Appell sorozatokkal kapcsolatos diofantikus eredmények  részletek

súgó  nyomtatás 
vissza »

 

Projekt adatai

 
azonosító
68872
típus F
Vezető kutató Rakaczki Csaba
magyar cím Appell sorozatokkal kapcsolatos diofantikus eredmények
Angol cím Diophantine results connected with Appell sequences
magyar kulcsszavak kétismeretlenes polinomiális diofantikus egyenletek, effekív, ineffektív végességi eredmények, Bernoulli polinomok, Euler polinomok, hatványösszegek
angol kulcsszavak diophantine equations, appell sequences, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, power sums
megadott besorolás
Matematika (Matematikai, Fizikai, Kémiai és Mérnöki Tudományok)100 %
zsűri Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely TTK Algebra és Számelmélet Tanszék (Debreceni Egyetem)
projekt kezdete 2007-07-01
projekt vége 2010-12-31
aktuális összeg (MFt) 1.450
FTE (kutatóév egyenérték) 1.05
állapot lezárult projekt
magyar összefoglaló
A pályázatunk kutatási ideje alatt ineffektív, effektív és numerikus eredményeket szeretnénk elérni olyan diofantikus egyenletekkel kapcsolatosan, amelyek Appell sorozatokat tartalmanak. Az Appell sorozatok közül a legnevezetsebbek a Bernoulli, az Euler és a Hermite polinomok. Ezen polinomokat tartalmazó diofantikus egyenletekkel korábban számos matematkus foglalkozott. Eredményeink részben általánosításai és kiterjesztései lennének az ő munkájuknak. Kutatásunk során vizsgálnánk többek között az Appell sorozatok felbonthatóságát és extrémumainak P-típusát, amely ismeretek birtokában választ kapnánk számos diofantikus problémára az Appell sorozatokkal kapcsolatban. Emellett felső korlátot határoznánk meg a kutatási tervben ismertetett $F(A_{n})(x)=y^{m}$ típusú szuperelliptikus egyenletcsalád egész megoldásaira.
angol összefoglaló
In our project we would like to study several diophantine problems connected with Appell sequences. The most important and clasical Appell sequences are the Bernoulli polynomials, the Euler polynomials and the Hermite polynomials. There are several diophantine results concerning the Bernoulli polynomials. In our
investigations we try to generalize and extend these results for Appell sequences. Among other things we will deal with the decompositions of certain Appell sequences and the P-type of the extrema of Appell sequences. In view of P-type and decompositions we will determine all integer solutions of the following superelliptic equation $F(A_{n}(x))=y^{m}$, where $A_{n}(x)$ is an Appell sequence, F(x) is an arbitrary but fixed polynomial with rational coefficients and m>=2 is an integer.





 

Zárójelentés

 
kutatási eredmények (magyarul)
Rakaczki számos, jelentős effektív eredményt ért el Appell sorozatokat tartalmazó hiperelliptikus, illetve szuperelliptikus F(A_n(x))=y^m típusú egyenletek x, y, m egész megoldásaira vonatkozóan, ahol F(x) egy tetszőleges racionális együtthatójú polinom, amelyik nem m-edik hatvány. Különböző számelméleti eszközök és elemi módszerek kombinálásával megmutatta, hogy a három legismertebb Appell sorozta (Hermite polinomok H_n(x), Euler polinomok E_n(x), Bernoulli polinomok B_n(x)) extrémumainak P-típusa mindíg tartalmaz legalább három 1-est, feltéve, hogy az adott polinom fokszáma legalább 7. Az s(1^k+2^k+…+x^k)+r=y^n diofantikus egyenlettel kapcsolatban lényegesen általánosítja, illetve kiterjeszti számos szerző, köztük Győry, Tijdeman, Voorhoeve, Kano, Brindza, Pintér, korábbi eredményeit. Teljesen jellemzi az összes olyan s, r, k egészeket, amelyek mellett az egyenletnek lehet végtelen sok x, y>=2, n>=2 egész megoldása.
kutatási eredmények (angolul)
Rakaczki has obtained several significant effective results for the number of integer solutions of the hiperelliptic and superelliptic equations of the form F(A_n(x))=y^m, where F(x) is a non m-th power polynomial with rational coefficients and A_n(x) is an Appell sequence. Combining different number theory tools and elementary methods he showed that the P-types of extrema of the three most famous Appell sequences (Hermite polynomials H_n(x), Euler polynomials E_n(x), Bernoulli polynomials B_n(x)) always contain at least three 1, provided that the degree of the given polynomial is at least 7. His results related to the diophantine equation s(1^k+2^k+…+x^k)+r=y^n are considerable generalizations and extensions of some earlier relevant works of Győry, Tijdeman, Voorhoeve, Kano, Brindza and Pintér. He characterized those integers s, r, k for which the the above equation may have infinitely many integer solutions x, y>=2, n>=2.
a zárójelentés teljes szövege https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=68872
döntés eredménye
igen





 

Közleményjegyzék

 
Á. Pintér, Cs.Rakaczki: On the shifted Bernoulli polynomials, Appl. Math. Comp. 187, 379-383, 2007
Cs.Rakaczki: , On some diophantine results related to Euler polinomials, Periodica Math. Hung. 57, 61-71, 2008
Cs. Rakaczki: On some diophantine results related to Hermite polynomials, Functiones et Approximatio 42 7-16, 2010
Cs. Rakaczki: On the simple zeros of shifted Euler polynomials, Publicationes Mathematicae Debrecen (közlésre elfogadva), 2011
Cs. Rakaczki: On some generalization of diophantine equation $s(1^k+2^k+…+x^k)+r=dy^n$., Acta Arithmetica (közlésre elfogadva), 2011




vissza »