of tight contact structures on Seifert fibered 3-manifolds, Duke Math. J., 2009
Peter Ozsvath, Andras Stipsicz, Zoltan Szabo: Combinatorial Heegaard Floer homology and nice Heegaard diagrams, arXiv:0912.0830, 2009
Gábor Braun, Rüdiger Göbel: Splitting kernels into small summands, Israel Journal of Mathematics, megjelenes elott, 2010
Gábor Braun, Sebastian Pokutta,: Rank of random half-integral polytopes, Electronic Notes in Discrete Mathematics, 2010
A. Nemethi, W. Veys: Generalized monodromy conjecture in dimension two, to appear in Geometry and Topology, 2011
A. Nemethi, W. Veys: Monodromy eigenvalues are induced by poles of zeta functions - the irreducibl case, Bull. London Math. Soc., 2010
A. Nemethi: The cohomology of line bundles of splice-quotient singularities, benyujtva, arXiv:0810.4129, 2009
A. Nemethi, L. Feher, R. Rimanyi: Equivariant classes of matrix matroid varieties, megjelenes elott Commentarii Math. Helvetici, 2010
A. Nemethi, A. Szilard: The boundary of the Milnor fiber of a non-isolated hypersurface surface singularity, benyujtva, arXiv:0909.0354, 2009
A. Nemethi, D. Kerner: The Milnor fibre signature is not semi-continuous, megjelenes elott Proc Conference `Topology of Algebraic Varieties' Jaca 2009, 2009
A. Nemethi: Lattice cohomology of normal surface singularities, Publ. RIMS. Kyoto Univ., (Hironaka special volume), 2008
A. Nemethi, T. Okuma: On the Casson Invariant Conjecture of Neumann-Wahl, Journal of Algebraic Geometry, 2009
A. Nemethi, T. Okuma: The Seiberg-Witen invariant conjectute for splice-quotients, Journal of LMS, 2008
A. Nemethi: Poincar\'e series associated with surface singularities, Singularities I: Algebraic and Analytic Aspects, International Conference in Honor of the 60th Birthday of L\^e Dung Tr\'ang, 2008
G. Braun, A. Nemethi: Surgery formulas for Seiberg-Witten, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 2009
G. Braun: The cobordism class of the multiple points of immersionsinvariants of negative definite plumbed 3-manifolds, Algebraic & Geometric Topology, 2008
Peter Ozsvath, Andras Stipsicz, Zoltan Szabo: A combinatorial description of the U^2=0 version of Heegaard Floer homology, International Math. Res. Notices, megjelenes elott, 2008
Andras Stipsicz, Vera Vertesi: On invariants for Legendrian knots Floer homology, Pacific Journal of Math, 2008
P. Lisca, P. Ozsvath, A. Stipsicz, Z. Szabo: Heegaard Floer invariants of Legendrian knots in contact three--manifolds, Journal of the European Math. Soc., 2009
P. Ozsvath, A. Stipsicz,: Contact surgeries and the transverse invariant in knot Floer homology Floer homology, benyujtva, 2008
G. Braun: Geometry of splice-quotient singularities, benyujtva, 2008
A. Nemethi: The cohomology of line bundles of splice-quotient singularities, benyujtva, arxiv:0810.4129, 2008
A. Nemethi, P. Popescu-Pampu: On the Milnor fibers of cyclic quotient singularities, Proc. of London Math. Soc., 2010
A. Nemethi, P. Popescu-Pampu: On the Milnor fibers of sandwiched singularities, Int. Math. Res. Not, 2010
A. Nemethi: On the canonical contact structure of links of complex surface singularities, Geometry and Singularities of Manifolds (Proceedings, Kusatsu 2008, Japan), 2009
A. Nemethi, M. Tosun: Invariants of opne books of links of surface singularities, elfogadta a Studia Sc. Math. Hung., 2009
A. Stipsicz: On the \overline µ-invariant of rational surface singularities, Proc. Amer. Math. Soc., 2008
A. Stipsicz, Z. Szabó, J. Wahl: Rational blowdowns and smoothings of surface singularities, J. Topol., 2008
A. Stipsicz, D. Gay: Symplectic rational blow-down along Seifert fibered 3-manifolds, Int. Math. Res. Not., 2007
A. Stipsicz, M Bhupal: Weighted homogeneous singularities and rational homology disk smoothings, American Journal of Mathematics, megjelenes elott, 2009
A. Stipsicz, D. Gay: On symplectic caps, arXiv:0908.3774, 2009



Back »