Dinamikai rendszerek sztohasztikus tulajdonsagai es ezek paraméter érzékenysége  részletek

súgó  nyomtatás 
vissza »

 

Projekt adatai

 
azonosító
71693
típus K
Vezető kutató Szász Domokos
magyar cím Dinamikai rendszerek sztohasztikus tulajdonsagai es ezek paraméter érzékenysége
Angol cím Stochastic properties of dynamical systems and their parameter sensitivity
magyar kulcsszavak Biliárdok, Lorentz folyamat, korreláció lecsengés, nem-egyensúlyi jelenségek, Hausdorff dimenzió
angol kulcsszavak Billiards, Lorentz process, correlation decay, non-equilibrium phenomena, Hausdorff dimension
megadott besorolás
Matematika (Matematikai, Fizikai, Kémiai és Mérnöki Tudományok)100 %
Ortelius tudományág: Káoszelmélet
zsűri Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely Sztochasztika Tanszék (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem)
résztvevők Bálint Péter
Rappné Pogány Orsolya
Simon Károly
Tóth Imre Péter
Varjú Tamás
projekt kezdete 2008-08-01
projekt vége 2013-12-31
aktuális összeg (MFt) 14.786
FTE (kutatóév egyenérték) 11.88
állapot lezárult projekt
magyar összefoglaló
Terveink két csoportba oszhatók, melyek összetalálkoznak a hiperbolikus dinamikai rendszerek fraktál típusú invariáns mértékeinek tervezett vizsgálatánál (III. rész).

I. Kemény golyó rendszerek, hiperbolikus biliárdok és a Lorentz folyamat

A. Magas dimenziós szóró és félig szóró biliárdok korrelációlecsengésére és határeloszlásaira tervezzük tételek bizonyítását és sejtések felállítását, túlnyomó részben korábbi kutatásainkhoz kapcsolódóan.

B. 2-dimenziós biliárdokban az előzőeknél nehezebb kérdések, mint a hidrodinamikai határviselkedés, nagy eltérés tételek, illetve a perturbációk hatásának vizsgálatát tervezzük.


II. Attraktorok és invariáns mértékek paraméterfüggése

A. Palis és Takens azt vizsgálta, hogy bizonyos egyparaméteres diffeomorfizmus családokban a paraméterek mekkora halmazára léteznek tangenciális homoklinikus pontok. Ezen kérdés által motiválva azt a kérdést vizsgáljuk, hogy véletlen fraktálok algebrai különbségeként előálló halmazok milyen feltételek teljesülése esetén tartalmaznak belső pontot. Ez úgy kapcsolódik a Palis Takens problémához, hogy ha van intervallum a különbség halmazban, akkor a paraméterek fent említett halmaza is tartalmaz intervallumot vagyis a paraméterek halmaza "nagy".

B. A térben hiperbolikus leképezések attraktorainak Hausdorff dimenzióját jelenleg még nem tudjuk meghatározni. A legegyszerűbb hiperbolikus dinamikai rendszerek az ön affin iterált függvényrendszerek. A dimenziót még ezekre sem tudjuk mindig kiszámítani. Ezért Mark Pollicott-al és Thomas Jordan-al (mindketten Univ of Warwick) vizsgáltuk a kontraktív, ön-affin iterált függvény rendszerek tetszőlegesen kicsiny véletlen perturbáltjainak attraktorait. Folytatni szeretnénk ezt a kutatási irányt.


III. Fizikailag motivált rendszerek invariáns mértékének paraméterfüggése

Olyan dinamikai rendszer-családok vizsgálatát tervezzük, amik szorosan kapcsolódnak az I. részben tárgyalt biliárdokhoz, ám maga a természetes invariáns mérték is függ a paraméterektől. Ennek a függésnek a simaságát tervezzük megérteni, a megfelelő értelemben.

Ebben a témában különösen gyümölcsözően találkozhat csoportunk tagjainak korábbi tapasztalata az iterált függvényrendszerek és dimenzióelmélet, illetve a biliárdelmélet köréből.
angol összefoglaló
Our plans can be grouped in two main areas. These come close to each other at the planned investigation of fractal-type invariant measures in hyperbolic dynamical systems (part III).

