szemidirekt szorzat, balról tágas félcsoport, majdnem faktorizálhatóság
Keywords in English
semidirect product, left ample semigroup, almost factorizability
Discipline
Mathematics (Council of Physical Sciences)
100 %
Ortelius classification: Algebra
Panel
Sabbatical
Department or equivalent
Bolyai Institute (University of Szeged)
Starting date
2010-06-01
Closing date
2011-05-31
Funding (in million HUF)
12.962
FTE (full time equivalent)
1.00
state
closed project
Summary in Hungarian
A majdnem faktorizálható inverz félcsoportokat megengedő halmazok vagy bizonyos eltolások segítségével szokás definiálni. McAlister és Lawson nevéhez fűződik annak bebizonyítása, hogy a majdnem faktorizálható inverz félcsoportok éppen a félhálók csoportokkal vett szemidirekt szorzatainak idempotens-szétválasztó homomorf képei. Továbbá Chen, Hsieh és Lawson igazolta, hogy minden inverz félcsoport beágyazható majdnem faktorizálhatóba. Ezek alapján adódik az inverz félcsoportokra egy alapvető előállítási mód félhálókból és csoportokból, mely a majdnem faktorizálható inverz félcsoportok osztályán keresztül vezet. Ezen eredmények korábbi általánosításai lényegében követték ezt a sémát, de úgy tűnik, hogy ez nem megy bizonyos fontos osztályok --- pl. a lokálisan inverz, illetve a balról tágas félcsoportok osztálya --- esetében. A jelen pályázat célja az, hogy az utóbbi osztályra kiterjesszük a fent említett eredményeket, de úgy, hogy másik irányból közelítjük meg a problémát: megpróbálunk olyan közbülső osztályt találni a balról tágas félcsoportok, valamint a félhálóknak jobbról egyszerűsíthető félcsoportokkal vett szemidirekt szorzatai (vagy W-szorzatai) között, amely rendelkezik a fentiekkel analóg tulajdonságokkal, tagjai egyszerű belső jellemzéssel megadhatók, valamint az inverz félcsoport tagjai éppen a majdnem faktorizálhatók.
Summary
The almost factorizable inverse semigroups are defined by means of permissible sets or of certain translations. It is due to McAlister and Lawson that the almost factorizable inverse semigroups are just the idempotent separating homomorphic images of semidirect products of semilattices by groups. Moreover, it is established by Chen, Hsieh and Lawson that each inverse semigroup is embeddable into an almost factorizable one. This provides a fundamental way of producing every inverse semigroup from semilattices and groups via almost factorizable inverse semigroups. The former generalizations of these results for larger classes mimiced this approach but this does not seem to work in the cases of certain well-studied classes like locally inverse semigroups or left ample semigroups. The aim of this project is to extend the above results for the latter class by approaching the problem from another direction: we intend to find an appropriate intermediate class between left ample semigroups and semidirect products (or W-products) of semilattices by right cancellative monoids so that the analogues of the results mentioned above hold, its members have a simple internal characterization, and its inverse semigroup members are just the almost factorizable ones.
Final report
Results in Hungarian
A pályázat keretében elért eredmények az inverz félcsoportok bizonyos nem-reguláris általánosításaira vonatkoznak, amelyeket megszorításos félcsoportoknak hívnak. Ez az osztály tartalmazza a tömör és gyengén tömör félcsoportok osztályát, amelyeket már régóta tanulmányoznak. Bebizonyítottuk, hogy
(1) minden megszorításos félcsoportnak van olyan tökéletes --- méghozzá tökéletes tömör ---fedője, amely beágyazható félháló monoiddal vett W-szorzatába; és
(2) minden megszorításos félcsoport beágyazható majdnem balról faktorizálhatóba.
Összevetve ezt korábbi eredményekkel, adódik, hogy a megszorításos félcsoportok megkaphatók, méghozzá kétféle módon, félhálókból és monoidokból W-szorzatképzés segítségével: egyrészt úgy, hogy vesszük egy félháló monoiddal vett W-szorzatának valamely megszorításos részfélcsoportját, majd ennek egy (projekció-szétválasztó) homomorf képét, másrészt pedig úgy, hogy vesszük egy ugyanilyen W-szorzatnak valamely (projekció-szétválasztó) homomorf képét, majd ennek egy megszorításos részfélcsoportját.
Továbbá részeredményeket nyertünk a féloldalas esetre vonatkozó hasonló kérdéskörben; pl. azzal kapcsolatban, hogy mely balról megszorításos félcsoportok ágyazhatók be W-szorzatba, illetve hogy mik a W-szorzatok homomorf képei.
Results in English
The main results achieved in the project concern non-regular generalizations of inverse semigroups called restriction semigroups. This class contains the well-studied classes of ample and weakly ample semigroups. It is proved that
(1) each restriction semigroup has a proper --- what is more, a proper ample --- cover which is embeddable into a W-product of a semilattice by a monoid; and
(2) each restriction semigroup is embeddable into an almost left factorizable one.
Combining this with former results, we deduce that restriction semigroups can be built up from semilattices and monoids via their W-products in two differenct ways: one produces any
restriction semigroup from a W-product of a semilattice by a monoid by taking a (projection separating) homomorphic image of a restriction subsemigroup, and the other one by taking a restriction subsemigroup of a (projection separating) homomorphic image of such a W-product.
Moreover, partial results are obtained on the analogous questions in the one-sided case; e.g. on embeddability of left restriciton semigroups into W-products and on determining the homomorphic images of W-products.
