Hiperbolikus dinamikai rendszerek sztochasztikus tulajdonságai  részletek

súgó  nyomtatás 
vissza »

 

Projekt adatai

 
azonosító
73609
típus PD
Vezető kutató Tóth Imre Péter
magyar cím Hiperbolikus dinamikai rendszerek sztochasztikus tulajdonságai
Angol cím Stochastic properties of hyperbolic dynamical systems
magyar kulcsszavak biliárdok, ergodicitás, korrelációlecsengés
angol kulcsszavak billiards, ergodicity, correlation decay
megadott besorolás
Matematika (Matematikai, Fizikai, Kémiai és Mérnöki Tudományok)100 %
Ortelius tudományág: Káoszelmélet
zsűri Matematika–Számítástudomány
Kutatóhely Sztochasztika Tanszék (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem)
projekt kezdete 2008-09-01
projekt vége 2009-09-30
aktuális összeg (MFt) 1.287
FTE (kutatóév egyenérték) 0.75
állapot lezárult projekt
magyar összefoglaló
A tervezett kutatások kapcsolódnak a fizikailag releváns dinamikai
rendszerek erős sztochasztikus tulajdonságaival kapcsolatos
korábbi munkámhoz. A célkituzések három fő területen vannak.


1. Korreláció-lecsengés magas dimenziós biliárdokban

Itt az első cél egyes magas dimenziós, véges horizontú szóró biliárdok
exponenciális korreláció-lecsengésének bizonyitása. Ez önmagában figyelemre
méltó eredmény lenne, mivel ez lenne az első realisztikus magas dimenziós
rendszer, ahol ezt bizonyítható. Ezután tervezem kiterjeszteni az eredményt
bonyolultabb magas dimenziós rendszerekre is.

2. Funkcionál-analitikus módszerek a keverés elméletében

Tervezem, hogy találok egy megfelelő függvény-teret hiperbolikus dinamikai
rendszerekben, amire a transzfer-operátornak belátható módon spektrális rése
van. Egy ilyen konstrukcióval megnyílik az út az eddiginél sokkal általánosabb
hiperbolikus rendszerek korreláció-lecsengésének vizsgálata felé.

3. Keverés numerikus vizsgálata hiperbolikus rendszerekben

Olyan numerikus kísérletek elvégzését tervezem, amik megbízható jóslást
szolgáltatnak félig szóró biliárdokban a keverés sebességére.
Másfelől olyan numerikus szimulációs algoritmus megalkotását tervezem, ami
megbízhatóan megtalálja hiperbolikus dinamikai rendszerek invariáns mértékét,
esetleg bonyolultabb statisztikai jellemzőit is. Ez rendkívül fontos, és nagyon
sok alkalmazása lehet a tudományban a biológiától a fizikán át a
közgazdaságtanig.
angol összefoglaló
The investigations I am planning are related to my previous work on strong
stochastic properties of physically relevant dynamical systems.
Objectives are in three main fields.

1. Correlation decay in multi-dimensional billiards

The first objective here is to prove that the correlation decay rate in certain
multi-dimensional dispersing billiards with finite horizon is exponential.
This would be a remarkable result in itself, being the first realistic
multi-dimensional system where this can be proven. Next, I plan
to extend the result to more complicated multi-dimensional systems.

2. Functional analytic techniques in the theory of mixing

I plan to find a proper function space in hyperbolic dynamical systems with
singularities, for which the transfer operator is seen to have a spectral gap.
Such a construction would open the way to handling the correlation decay of
hyperbolic systems far more general than before.

3. Numerical investigation of mixing in hyperbolic systems

I plan to perform numerical experiments which are able to reliably predict the
rate of mixing in semi-dispersing billiards.
On the other hand, I plan to find numerical simulation algorithms that can
reliably find invariant measures and possibly more advanced statistical
properties in hyperbolic dynamical systems. This is of utmost importance,
and can have many applications in science from Biology through Physics to
Economics.





 

Zárójelentés

 
kutatási eredmények (magyarul)
A projektet eredetileg 36 hónapra terveztük, de 12 hónap után egy külföldi post-doc pozíció miatt meg kellett szakítani. Emiatt az eredmények részlegesek. Konstruáltunk egy konkrét 3-dimenziós véges horizontú szóró biliárdot amiben a szingularitási szerkezet exponenciális komplexitása szigorúan bebizonyítható. Két dimenzióban bebizonyítottam, hogy tipikus sima görbékkel határolt szórótestekr esetén a komplexitás korlátos. Randomizált itarációs algoritmusok megbízhatóságát vizsgáltuk hiperbolikus rendszerek számítógépes szimulációjában, empirikusan. Azt találtuk, hogy nagyon kicsi perturbációk alkalmazása esetés a szimuláció jobban tükrözi a rendszer ergodikus tulajdonságait, miközben a számolt invariáns mérték pontossága alig romlik. Olyan hővezetés-modellt vizsgáltam, amiben lokalizált biliárd korongok hatnak kölcsön konzervatív erők révén. A gyenge csatolás határesetben egy kölcsönható részecskeredszert sikerült leírni. Ennek a rendszernek a hidrodinamikai limeszét, vele a hővezetési együttható hőmérsékletfüggését sikerült meghatározni szigorú, heurisztikus és numerikus eszközök egy keverékével. A kapott eredmény meglepően realisztikus. Ez komoly eredmény egy nemzetközi érdeklődéssel kísért területen. Vizsgáltuk a preferenciális kapcsolódás modell szerint növekedő véletlen fák szerkezetét hosszú idő után leíró véletlen mértéket. Bebizonyítottuk, hogy a mérték Hausdorff-dimenziója majdnem biztosan konstans. Erre explicit formulát is adtunk.
kutatási eredmények (angolul)
This project was originally planned for 36 months, but it had to be terminated after 12 months due to a post-doc position abroad. As a consequence, results are partial. We constructed a specific 3-dimensional finite horizon dispersing billiard where exponential complexity of the singularity structure can be rigorously proven. I have proven that in two dimensions the complexity is bounded for a typical smoouth scatterer curves. The usability of randomized iteration algorithms in the computer simulation of hyperbolic systems was studied empirically. We found that using very small perturbations results in the ergodic properties of the system being better reflected, while causing little loss in the accuracy of the calculated invariant measures. I studied a heat conduction model with localized billiard disks interacting via conservative forces. An interacting particle system was found in the weak coupling limit. The hydrodynamic limit of this system, including the temperature dependence of the heat conductivity was established through a mixture of rigorous, heuristic and numerical methods, giving surprisingly realistic results. This is a serious achievement in an area that is in the center of international attention. We studied the random measure desribing the long-time structure of the growing tree in preferential attachment models. The Hausdorff dimension was proven to be constant almost surely. An explicit formula was also given.
a zárójelentés teljes szövege https://www.otka-palyazat.hu/download.php?type=zarobeszamolo&projektid=73609
döntés eredménye
igen





 

Közleményjegyzék

 
P. Bálint and I.P. Tőth: Example for Exponential Growth of Complexity in a Finite Horizon Multidimensional Dispersing Billiard, in preparation, http://www.math.bme.hu/˜mogy/publications/, 2009
A. Rudas and I.P. Tóth: Entropy and Hausdorff Dimension in Random Growing Trees, Arxiv preprint arXiv:1004.0977, 2010
I.P. Tóth: Simulation of the diffusion coefficient in a Gaspard-Gilbert model with weak interaction force, numerical work published on-line, http://www.math.bme.hu/˜mogy/publications/, 2009




vissza »