I. Hard ball systems, hyperbolic billiards and the Lorentz process

A. We plan to prove theorems and formulate conjectures about correlation decay and limit laws of Multi-dimensional dispersing and semi-dispersing billiards, related mainly to our past research activity.

B. In 2D billiards we plan to investigate more difficult questions, like hydrodynamic limit behaviour, large deviations and the role of perturbations.


II. Parameter dependence of attractors and invariant measures

A. Palis and Takens have studied the size of the set of parameters, for which homoclinic tangencies exist in certain one-parameter families of diffeomorphisms. Related to this, we investigate under what conditions the sets arising as the algebraic difference of two random fractals contain an interiour point.

B. We plan to continue our research joint with Mark Pollicott and Thomas Jordan (both Univ. of Warwick) concerning the attractors of small random perturbations of contractive self-affine iterated function systems.


III. Parameter dependence of the invariant measure in physically motivated systems

We plan to investigate families of dynamical systems which are closely related to the billiards discussed in part I, however, the natural invariant measure itself depends on the parameters. We plan to understand the smoothness of this dependence, in some appropriate sense.

In this part of the plan the experience of our group in dimension theory of iterated function
systems and in the theory of billiards may meet in a fruitful way.





 

Zárójelentés

 
kutatási eredmények (magyarul)
A szakadásos hiperbolikus dinamikai rendszerek: pl. biliárdok, Lorentz folyamat - területén továbbra is nemzetközileg vezető iskola vagyunk, és ennek megfelelően rendkívül érdekes és fontos új eredményeink, áttöréseink születtek itt. Csak a leglényegesebbeket említve, sikerült 1. exponenciális korreláció lecsengést igazolni véges horizontú szóró biliárdokra a többdimenziós esetben is (a komplexitási feltétel mellett); 2. a Brown mozgáshoz való konvergenciát bizonyítani lokálisan perturbált síkbeli Lorentz folyamatra, egyúttal a periodikus folyamatra igen érdekes és hasznos rekurrencia tulajdonságokat igazolni. Attraktorok és invariáns mértékek vizsgálata során rendkívül érdekes és új eredményeket értünk el. Tanulmányoztuk véletlen Cantor halmazok bizonyos családjainak algebrai különbségeit. Vizsgáltuk továbbá a Sierpinski szőnyeg és háromszög egyenesekkel vett metszeteinek, valamint a számegyenesen vett, erősen átfedő önhasonló halmazok dimenzióját. Az utóbbi eredményt síkbeli önaffin halmazok esetén alkalmazni tudtuk. Miután igen jelentős eredmények születtek az diffúzió, a szuperdiffúzió, korreláció lecsengés, ... területén, az utóbbi években számos - fizikusi ill. matematikusi - vezető iskola érdeklődése a hővezetés megértése felé fordult. Igen jelentős új eredményeket értünk el itt: kiemelten új modellcsaládot vezettünk be energiacserére és sikerült spektrális rés becslést adnunk valamint jellemezni a reverzibilis invariáns mértékeket..
kutatási eredmények (angolul)
In the theory of singular hyperbolic systems, like billiards or the Lorentz process, we have preserved our status as a world leading center. Correspondingly we have obtained absolutely important and interesting, breakthrough results here. Mentioning just the most essential ones: 1. we proved exponential correlation decay for finite horizon dispersing billiards in the multidimensional (!) case (under the complexity hypothesis), 2. we established convergence to the Brownian motion for the locally perturbed planar Lorentz process, and at the same time we could also obtain particularly interesting and useful recurrence properties of the periodic process. We achieved also new and much interesting results for attractors and invariant measures. We studied the algebraic difference of random Cantor sets. We examined the dimension of line segments of the Sierpinski carpet and gasket, and strongly overlapping self-similar sets on real line. We applied our results for self-affine sets on the plane. Having reached important progress in the study of diffusion, superdiffusion, correlation decay, etc., in the last decade several leading schools of mathematicians and physicists working on dynamical systems turned their attention toward understanding heat conduction. Our research has also reached very strong results in various directions, in particular we introduced a new family of models and obtained a spectral gap bound for it and characterized the reversible invariant measures.
a zárójelentés teljes szövege https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=71693
döntés eredménye
igen





 

Közleményjegyzék

 
Bárány B, Ferguson A, Simon K: Slicing the Sierpiński gasket, Nonlinearity 25: 1753-1770, 2012
Bárány Balázs: Iterated function systems with non-distinct fixed points, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 383 Issue 1, 244-258, 2011
Bárány Balázs: Dimension of the generalized 4-corner set and its projections, Ergodic Theory and Dynamical Systems, DOI: 10.1017/S014338571100023X, 2011
Zs. Pajor-Gyulai, D. Szász:: Energy transfer and joint diffusion, J. Stat. Physics, 146:1001-1025, 2012, 2012
P Bálint, N Chernov, D. Dolgopyat:: Limit theorems for dispersing billiards with cusps;, Communications in Mathematical Physics 308, 479-510, 2011
M. Rams, K. Simon: THE DIMENSIONS OF PROJECTIONS OF FRACTAL PERCOLATIONS, http://www.math.bme.hu/~simonk/papers/index.html, 2012
A. Grigo, K. Khanin, D. Szász: Mixing rates of particle systems with energy exchange, Nonlinearity, 25:2349-2372, 2011
Zs. Pajor-Gyulai, D. Szász: Weak convergence of random walks, conditioned to stay away from small sets, Studia Sci. Math. Hung. (submitted), 2012
Péter Bálint, Imre Péter Tóth: Example for Exponential Growth of Complexity in a Finite Horizon Multi-dimensional Dispersing Billiard, Nonlinearity 25, 1275-1297, 2012
Péter Bálint, Gábor Borbély, András Némedy Varga: Statistical properties of the system of two falling balls, Chaos 22, Paper 026104, 2012
P. Nándori, D. Szász, T. Varjú: A central limit theorem for time-dependent dynamical systems, Journal of Statistical Physics, 146, 6: 1213-1220, 2012
P. Nándori, D. Szász: Lorentz Process with shrinking holes in a wall, Chaos 22 Paper 026115, 2012
B. Bárány: Iterated Function Systems with Non-Distinct Fixed Points, J. Math. Anal. & Appl. 383 No. 1 244-258, 2011
B. Bárány: Dimension of the generalized 4-corner set and its projections, Erg. Th. & Dyn. Sys. 32, 1190-1215., 2012
Bálint P, Tóth IP: Exponential Decay of Correaltions in Multidimensional Dispersing Billiards, Annales Henri Poincaré 9: 1309-1369., 2008
Pajor-Gyulai Zs, Szász D, Tóth IP: Billiard Models and Energy Transfer., Proc. of International Congress on Math. Physics, Prague, World Scientific, 2009
Bálint P, Melbourne I: Decay of correlations and invariance principles for dispersing billiards with cusps, and related planar billiard flows, Journal of Statistical Physics 133: 435-447., 2008
Bálint P, Lin KK, Young LS: Ergodicity and Energy Distributions for some Boundary Driven Integrable Hamiltonian Chains, Communications in Mathematical Physics 294: 199–228, 2010
Móra P, Simon K, Solomyak B: The Lebesgue measure of the algebraic difference of two random Cantor sets., Indagationes Mathematicae 20: 131–149, 2009
Bárány B, Pollicott M, Simon K: Stationary measures for projective transformations: The Blackwell and Furstenberg measures, Journal od Statistical Physics 148: 393-421, 2012
Szász D,: Some challenges in the theory of (semi)-dispersing billiards, Nonlinearity, invited paper, 21:187-193, 2008
Szász D,: Algebro-Geometric Methods for Hard Ball Systems, Discrete and Continuous Dyn. Systems, Ser. A. 22:427-443,, 2008
Dolgopyat D, Szász D, Varjú T: Recurrence Properties of the Planar Lorentz Process., Duke Math. Journal. 142: 241-281, 2008
Dolgopyat D, Szász D, Varjú T: Limit Theorems for Perturbed Lorentz Processe, Duke Math. Journal. 148: 459-499, 2009
Bachurin P, Bálint P , Tóth IP: Local ergodicity for systems with growth properties including multi-dimensional dispersing billiards, Israel Journal of Mathematics 167: 155-176., 2008
Paulin D, Szász D: Locally Perturbed Random Walks with Unbounded Jumps, J. Stat. Physics 141: 1116-1130,, 2010
Pajor-Gyulai Zs, Szász D: Perturbation approach to scaled type Markov renewal processes with infinite mean, manuscript, 2010
Pajor-Gyulai Zs, Szász D: Weak convergence of random walks, conditioned to stay away, Studia Math. Sci. Hung. 50: 122-128, 2013
Bálint P, Halász M, Hernández-Tahuilán J, Sanders DP: Chaos and stability in a two-parameter family of convex billiard tables, Nonlinearity 24: 1499-1521, 2011
Rudas A, Toth IP: Entropy and Hausdorff Dimension in Random Growing Trees, Stoch. Dyn. 13: 1250010, 2013
Dekking M, Simon K, Szekely B: The algebraic difference of two random Cantor sets: The Larsson's family., Annals of Probability 39: 549-586, 2011
Manning A, Simon K,: Dimension of slices through the Sierpinski carpet, Trans. Amer. Math. Soc. 365: 213–250, 2013
Rams M, Simon K: Projections of Fractal Percolations, Ergodic Theory & Dynamical Systems (közlésre elfogadva), 2011
Nándori P: Number of distinct sites visited by a random walk with internal states, Probab. Theory Related Fields 150: 373–403, 2011
Nándori P: Recurrence properties of a special type of Heavy-Tailed Random Walk, J. of Statistical Physics 142: 342-355, 2011
Bárány B, Persson T: The Absolute Continuity of the Invariant Measure of Random Iterated Function Systems with Overlaps, Fund. Math. 210: 47-62, 2010
Bárány B: On the Hausdorff Dimension of a Family of Self-Similar Sets with Complicated Overlaps, Fund. Math. 206: 49-59, 2009
Bárány B: Sub-Additive Pressure for IFS with Triangular Maps, Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 57: 263–278, 2009
Bárány B: Dimension of the generalized 4-corner set and its projections, Ergodic Theory Dynam. Systems 32: 1190–1215, 2012
Pajor-Gyulai Zs, Szász D: Energy transfer and joint diffusion, J. Stat. Physics 146: 1001-1025, 2012
Bálint P, Chernov N, Dolgopyat D: Limit theorems for dispersing billiards with cusps, Communications in Mathematical Physics 308: 479-510, 2011
Rams M, Simon K: THE DIMENSIONS OF PROJECTIONS OF FRACTAL PERCOLATIONS, J. Stat. Phys. (közlésre elfogadva), 2012
Grigo A, Khanin K, Szász D: Mixing rates of particle systems with energy exchange, Nonlinearity 25: 2349-2372, 2011
Bálint P, Tóth IP: Example for Exponential Growth of Complexity in a Finite Horizon Multi-dimensional Dispersing Billiard, Nonlinearity 25: 1275-1297, 2012
Bálint P, Borbély G, Némedy Varga A: Statistical properties of the system of two falling balls, Chaos 22: 026104, 2012
Nándori P, Szász D, Varjú T: A central limit theorem for time-dependent dynamical systems, Journal of Statistical Physics, 146, 6: 1213-1220, 2012
Nándori P, Szász D: Lorentz Process with shrinking holes in a wall, Chaos 22: 026115, 2012
Bárány B: Iterated Function Systems with Non-Distinct Fixed Points, J. Math. Anal. & Appl. 383: 244-258, 2011
Pavel Bachurin, Péter Bálint , Imre Péter Tóth: Local ergodicity for systems with growth properties including multi-dimensional dispersing billiards, Israel Journal of Mathematics, 167 (2008) 155-176., 2008
D. Paulin, D. Szász: Locally Perturbed Random Walks with Unbounded Jumps, J. Stat. Physics, 141: 1116-1130,, 2010
Zs. Pajor-Gyulai, D. Szász: Perturbation approach to scaled type Markov renewal processes with infinite mean, manuscript, 2010
Zs. Pajor-Gyulai, D. Szász: Weak convergence of random walks, conditioned to stay away, Studia Math. Sci. Hung. 50, 122-128, 2013
ab: ab, ab, 2011
Péter Bálint, Miklós Halász, Jorge Hernández-Tahuilán, David P. Sanders: Chaos and stability in a two-parameter family of convex billiard tables, Nonlinearity 24, 1499-1521, 2011
Rudas A, Toth IP: Entropy and Hausdorff Dimension in Random Growing Trees, submitted, 2011
M. Dekking, K. Simon, B. Szekely: The algebraic difference of two random Cantor sets: The Larsson's family., Annals of Probability, Vol 39 549-586., 2011
A. Manning, K. Simon,: Dimension of slices through the Sierpinski carpet, Accepted by the Transactions of the AMS, 2009
Michal Rams, Karoly Simon,: Projections of Fractal Percolations, preprint, 2011
Péter Nándori: Number of distinct sites visited by a random walk with internal states, Probability Theory and Related Fields, 2011
Péter Nándori: Recurrence properties of a special type of Heavy-Tailed Random Walk, J. of Statistical Physics, Volume 142 (Number 2), 342-355, 2011
Balázs Bárány , Tomas Persson:: The Absolute Continuity of the Invariant Measure of Random Iterated Function Systems with Overlaps, Fundamenta Mathematicae, 210 No. 1, 47-62, 2010
B. Bárány: On the Hausdorff Dimension of a Family of Self-Similar Sets with Complicated Overlaps, Fundamenta Mathematicae, 206 49-59, 2009
B. Bárány: Sub-Additive Pressure for IFS with Triangular Maps, Bulletin of the Pol. Ac. of Sci. Math., 2009
abab: ab, ab, 2011
ab: ab, ab, 2011
Dolgopyat D, D. Szász, T. Varjú: Recurrence Properties of the Planar Lorentz Process., Duke Math. Journal. 142: 241-281, 2008
D. Dolgopyat, D. Szász, T. Varjú: Limit Theorems for Perturbed Lorentz Processe, Duke Math. Journal. 148: 459-499, 2009
Péter Bálint , Imre Péter Tóth: Exponential Decay of Correaltions in Multidimensional Dispersing Billiards, Annales Henri Poincaré, 9 (2008) 1309-1369., 2008
Zs. Pajor-Gyulai, D. Szász, I. P. Tóth: Billiard Models and Energy Transfer., Proc. of International Congress on Math. Physics, Prague, World Scientific, 2009
Péter Bálint , Ian Melbourne: Decay of correlations and invariance principles for dispersing billiards with cusps, and related planar billiard flows, Journal of Statistical Physics, 133 (2008) 435-447., 2008
Péter Bálint , Kevin K. Lin, Lai-Sang Young: Ergodicity and Energy Distributions for some Boundary Driven Integrable Hamiltonian Chains, Communications in Mathematical Physics,, 2009
Péter Móra, Károly Simon, Boris Solomyak: The Lebesgue measure of the algebraic difference of two random Cantor sets., Indagationes Mathematicae, megjelenés alatt, 2009
Balázs Bárány, Mark Pollicott, Károly Simon: Stationary measures for projective transformations: The Blackwell and Furstebnberg measures, Journal od Statistical Physics val. 48, 393-421, 2012
ab: ab, ab, 2009
Michel Dekking,Károly Simon, Balázs Székely: The algebraic difference of two random Cantor sets: the Larsson family, puiblikálásra benyújtva elérhető: www.math.bme.hu/~simonk/papers, 2009
D. Szász,: Some challenges in the theory of (semi)-dispersing billiards, Nonlinearity, invited paper, 21:187-193, 2008
D. Szász,: Algebro-Geometric Methods for Hard Ball Systems, Discrete and Continuous Dyn. Systems, Ser. A. 22:427-443,, 2008





 

Projekt eseményei

 
2011-01-04 12:37:29
Résztvevők változása




vissza »